Sylow-Sätze, Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Fr 21.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und p, q Primzahlen. Zeigen Sie:
a) Wenn #G = 30, dann hat G einen echten Normalteiler.
b) Wenn #G = 56, dann hat G einen echten Normalteiler. |
Hi,
ich hätte eine Frage zu dieser Aufgabe, nämlich zur Anwendung der Sylow-Sätze.
Diese besagen ja, dass wenn [mm] $|G|=p^m\cdot [/mm] r$ mit [mm] $m\geq [/mm] 1$ und p und r sind Teilerfremd, dann gibt es (unter anderem) einen Stabilisator [mm] $g\in [/mm] G$ mit [mm] $gUg^{-1}=V$. [/mm]
Und dies wäre ja eine Äquivalente Bedingung dazu, dass es einen Normalteiler gibt.
Für die b) ist eine solche Zerlegung kein Problem:
[mm] $|G|=56=2^3\cdot [/mm] 7$ Also hätte diese Gruppe einen Normalteiler.
Bei der a) geht dies jedoch nicht, denn
[mm] $|G|=30=2\cdot 3\cdot [/mm] 5$
Dies erfüllt die Bedingung des Satzes also nicht.
Hätte ich es bei der b) überhaupt richtig gemacht?
Kann man den Sylow-Satz auch für a) irgendwie anwenden?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Fr 21.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, bis jetzt hast du weder für a) noch für b) gezeigt, dass es Normalteiler gibt.
Es gilt folgendes: Ist [mm] $\left|G\right|=p^m*r$, [/mm] so gibt es eine Untergruppe der Ordnung [mm] $p^m$ [/mm] (Sylow I, sogar wenn $p$ und $r$ nicht teilerfremd sind!). Ist $m$ maximal mit dieser Eigenschaft, so nennt man eine Untergruppe $H$ mit Ordnung [mm] $p^m$ [/mm] $p$-Sylow-Untergruppe. Die Aussage ist aber nun, dass so eine existiert. Sie muss aber nicht unbedingt ein Normalteiler sein. Ein Normalteiler ist sie nur, wenn es die einzige Untergruppe dieser Ordnung [mm] p^m [/mm] ist, denn dann gilt [mm] $gHg^{-1}=H\;\forall g\in [/mm] G$ (Sylow II), denn wenn es z.B. noch eine Untergruppe $H'$ der Ordnung [mm] p^m [/mm] gibt, dann gibt es ein [mm] $a\in [/mm] G$ mit [mm] $aHa^{-1}\subseteq H'\not=H$ [/mm] (Sylow II), d.h. $H$ wäre kein Normalteiler.
Du willst nun also zeigen, dass es genau eine Sylow-Untergruppe einer bestimmten Ordnung existiert.
z.B. Aufgabe a): 30=2*3*5. Nun finde (mittels Sylow III) heraus, wie viele 2-Sylow-Untergruppen es geben kann, wie viele 3-Sylow-Untergruppen und wie viele 5-Sylow-Untergruppen. Wenn du irgendeine Anzahl auf 1 festnageln kannst, so hast du einen Normalteiler.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Sa 22.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Wie kann ich für diese Gruppen denn am besten zeigen, dass es Untergruppen sind, bzw. ihre Anzahl bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:19 So 23.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hattet ihr den letzten Sylowsatz nicht? Der würde hier echt helfen! Er besagt folgendes:
Sei $G$ eine Gruppe mit [mm] $|G|=p^k\cdot [/mm] m$, $p, m$ teilerfremd. Dann gilt für die Anzahl [mm] $s_p$ [/mm] der $p$-Sylow-Untergruppen folgendes:
[mm] $s_p|m$
[/mm]
[mm] $s_p\equiv [/mm] 1 [mm] \mod{p} \gdw s_p=1+xp$ [/mm] für ein [mm] $x\in\IN_0$.
[/mm]
Nehmen wir z.B. ein $G$ mit $|G|=30=2*15$ und bestimmen die Anzahl [mm] $s_2$ [/mm] der 2-Sylow-Untergruppen so gut es geht.
Es gilt
[mm] $s_2|15 \gdw s_2\in\{1,3,5,15\}$
[/mm]
[mm] $s_2\equiv [/mm] 1 [mm] \mod{2}\gdw s_2 \in\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$
[/mm]
Weil [mm] s_2 [/mm] beide Bedingungen erfüllt, muss also [mm] s_2\in\{1,3,5,15\}\cap\{1,3,5,7,9,11,13,15\}=\{1,3,5,15\} [/mm] gelten. Das hilft leider nicht so sehr, weil du jetzt nicht genau sagen kannst, wie viele 2-Sylow-Untergruppen es gibt. Versuch das aber nun mal mit $p=3$ und $p=5$. Entweder [mm] s_3 [/mm] oder [mm] s_5 [/mm] sollte 1 sein, was dann impliziert, dass die jeweilige $p$-Sylow-Untergruppe ein (echter) Normalteiler ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:36 So 23.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Wir haben die Sylow-Sätze alle in einem Satz zusammengefasst.
Aber wir haben diese Charakterisierung, dass
[mm] $|Syl_p(G)|=kp+1$ [/mm] für p prim ist.
Ok, ich probiere es:
[mm] $|Syl_3(G)|=kp+1$
[/mm]
[mm] $Syl_3|10\Leftrightarrow Syl_3\in\{1,2,5,10\}$
[/mm]
Außerdem
[mm] $Syl_3\equiv 1\mod 3\Leftrightarrow Syl_3\in\{1,4,7\}$
[/mm]
Der Schnitt ist trivial, also ist [mm] Syl_3 [/mm] eine Untergruppe und damit Normalteiler, ebenfalls nach dem Sylow Satz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:02 So 23.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Ok, ich hab vorhin auch etwas geschludert, es sollte für $p=2$ eigentlich
[mm] s_2\equiv [/mm] 1 [mm] \mod{2} \gdw \{1,3,5,7,9,11,13,15, \ldots\} [/mm] heißen, d.h. die Menge ist unendlich.
Bei dir ist jetzt das Problem, dass du zu wenig Elemente in der Menge aufgelistet hast, z.B. ist auch [mm] $10\equiv [/mm] 1 [mm] \mod{3}$ [/mm] und $10|10$. Es könnte also auch [mm] $|Syl_3(G)|=10$ [/mm] gelten.
Das gleiche wirst du für $p=5$ erleben. Die Anzahl sollte aus der Menge [mm] \{1,6\} [/mm] stammen. Das ist jetzt echt blöd, es wäre einfach gewesen, wenn man eine Zahl hätte auf 1 festnageln können.
Aber man kann das noch retten, indem man sich mal folgendes überlegt: Angenommen [mm] |Syl_2(G)|, |Syl_3(G)|, |Syl_5(G)|>1, [/mm] also alle Anzahlen wären größer als 1. Dann gäbe es also mindestens
3 2-Sylow-Untergruppen
10 3-Sylow-Untergruppen
6 5-Sylow-Untergruppen.
Beachte nun, dass sich je 2 das sich eine p-SUG und q-SUG (sorry, schreibfaul ;)) für [mm] $p\not [/mm] q$ immer nur im neutralen Element schneiden. Auch schneiden sich für Primzahlen zwei p-SUG immer im neutralen Element.
Soll heißen: 2 2-SUG schneiden sich nur im neutralen Element. Eine 2-SUG und eine 5-SUG schneiden sich auch im neutralen Element. Habt ihr das mal gezeigt? Wenn nicht, kannst du das mal versuchen. (Annahme [mm] $x\not=e$ [/mm] ist ein Element im Schnitt. Schaue dir [mm] \left< x \right> [/mm] an).
So, jetzt zum Trick: Deine Gruppe G hat nur 30 Elemente. Und du hast so viele Sylow-Untergruppen (und sehr viele verschiedene Elemente), die sich alle kaum überlappen irgendwie. Kannst du damit einen Widerspruch herleiten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:15 So 23.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Hier findet wieder der selbe Sylow-Satz seine Anwendung, oder?
Ok, ich habe also mindestens 3 2-SUG, dann habe ich 10 5-SUG und 6 5-SUG
Das macht dann also grob abgeschätzt 86 Elemente. Jetzt hat jede Untergruppe das Neutralelement drin, macht also 66 Elemente, weil ich 19 mal das Neutralelement habe kann ich es 18 mal rausnehmen. Die Untergruppen müssen sich in mindestens einem Element unterscheiden, also nochmal 18 Elemente weniger, sind 48.
Nun weiß ich nicht weiter wie ich die maximale Anzahl an Elementen rausnehmen kann und trotzdem noch über 30 bin. Das wäre doch die Idee, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:07 So 23.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Das stimmt schon, was du machst, aber du möchtest zu viel abziehen!
Zählen wir einfach mal alle Elemente ohne dem neutralen zusammen.
3 2-SUG ohne $e$ [mm] \Rightarrow [/mm] 3*1=3 verschiedene Elemente.
10 3-SUG ohne [mm] $e$\Rightarrow [/mm] 10*2=20 verschiedene Elemente.
6 5-SUG ohne $e$ [mm] \Rightarrow [/mm] 6*4=24 verschiedene Elemente.
Denn all diese Mengen sind immer disjunkt, wenn man $e$ raus nimmt.
Das sind also 47 Elemente, zusammen mit $e$ dann $48>30$. Nun hast du einen Widerspruch (wozu eigentlich?).
Aufgabe b) kannst du sicher auch so lösen, wobei es etwas schwieriger werden könnte, weil die Faktorisierung nicht so schön wie in Aufgabe a) ist. Aber entweder findest du schon raus, dass [mm] Syl_2 [/mm] oder [mm] Syl_7 [/mm] 1 sein müssen oder du musst wieder wie eben argumentieren,jedoch hast du dann nur 2 verschiedene Primfaktoren und zwei 2-SUG können sich auch nicht-trivial überlappen. Da musst du dann mal schauen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:16 So 23.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Der Widerspruch entsteht zu der Anzahl der Elemente von G, denn wenn die Untergruppen alle disjunkt sind, wobei ich leider nicht weiß warum das gilt, dann können sie nicht mehr Elemente enthalten, also zusammen, als G.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:31 So 23.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Ja, also wenn [mm] $|Syl_2|,|Syl_3|,|Syl_5|>1$ [/mm] gilt, dann entsteht ein Widerspruch. Das heißt wiederum...?
Ok, jetzt noch zeigen, dass die ganzen SUG paarweise nur den trivialen Schnitt haben.
Zeig mal folgende allgemeine Resultate:
Sei $G$ eine Gruppe, $U$,$V$ Unergruppen mit teilerfremden Ordnungen (z.B. |U|=16, |V|=15). Dann gilt $U [mm] \cap [/mm] V [mm] =\{e\}$. [/mm] Ansatz: Sei [mm] $e\not=x\in U\cap [/mm] V$. Dann schau dir mal die von $x$ erzeugte Untergruppe an. Diese ist Untergruppe sowohl von $U$ als auch von $V$. Jetzt Stichwort Lagrange.
Und dann noch folgendes Lemma:
Sei $G$ eine Gruppe, [mm] $U\not=V$ [/mm] Untergruppen mit $|U|=|V|=p$ prim. Dann gilt $U [mm] \cap [/mm] V [mm] =\{e\}$. [/mm] Beweis geht genau wie davor.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:43 So 23.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Das heißt, dass mindestens eine dieser Untergruppen 1 Element haben muss.
Ok, ich werde mich diesem Beweis heute nach dem aufstehen widmen, muss jetzt erstmal schlafen. Vielen Dank für deine Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:55 So 23.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Ja, ich leg mich auch gleich mal hin ;) Kein Problem!
Aber nein, die Untergruppen haben alle immer jeweils 2, 3 bzw. 5 Elemente. Was du meinst ist, dass es entweder eine 2-SUG oder eine 3-SUG oder eine 5-SUG geben muss!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:31 So 30.11.2014 | | Autor: | YuSul |
So, mit etwas Verspätung hier mein Beweis. Für die Aussage, dass der Schnitt trivial ist.
Das war ja eigentlich ganz einfach. Der Widerspruch entsteht zur Teilerfremdheit der jeweiligen Ordnung von U und V.
Also:
Seien U, V Untergruppen mit teilerfremder Ordnung #U=a und #V=b also ggT(a,b)=1.
Angenommen [mm] $x\in U\cap [/mm] V$ mit [mm] $x\neq [/mm] e$. Betrachte [mm] $\langle x\rangle=\{e,x,x^2,...,x^m=e\}$
[/mm]
Dann ist [mm] $|\langle x\rangle|=m>1$. [/mm] Es ist m>1, weil [mm] $x\neq [/mm] e$. Nach dem Satz von Lagrange gilt dann:
[mm] $a=\underbrace{|U/\langle x\rangle|}_u \cdot |\langle x\rangle|=um$
[/mm]
[mm] $b=\underbrace{|V/\langle x\rangle|}_v \cdot |\langle x\rangle|=vm$
[/mm]
Im Widerspruch zur Teilerfremdheit, denn m|a und m|b und es ist [mm] $m\neq [/mm] 1$
Wäre das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 So 30.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Jup, genau so kannst du es machen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 So 30.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Toll.
Danke für deine Hilfe.
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