Sylowgruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Di 22.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe der Ordnung 12 und es bezeichne [mm] n_2,n_3 [/mm] die Anzahl der 2-bzw. 3-Sylowgruppen in G.
(1) Welche Zahlen sind für [mm] n_2 [/mm] und [mm] n_3 [/mm] möglich?
(2) Man zeige, dass [mm] n_2=3 [/mm] und [mm] n_3=4 [/mm] nicht gleichzeitig auftreten können.
(3) Man zeige, dass im Fall [mm] n_2=n_3=1 [/mm] die Gruppe G abelsch ist. Welche Isomorphietypen sind für G möglich? |
Meine Ideen sind:
zu (1):
[mm] n_2\equiv [/mm] 1 mod 2 und [mm] n_2|3\Rightarrow n_2\in \{1,3\}
[/mm]
[mm] n_3\equiv [/mm] 1 mod 3 und [mm] n_3|8\Rightarrow n_3\in \{1,4\}
[/mm]
zu (2):
Sei [mm] n_2=3. [/mm] Das bedeutet, es gibt drei 2-Sylowgruppen; diese haben jeweils 4 Elemente, also sind alle 12 Elemente, die überhaupt in G vorhanden sind, "verbraucht".
Darum ist für [mm] n_3 [/mm] nur noch die Anzahl 1 (also die Identität) möglich.
zu (3):
Es gelte [mm] n_2=n_3=1. [/mm] Sei A diese einzige s-Sylowgruppe und B diese einzige 3-Sylowgruppe. Dann sind A und B Normalteiler. A besitzt 4 Elemente, B hat 3 Elemente. Daher gilt [mm] |G|=|A|\cdot |B| [/mm].
Außerdem gilt [mm] A\cap B=\{id\}, [/mm] weil die Ordnungen von A und B teilerfremd sind.
Hier fällt mir das Stichwort "Direktes inneres Produkt" ein und es gilt m.E. [mm] G\cong A\times B [/mm].
Nun ist ja [mm] A\cong C_4, A\cong C_2\times C_2 [/mm] und [mm] B\cong C_3.
[/mm]
[mm] G\cong A\times B=C_4\times C_3 [/mm]
[mm] G\cong A\times B=C_2\times C_2\times C_3 [/mm]
Damit ist G zyklisch, das heißt abelsch.
Ist das schon die ganze Lösung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Di 22.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe eigentlich noch zwei Fragen zu dem, was ich da so lapidar hingeschrieben habe:
(1) B ist ja von der Ordnung 3, also zyklisch, weil 3 eine Primzahl ist. Deswegen ist wohl [mm] B\cong C_3.
[/mm]
Aber warum gilt [mm] A\cong C_4 [/mm] . . 4 ist doch keine Primzahl...
(2) Wie funktioniert das nochmal allgemein, dass man die Isomorphietypen einer endlichen abelschen Gruppe bestimmt?
Man ermittelt die Primfaktoren oder? Und dann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Di 22.02.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Es sei G eine Gruppe der Ordnung 12 und es bezeichne
> [mm]n_2,n_3[/mm] die Anzahl der 2-bzw. 3-Sylowgruppen in G.
>
> (1) Welche Zahlen sind für [mm]n_2[/mm] und [mm]n_3[/mm] möglich?
> (2) Man zeige, dass [mm]n_2=3[/mm] und [mm]n_3=4[/mm] nicht gleichzeitig
> auftreten können.
> (3) Man zeige, dass im Fall [mm]n_2=n_3=1[/mm] die Gruppe G abelsch
> ist. Welche Isomorphietypen sind für G möglich?
> Meine Ideen sind:
>
> zu (1):
> [mm]n_2\equiv[/mm] 1 mod 2 und [mm]n_2|3\Rightarrow n_2\in \{1,3\}[/mm]
>
> [mm]n_3\equiv[/mm] 1 mod 3 und [mm]n_3|8\Rightarrow n_3\in \{1,4\}[/mm]
Warum [mm] n_3|8 [/mm] und nicht [mm] n_3|4? [/mm] Eigentlich [mm] n_3|12.
[/mm]
> zu (2):
>
> Sei [mm]n_2=3.[/mm] Das bedeutet, es gibt drei 2-Sylowgruppen; diese
> haben jeweils 4 Elemente, also sind alle 12 Elemente, die
> überhaupt in G vorhanden sind, "verbraucht".
Das Argument zieht nicht. Die 1 ist in allen, also sind nur 9 Elem. verbraucht. Aber das ist auch eine ganze Menge.
> Darum ist für [mm]n_3[/mm] nur noch die Anzahl 1 (also die
> Identität) möglich.
>
> zu (3):
>
> Es gelte [mm]n_2=n_3=1.[/mm] Sei A diese einzige s-Sylowgruppe und B
> diese einzige 3-Sylowgruppe. Dann sind A und B
> Normalteiler. A besitzt 4 Elemente, B hat 3 Elemente. Daher
> gilt [mm]|G|=|A|\cdot |B| [/mm].
> Außerdem gilt [mm]A\cap B=\{id\},[/mm]
> weil die Ordnungen von A und B teilerfremd sind.
>
> Hier fällt mir das Stichwort "Direktes inneres Produkt"
> ein und es gilt m.E. [mm]G\cong A\times B [/mm].
Wenn die Beh. stimmen soll, muß das so sein, aber warum ist ds so?
> Nun ist ja [mm]A\cong C_4, A\cong C_2\times C_2[/mm] und [mm]B\cong C_3.[/mm]
>
> [mm]G\cong A\times B=C_4\times C_3[/mm]
> [mm]G\cong A\times B=C_2\times C_2\times C_3[/mm]
>
> Damit ist G zyklisch, das heißt abelsch.
Die 2. von den beiden Gruppen ist nicht zyklisch.
Da ist also noch etwas Nacharbeit erforderlich.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 22.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
> Hi!
>
> > Es sei G eine Gruppe der Ordnung 12 und es bezeichne
> > [mm]n_2,n_3[/mm] die Anzahl der 2-bzw. 3-Sylowgruppen in G.
> >
> > (1) Welche Zahlen sind für [mm]n_2[/mm] und [mm]n_3[/mm] möglich?
> > (2) Man zeige, dass [mm]n_2=3[/mm] und [mm]n_3=4[/mm] nicht gleichzeitig
> > auftreten können.
> > (3) Man zeige, dass im Fall [mm]n_2=n_3=1[/mm] die Gruppe G
> abelsch
> > ist. Welche Isomorphietypen sind für G möglich?
> > Meine Ideen sind:
> >
> > zu (1):
> > [mm]n_2\equiv[/mm] 1 mod 2 und [mm]n_2|3\Rightarrow n_2\in \{1,3\}[/mm]
>
> >
> > [mm]n_3\equiv[/mm] 1 mod 3 und [mm]n_3|8\Rightarrow n_3\in \{1,4\}[/mm]
>
> Warum [mm]n_3|8[/mm] und nicht [mm]n_3|4?[/mm] Eigentlich [mm]n_3|12.[/mm]
Da habe ich mich verrechnet, irgendwie hatte ich noch eine andere Aufgabe im Kopf, wo es um [mm] 2^3 [/mm] ging.. natürlich muss es heißen [mm] n_3|4 [/mm] bzw. [mm] n_3|12.
[/mm]
>
> > zu (2):
> >
> > Sei [mm]n_2=3.[/mm] Das bedeutet, es gibt drei 2-Sylowgruppen; diese
> > haben jeweils 4 Elemente, also sind alle 12 Elemente, die
> > überhaupt in G vorhanden sind, "verbraucht".
>
> Das Argument zieht nicht. Die 1 ist in allen, also sind nur
> 9 Elem. verbraucht. Aber das ist auch eine ganze Menge.
Wenn 9 Elemente verbraucht sind, so kann die Anzahl der 3-Sylowgruppen dennoch nicht 4 sein, denn die Ordnung von G ist ja nur 12 und nicht 13. Okay, danke.
>
> > Darum ist für [mm]n_3[/mm] nur noch die Anzahl 1 (also die
> > Identität) möglich.
> >
> > zu (3):
> >
> > Es gelte [mm]n_2=n_3=1.[/mm] Sei A diese einzige s-Sylowgruppe und B
> > diese einzige 3-Sylowgruppe. Dann sind A und B
> > Normalteiler. A besitzt 4 Elemente, B hat 3 Elemente. Daher
> > gilt [mm]|G|=|A|\cdot |B| [/mm].
> > Außerdem gilt [mm]A\cap B=\{id\},[/mm]
> > weil die Ordnungen von A und B teilerfremd sind.
> >
> > Hier fällt mir das Stichwort "Direktes inneres Produkt"
> > ein und es gilt m.E. [mm]G\cong A\times B [/mm].
>
> Wenn die Beh. stimmen soll, muß das so sein, aber warum
> ist ds so?
Wieso ich auf "Direktes inneres Produkt" komme? Weil A und B beides Normalteiler sind, die Multiplikation ihrer Ordnungen die Ordnung von G ergibt und der Schnitt trivial ist. Wikipedia und mein Skript sagen mir, dass das die Kriterien für das Direkte innere Produkt sind.
>
> > Nun ist ja [mm]A\cong C_4, A\cong C_2\times C_2[/mm] und [mm]B\cong C_3.[/mm]
>
> >
> > [mm]G\cong A\times B=C_4\times C_3[/mm]
> > [mm]G\cong A\times B=C_2\times C_2\times C_3[/mm]
>
> >
> > Damit ist G zyklisch, das heißt abelsch.
>
> Die 2. von den beiden Gruppen ist nicht zyklisch.
Welche meinst Du? A oder B?
>
> Da ist also noch etwas Nacharbeit erforderlich.
Wie kann ich denn dann zeigen, dass G abelsch ist?
>
> Gruß
> Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Di 22.02.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> > > Es sei G eine Gruppe der Ordnung 12 und es bezeichne
> > > [mm]n_2,n_3[/mm] die Anzahl der 2-bzw. 3-Sylowgruppen in G.
> > >
> > > (1) Welche Zahlen sind für [mm]n_2[/mm] und [mm]n_3[/mm] möglich?
> > > (2) Man zeige, dass [mm]n_2=3[/mm] und [mm]n_3=4[/mm] nicht
> gleichzeitig
> > > auftreten können.
> > > (3) Man zeige, dass im Fall [mm]n_2=n_3=1[/mm] die Gruppe G
> > abelsch
> > > ist. Welche Isomorphietypen sind für G möglich?
> > > Meine Ideen sind:
> > >
> > > zu (1):
> > > [mm]n_2\equiv[/mm] 1 mod 2 und [mm]n_2|3\Rightarrow n_2\in \{1,3\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]n_3\equiv[/mm] 1 mod 3 und [mm]n_3|8\Rightarrow n_3\in \{1,4\}[/mm]
>
> >
> > Warum [mm]n_3|8[/mm] und nicht [mm]n_3|4?[/mm] Eigentlich [mm]n_3|12.[/mm]
>
> Da habe ich mich verrechnet, irgendwie hatte ich noch eine
> andere Aufgabe im Kopf, wo es um [mm]2^3[/mm] ging.. natürlich muss
> es heißen [mm]n_3|4[/mm] bzw. [mm]n_3|12.[/mm]
> >
> > > zu (2):
> > >
> > > Sei [mm]n_2=3.[/mm] Das bedeutet, es gibt drei 2-Sylowgruppen; diese
> > > haben jeweils 4 Elemente, also sind alle 12 Elemente, die
> > > überhaupt in G vorhanden sind, "verbraucht".
> >
> > Das Argument zieht nicht. Die 1 ist in allen, also sind nur
> > 9 Elem. verbraucht. Aber das ist auch eine ganze Menge.
>
> Wenn 9 Elemente verbraucht sind, so kann die Anzahl der
> 3-Sylowgruppen dennoch nicht 4 sein, denn die Ordnung von G
> ist ja nur 12 und nicht 13. Okay, danke.
> >
> > > Darum ist für [mm]n_3[/mm] nur noch die Anzahl 1 (also die
> > > Identität) möglich.
> > >
> > > zu (3):
> > >
> > > Es gelte [mm]n_2=n_3=1.[/mm] Sei A diese einzige s-Sylowgruppe und B
> > > diese einzige 3-Sylowgruppe. Dann sind A und B
> > > Normalteiler. A besitzt 4 Elemente, B hat 3 Elemente. Daher
> > > gilt [mm]|G|=|A|\cdot |B| [/mm].
> > > Außerdem gilt [mm]A\cap B=\{id\},[/mm]
> > > weil die Ordnungen von A und B teilerfremd sind.
> > >
> > > Hier fällt mir das Stichwort "Direktes inneres Produkt"
> > > ein und es gilt m.E. [mm]G\cong A\times B [/mm].
> >
> > Wenn die Beh. stimmen soll, muß das so sein, aber warum
> > ist ds so?
>
> Wieso ich auf "Direktes inneres Produkt" komme? Weil A und
> B beides Normalteiler sind, die Multiplikation ihrer
> Ordnungen die Ordnung von G ergibt und der Schnitt trivial
> ist. Wikipedia und mein Skript sagen mir, dass das die
> Kriterien für das Direkte innere Produkt sind.
Der Bezug auf das Skript ist dann besser.
> > > Nun ist ja [mm]A\cong C_4, A\cong C_2\times C_2[/mm] und [mm]B\cong C_3.[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]G\cong A\times B=C_4\times C_3[/mm]
> > > [mm]G\cong A\times B=C_2\times C_2\times C_3[/mm]
>
> >
> > >
> > > Damit ist G zyklisch, das heißt abelsch.
> >
> > Die 2. von den beiden Gruppen ist nicht zyklisch.
>
> Welche meinst Du? A oder B?
Ich meinte die untere: [mm] C_2\times C_2\times C_3
[/mm]
> > Da ist also noch etwas Nacharbeit erforderlich.
>
> Wie kann ich denn dann zeigen, dass G abelsch ist?
Naja, Gruppen der Ordnung 3 sind kommutativ, sogar zyklisch; für Ordnung 4 gibt es nur 2 Typen (C4 und V4), die auch beide abelsch sind. Dann ist auch das direkte Produkt abelsch.
Gruß D
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 22.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
> Hallo!
>
> > > > Es sei G eine Gruppe der Ordnung 12 und es bezeichne
> > > > [mm]n_2,n_3[/mm] die Anzahl der 2-bzw. 3-Sylowgruppen in G.
> > > >
> > > > (1) Welche Zahlen sind für [mm]n_2[/mm] und [mm]n_3[/mm] möglich?
> > > > (2) Man zeige, dass [mm]n_2=3[/mm] und [mm]n_3=4[/mm] nicht
> > gleichzeitig
> > > > auftreten können.
> > > > (3) Man zeige, dass im Fall [mm]n_2=n_3=1[/mm] die Gruppe
> G
> > > abelsch
> > > > ist. Welche Isomorphietypen sind für G möglich?
> > > > Meine Ideen sind:
> > > >
> > > > zu (1):
> > > > [mm]n_2\equiv[/mm] 1 mod 2 und [mm]n_2|3\Rightarrow n_2\in \{1,3\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]n_3\equiv[/mm] 1 mod 3 und [mm]n_3|8\Rightarrow n_3\in \{1,4\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Warum [mm]n_3|8[/mm] und nicht [mm]n_3|4?[/mm] Eigentlich [mm]n_3|12.[/mm]
> >
> > Da habe ich mich verrechnet, irgendwie hatte ich noch eine
> > andere Aufgabe im Kopf, wo es um [mm]2^3[/mm] ging.. natürlich muss
> > es heißen [mm]n_3|4[/mm] bzw. [mm]n_3|12.[/mm]
> > >
> > > > zu (2):
> > > >
> > > > Sei [mm]n_2=3.[/mm] Das bedeutet, es gibt drei 2-Sylowgruppen; diese
> > > > haben jeweils 4 Elemente, also sind alle 12 Elemente, die
> > > > überhaupt in G vorhanden sind, "verbraucht".
> > >
> > > Das Argument zieht nicht. Die 1 ist in allen, also sind nur
> > > 9 Elem. verbraucht. Aber das ist auch eine ganze Menge.
> >
> > Wenn 9 Elemente verbraucht sind, so kann die Anzahl der
> > 3-Sylowgruppen dennoch nicht 4 sein, denn die Ordnung von G
> > ist ja nur 12 und nicht 13. Okay, danke.
> > >
> > > > Darum ist für [mm]n_3[/mm] nur noch die Anzahl 1 (also die
> > > > Identität) möglich.
> > > >
> > > > zu (3):
> > > >
> > > > Es gelte [mm]n_2=n_3=1.[/mm] Sei A diese einzige s-Sylowgruppe und B
> > > > diese einzige 3-Sylowgruppe. Dann sind A und B
> > > > Normalteiler. A besitzt 4 Elemente, B hat 3 Elemente. Daher
> > > > gilt [mm]|G|=|A|\cdot |B| [/mm].
> > > > Außerdem gilt
> [mm]A\cap B=\{id\},[/mm]
> > > > weil die Ordnungen von A und B teilerfremd sind.
> > > >
> > > > Hier fällt mir das Stichwort "Direktes inneres Produkt"
> > > > ein und es gilt m.E. [mm]G\cong A\times B [/mm].
> > >
> > > Wenn die Beh. stimmen soll, muß das so sein, aber warum
> > > ist ds so?
> >
> > Wieso ich auf "Direktes inneres Produkt" komme? Weil A und
> > B beides Normalteiler sind, die Multiplikation ihrer
> > Ordnungen die Ordnung von G ergibt und der Schnitt trivial
> > ist. Wikipedia und mein Skript sagen mir, dass das die
> > Kriterien für das Direkte innere Produkt sind.
>
> Der Bezug auf das Skript ist dann besser.
>
> > > > Nun ist ja [mm]A\cong C_4, A\cong C_2\times C_2[/mm] und [mm]B\cong C_3.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]G\cong A\times B=C_4\times C_3[/mm]
> > > > [mm]G\cong A\times B=C_2\times C_2\times C_3[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Damit ist G zyklisch, das heißt abelsch.
> > >
> > > Die 2. von den beiden Gruppen ist nicht zyklisch.
> >
> > Welche meinst Du? A oder B?
>
> Ich meinte die untere: [mm]C_2\times C_2\times C_3[/mm]
>
> > > Da ist also noch etwas Nacharbeit erforderlich.
> >
> > Wie kann ich denn dann zeigen, dass G abelsch ist?
>
> Naja, Gruppen der Ordnung 3 sind kommutativ, sogar
> zyklisch; für Ordnung 4 gibt es nur 2 Typen (C4 und V4),
> die auch beide abelsch sind. Dann ist auch das direkte
> Produkt abelsch.
>
> Gruß D
Danke, mir war nicht bewusst, dass es nur 2 mögliche Gruppen der Ordnung 4 gibt... und die auch noch beide abelsch sind.
Jetzt bleibt für mich nur noch die Frage, wieso [mm]C_2\times C_2\times C_3[/mm] nicht zyklisch ist und wie man allgemein für eine endliche abelsche Gruppe die Isomorphietypen bestimmen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 22.02.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Jetzt bleibt für mich nur noch die Frage, wieso [mm]C_2\times C_2\times C_3[/mm]
> nicht zyklisch ist und wie man allgemein für eine endliche
> abelsche Gruppe die Isomorphietypen bestimmen kann.
Versuch mal, ein Element der Ordnung 12 zu finden. Mit Ordnung 4 wirst du auch schon dein Knacken haben.
Die Antwort auf deine Frage ist der Hauptsatz über endlich-erzeugte abelsche Gruppen. Gleichwertig ist der Elementarteilersatz.
Bis dann
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 22.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen besagt, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G zu einer endlichen direkten Summe von zyklischen Gruppen, deren Ordnung die Potenz einer Primzahl ist, und unendlichen zyklischen Gruppen isomorph ist.
[Quelle: Wikipedia]
Das bedeutet doch für diese Aufgabe letztlich, dass ich erstmal 12 in Primfaktoren zerlegen muss, also
[mm] 12=2^2\cdot [/mm] 3
...Potenzen einer Primzahl...
Also hier: [mm] 2^1\cdot 2^1\cdot 3^1
[/mm]
oder: [mm] 2^2\cdot 3^1
[/mm]
Sind also die Isomorphietypen hier:
[mm] G=C_2\times C_2\times C_3
[/mm]
[mm] G=C_4\times C_3
[/mm]
??
Aber dann wäre ja G nicht abelsch im Fall [mm] G=C_2\times C_2\times C_3...
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Di 22.02.2011 | | Autor: | statler |
> Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
> besagt, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G zu
> einer endlichen direkten Summe von zyklischen Gruppen,
> deren Ordnung die Potenz einer Primzahl ist, und
> unendlichen zyklischen Gruppen isomorph ist.
> [Quelle: Wikipedia]
>
> Das bedeutet doch für diese Aufgabe letztlich, dass ich
> erstmal 12 in Primfaktoren zerlegen muss, also
>
> [mm]12=2^2\cdot[/mm] 3
>
> ...Potenzen einer Primzahl...
> Also hier: [mm]2^1\cdot 2^1\cdot 3^1[/mm]
> oder: [mm]2^2\cdot 3^1[/mm]
>
> Sind also die Isomorphietypen hier:
>
> [mm]G=C_2\times C_2\times C_3[/mm]
> [mm]G=C_4\times C_3[/mm]
>
> ??
>
> Aber dann wäre ja G nicht abelsch im Fall [mm]G=C_2\times C_2\times C_3...[/mm]
>
Du machst es einem nicht einfach. Der Satz bezieht sich nur auf abelsche Gruppen, G ist nach Voraussetzung abelsch. Und umgekehrt sind natürlich direkte Produkte von zyklischen, also abelschen Gruppen wieder abelsch, das hatten wir schon. Aber das direkte Produkt von zyklischen Gruppen muß nicht zyklisch sein (s. o.).
Ciao D
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Di 22.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Mit anderen Worten:
Die von mir angegeben direkten Produkte beschreiben alle Isomorphietypen?
[Und ich habe nur den Satz missverstanden?]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Di 22.02.2011 | | Autor: | statler |
> Mit anderen Worten:
>
> Die von mir angegeben direkten Produkte beschreiben alle
> Isomorphietypen?
... jedenfalls für den abelschen Fall.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Di 22.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Danke für die geduldige Hilfe.
Ich bin wirklich kein einfacher Fall.
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