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| Aufgabe | Sei F ein endlicher Körper. Die Menge aller Matrizen [mm] \pmat{ a & b \\ 0 & d } [/mm] mit a,b,c [mm] \in [/mm] F ist eine Untergruppe B von [mm] GL_{2}(F).
[/mm]
Zeige, dass alle Sylowuntergruppen von B abelsch sind. |
Hallo!
Ich habe bis jetzt leider keinen brauchbaren Ansatz gefunden, wie denn dieses Beispiel in den Griff zu bekommen ist.
Das einzige, was mir bis jetzt gelang, war die Ordnung von B zu bestimmen, welche gleich (k-1)(k-1)k ist, wo k die Ordnung des Körpers ist.
Wäre sehr dankbar für einen Tipp, wie man denn an die Lösung dieses Beispiels herangehen könnte, speziell, da ich bis übermorgen die Lösung präsentieren sollte. Vielen Dank für alle Ideen.
Ich habe die Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Di 11.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei F ein endlicher Körper. Die Menge aller Matrizen [mm]\pmat{ a & b \\ 0 & d }[/mm]
> mit a,b,c [mm]\in[/mm] F ist eine Untergruppe B von [mm]GL_{2}(F).[/mm]
ich nehme an, dass $a$ und $d$ aus [mm] $\mathbb{F}^\times$ [/mm] sein sollen, also invertierbar.
> Zeige, dass alle Sylowuntergruppen von B abelsch sind.
> Ich habe bis jetzt leider keinen brauchbaren Ansatz
> gefunden, wie denn dieses Beispiel in den Griff zu bekommen
> ist.
> Das einzige, was mir bis jetzt gelang, war die Ordnung von
> B zu bestimmen, welche gleich (k-1)(k-1)k ist, wo k die
> Ordnung des Körpers ist.
genau. es ist also $|B| = (k-1)^2k$, wobei $k = [mm] p^f$ [/mm] für eine primzahl $p$ und $f [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] (warum?).
überlege dir mal, dass $B$ abelsche untergruppen der ordnung $k$ und $(k - [mm] 1)^2$ [/mm] hat (setze dazu geeignete einträge $0$ beziehungsweise $1$). überlege dir dann, dass jede primzahlpotenz $q$, welche $(k - 1)^2k$ teilt, entweder $(k - [mm] 1)^2$ [/mm] oder $k$ teilt und es somit eine abelsche untergruppe von $B$ der ordnung $q$ gibt. nun hilft dir der sylowsatz, um zu zeigen, dass alle untergruppen der ordnung $q$ abelsch sind.
grüße
andreas
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Danke erstmals für die Antwort.
Jetzt komme ich aber genau wieder auf ein Problem, dass ich nicht ganz verstehe: Wieso hat ein endlicher Körper F eine Ordnung, die der Potenz einer Primzahl entspricht?
Man beweist dies ja, in dem man den Körper F als Vektorraum über dem Unterkörper, welcher durch die Eins in F erzeugt wird, errichtet. Das die Ordnung des Unterkörpers (die Charakteristik von F) eine Primzahl ist, ist mir klar. Allerdings weiss ich nicht wie ich F über dem Unterkörper konstruieren soll. Und auch nicht, wieso dann die Ordnung eine Potenz der Ordnung des Unterkörpers sein sollte.
Das kommt ja alles bei den Körpererweiterungen vor, soweit ich weiss, wovon ich allerdings noch keine Ahnung habe. Brauche ich dieses Kapitel hier?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Di 11.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
außer der aussage, dass jeder endliche körper $q$ elemente mit $q = [mm] p^f$, [/mm] $p$ prim, $f [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] hat, brauchst du nichts weiter. das ist leicht einzusehen:
sei [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] ein endlicher körper und [mm] $\mathbb{F}_p$ [/mm] sein primkörper (der von dir beschriebene von "der $1$ erzeugte" unterkörper von [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] mit $p$ elementen, $p$ prim). im körper [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] ist eine multiplikation definiert. schränkst du diese multiplikation in der ersten komponenet auf elemente aus [mm] $\mathbb{F}_p \subseteq \mathbb{F}$ [/mm] ein, so erhälst du eine multiplikation
[m] \begin{array}{rccc} \cdot: & \mathbb{F}_p \times \mathbb{F} & \longrightarrow & \mathbb{F} \\ & (\lambda, x) & \longmapsto & \lambda x \end{array} [/m].
mach dir klar, dass mit der gewöhnlichen addition in [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] und dieser skalarmultiplikation [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] zu einem [mm] $\mathbb{F}_p$-vektorraum [/mm] wird (das folgt aus den körperaxiomen, aber es schadet bestimmt nicht hier einmal die vektorraumaxiome genau nachzuprüfen). warum ist [mm] $\dim_{\mathbb{F}_p} \mathbb{F} [/mm] < [mm] \infty$? [/mm] sei nun [mm] $\dim_{\mathbb{F}_p} \mathbb{F} [/mm] = f [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm] wieviele elemente hat ein $f$-dimensionaler [mm] $\mathbb{F}_p$-vektorraum? [/mm] mach dir dazu am besten klar, dass jeder $f$-dimensionale [mm] $\mathbb{F}_p$-vektorraum [/mm] isomorph zum spaltenvektorraum [mm] $\mathbb{F}_p^f$ [/mm] ist. wieviele elemente hat dieser?
fülle die (kleinen) lücken, die ich in dem beweis gelassen habe.
ist dir der rest des beweises damit klar?
grüße
andreas
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Also es wird alles schön langsam etwas klarer, zumindest die Körpererweiterung betreffend.
Betrachte ich die Faktorgruppe [mm] \IF [/mm] / [mm] \IF_{p} [/mm] , so gilt wegen der Surjektivität der natürlichen Abbildung in die Faktorgruppe, dass die Repräsentanten der Faktorgruppe ein Erzeugendensystem von [mm] \IF [/mm] über [mm] \IF_{p} [/mm] liefern.
Mit der Klassengleichung erhalte ich aber, dass das Repräsentantensystem wegen der Endlichkeit des Körpers endlich ist, insbesondere ist also auch [mm] \IF [/mm] über [mm] \IF_{p} [/mm] endlich. ( Da die Anzahl der Elemente einer beliebigen Basis von [mm] \IF [/mm] über [mm] \IF_{p} \le [/mm] [F : [mm] \IF_{p}] [/mm] ist)
Hier hätte ich noch eine Frage: bilden die Repräsentanten sogar eine Basis? Wie zeige ich denn die lineare Unabhängigkeit?
(Wobei ich mich hier strikt auf den Fall eines endlich dimensionalen Körpers beziehe)
Wegen dem Lemma von Zorn existiert eine Basis B = [mm] {a_{1},....,a_{n} } [/mm] und ich kann jedes Element x [mm] \in \IF [/mm] als [mm] \lambda_{1} a_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n} a_{n} [/mm] schreiben, und kann also jedes x [mm] \in \IF [/mm] mit einem Vektor [mm] (\lambda_{1},...,\lambda_{n}) [/mm] in [mm] \IF_{p}^{n} [/mm] identifizieren. Schreibe ich die Vektoren als Spalten, existieren für jede Zeile [mm] |\IF [/mm] | = p -viele Möglichkeiten, also ingesamt [mm] p^{k} [/mm] viele Elemente.
Dass [mm] \IF [/mm] über [mm] \IF_{p} [/mm] die Vektorraumaxiome erfüllt, erscheint mir recht klar, da ja Kommutativität und Distributivität bezüglich der Skalarmultiplikation schon wegen den Körperaxiomen [mm] \IF [/mm] gelten und [mm] \IF_{p} [/mm] nur eine Teilmenge ist, und die Skalarmultiplikation der gewöhnlichen Muliplikation in [mm] \IF [/mm] enstpricht.
Vielen Dank für deine Hinweise, der Rest des Beweises ist mir zwar noch nicht ganz klar, aber ich muss ihn mir auch noch genauer ansehen, da ich bis jetzt mehr mit der Körpererweiterung beschäftigt war,
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:04 Mi 12.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Also es wird alles schön langsam etwas klarer, zumindest
> die Körpererweiterung betreffend.
das ist schonmal gut.
> Betrachte ich die Faktorgruppe [mm]\IF[/mm] / [mm]\IF_{p}[/mm] , so gilt
> wegen der Surjektivität der natürlichen Abbildung in die
> Faktorgruppe, dass die Repräsentanten der Faktorgruppe ein
> Erzeugendensystem von [mm]\IF[/mm] über [mm]\IF_{p}[/mm] liefern.
> Mit der Klassengleichung erhalte ich aber, dass das
> Repräsentantensystem wegen der Endlichkeit des Körpers
> endlich ist, insbesondere ist also auch [mm]\IF[/mm] über [mm]\IF_{p}[/mm]
> endlich. ( Da die Anzahl der Elemente einer beliebigen
> Basis von [mm]\IF[/mm] über [mm]\IF_{p} \le[/mm] [F : [mm]\IF_{p}][/mm] ist)
das ist schon mit recht schweren geschossen darauf los gegangen. man kann sich auch leicht klar machen, dass jeder unendlich-dimensionale vektorraum über einem (endlichen) körper unendlich viele elemente enthält, aber so geht es natürlich auch.
> Hier hätte ich noch eine Frage: bilden die Repräsentanten
> sogar eine Basis?
im allgemeinen nicht. es ist [mm] $|\mathbb{F}_9 [/mm] : [mm] \mathbb{F}_3| [/mm] = 3$ (als gruppen), aber [mm] $\dim_{\mathbb{F}_3} \mathbb{F}_9 [/mm] = 2$.
> Wegen dem Lemma von Zorn existiert eine Basis B =
> [mm]{a_{1},....,a_{n} }[/mm] und ich kann jedes Element x [mm]\in \IF[/mm]
> als [mm]\lambda_{1} a_{1}[/mm] + ... + [mm]\lambda_{n} a_{n}[/mm] schreiben,
> und kann also jedes x [mm]\in \IF[/mm] mit einem Vektor
> [mm](\lambda_{1},...,\lambda_{n})[/mm] in [mm]\IF_{p}^{n}[/mm]
> identifizieren. Schreibe ich die Vektoren als Spalten,
> existieren für jede Zeile [mm]|\IF[/mm] | = p -viele Möglichkeiten,
> also ingesamt [mm]p^{k}[/mm] viele Elemente.
genau. wobei $n = k$ (das lemma von zorn benötigt man hier übrigens nicht).
> Dass [mm]\IF[/mm] über [mm]\IF_{p}[/mm] die Vektorraumaxiome erfüllt,
> erscheint mir recht klar, da ja Kommutativität und
> Distributivität bezüglich der Skalarmultiplikation schon
> wegen den Körperaxiomen [mm]\IF[/mm] gelten und [mm]\IF_{p}[/mm] nur eine
> Teilmenge ist, und die Skalarmultiplikation der
> gewöhnlichen Muliplikation in [mm]\IF[/mm] enstpricht.
dann ist gut.
> Vielen Dank für deine Hinweise, der Rest des Beweises ist
> mir zwar noch nicht ganz klar, aber ich muss ihn mir auch
> noch genauer ansehen, da ich bis jetzt mehr mit der
> Körpererweiterung beschäftigt war,
wenn du noch weitere fragen hast, kannst du diese gerne noch stellen.
grüße
andreas
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Ich glaube jetzt hab ich's:
Also sei nun zunächst
A = [mm] \{ \pmat{ a & 0 \\ 0 & d } | a,d \in F^{\*} \}
[/mm]
C = [mm] \{ \pmat{ 1 & b \\ 0 & 1 } | b \in F \}
[/mm]
|A| = [mm] (k-1)^{2} [/mm] , |C| = k und A sowie C sind abelsche Untergruppen von B
Außerdem ist C p-Sylowuntergruppe (da k = [mm] p^{n}) [/mm] und somit gilt auch für jede andere p-Sylowuntergruppe [mm] S_{p} [/mm] von B, dass diese abelsch sein muss, da die Sylowuntergruppen zueinander konjugiert sind und jede zu einer abelschen Gruppe konjugierte Gruppe wieder abelsch ist.
Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung besitzt k keine weitere Primteiler außer p. Und da [mm] (p^{n}-1)^{2} [/mm] nicht von p geteilt wird, gilt für einen Primfaktor q von |B|, dass entweder q|k (=> q = p) oder [mm] q|(k-1)^{2}.
[/mm]
Sei nun r [mm] \in \IP [/mm] , r teile |B| und r [mm] \not= [/mm] p (Der Fall r = p ist ja oben schon abgehandelt)
Da r | [mm] (k-1)^{2} [/mm] , gilt eben r | |A| und |A| = [mm] r^{d}*q [/mm] mit q prim zu r
Wegen den Sylowsätzen gilt, dass für alle k [mm] \in [/mm] {1, ... d} r-Untergruppen [mm] K_{r} [/mm] von D existieren mit [mm] |K_{r}| [/mm] = [mm] r^{k}. [/mm] Insbesondere existiert also auch eine r-Sylowuntergruppe [mm] S_{r} [/mm] in D, die natürlich auch abelsch ist, da D abelsch ist. Diese r-Sylowuntergruppe ist nun aber auch eine solche in B, da ja D [mm] \subset [/mm] B. Wiederum gilt, dass alle weiteren r-Sylowuntergruppen von B zu [mm] S_{r} [/mm] konjugiert sind und somit auch abelsch sind.
Damit sind nun alle Sylowuntergruppen von B abelsch. [mm] \Box
[/mm]
Wie schön!
Vielen Dank für deine Hilfe, ich hätte mir echt nicht gedacht, dass ich noch zu einer Lösung komme.
In letzter Minute quasi, da morgen die Präsentation ansteht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Mi 12.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
das sieht im großen und ganzen schon gut aus. ertsmal zur vereinheitlichung der notation: du hast einen körper [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] mit [mm] $|\mathbb{F}| [/mm] = k = [mm] p^f$, [/mm] $p$ prim, $f [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] und eine lineare gruppe $B$ mit $|B| = k*(k - [mm] 1)^2$.
[/mm]
> Also sei nun zunächst
>
> A = [mm]\{ \pmat{ a & 0 \\ 0 & d } | a,d \in F^{\*} \}[/mm]
>
> C = [mm]\{ \pmat{ 1 & b \\ 0 & 1 } | b \in F \}[/mm]
>
> |A| = [mm](k-1)^{2}[/mm] , |C| = k und A sowie C sind abelsche
> Untergruppen von B
genau.
> Außerdem ist C p-Sylowuntergruppe (da k = [mm]p^{n})[/mm] und somit
> gilt auch für jede andere p-Sylowuntergruppe [mm]S_{p}[/mm] von B,
> dass diese abelsch sein muss, da die Sylowuntergruppen
> zueinander konjugiert sind und jede zu einer abelschen
> Gruppe konjugierte Gruppe wieder abelsch ist.
genau.
> Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung besitzt k
> keine weitere Primteiler außer p. Und da [mm](p^{n}-1)^{2}[/mm]
> nicht von p geteilt wird, gilt für einen Primfaktor q von
> |B|, dass entweder q|k (=> q = p) oder [mm]q|(k-1)^{2}.[/mm]
>
> Sei nun r [mm]\in \IP[/mm] , r teile |B| und r [mm]\not=[/mm] p (Der Fall r
> = p ist ja oben schon abgehandelt)
>
> Da r | [mm](k-1)^{2}[/mm] , gilt eben r | |A| und |A| = [mm]r^{d}*q[/mm]
> mit q prim zu r
ok.
> Wegen den Sylowsätzen gilt, dass für alle k [mm]\in[/mm] {1, ... d}
> r-Untergruppen [mm]K_{r}[/mm] von D existieren mit [mm]|K_{r}|[/mm] = [mm]r^{k}.[/mm]
$k$ hat oben schon eine ander bedeutung, also lieber einen anderen buchstaben wählen. ich wage zu bezweifeln, dass das die sylowsätze garantieren. ich denke nach denen ist nur die existenz einer $r$-sylowgruppe [mm] $S_r$ [/mm] der ordnung [mm] $r^d$ [/mm] gesichert. außerdem gibt es nach dem satz von cauchy eine untergruppe der ordnung $r$, aber ob es im nicht-abelschen fall untergruppen der ordnungen [mm] $r^2, r^3, [/mm] ..., [mm] r^{d-1}$ [/mm] gibt, ist fraglich. aber man könnte sich überlegen, wie das bei abelschen gruppen aussieht?
> Insbesondere existiert also auch eine r-Sylowuntergruppe
> [mm]S_{r}[/mm] in D, die natürlich auch abelsch ist, da D abelsch
> ist.
was ist $D$?
> Diese r-Sylowuntergruppe ist nun aber auch eine solche
> in B, da ja D [mm]\subset[/mm] B. Wiederum gilt, dass alle weiteren
> r-Sylowuntergruppen von B zu [mm]S_{r}[/mm] konjugiert sind und
> somit auch abelsch sind.
> Damit sind nun alle Sylowuntergruppen von B abelsch. [mm]\Box[/mm]
ansonsten passen die argumente.
grüße
andreas
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Hallo,
Entschuldige, natürlich sollte das ominöse D eigentlich C sein.
Genauer formuliert lautet meine fragliche Behauptung eigentlich so:
"Wegen den Sylowsätzen gilt, dass für alle j $ [mm] \in [/mm] $ {1, ... d}
> r-Untergruppen $ [mm] C_{j} [/mm] $ von C existieren mit $ [mm] |C_{j}| [/mm] $ = $ [mm] r^{j}. [/mm] $ "
(Wo |C| = [mm] r^{d}*s, [/mm] r [mm] \in \IP, [/mm] und s prim zu p)
Die Existenz solcher Untergruppe ist aber mit den Sylow-Sätzen gesichert, zumindest mit der Formulierung der Sylow-Sätze, die ich verwende:
http://books.google.at/books?id=Fx_1SXB78zkC&pg=PA31&lpg=PA31&dq=Schwermer+Sylow&source=web&ots=yy8diuk8G6&sig=mhCP0r3hV0j_En8ymIl06CvJ2CM&hl=de#PPA32,M1
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Mi 12.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Genauer formuliert lautet meine fragliche Behauptung
> eigentlich so:
>
> "Wegen den Sylowsätzen gilt, dass für alle j [mm]\in[/mm] {1, ...
> d}
> > r-Untergruppen [mm]C_{j}[/mm] von C existieren mit [mm]|C_{j}|[/mm] =
> [mm]r^{j}.[/mm] "
> (Wo |C| = [mm]r^{d}*s,[/mm] r [mm]\in \IP,[/mm] und s prim zu p)
>
> Die Existenz solcher Untergruppe ist aber mit den
> Sylow-Sätzen gesichert, zumindest mit der Formulierung der
> Sylow-Sätze, die ich verwende:
>
> http://books.google.at/books?id=Fx_1SXB78zkC&pg=PA31&lpg=PA31&dq=Schwermer+Sylow&source=web&ots=yy8diuk8G6&sig=mhCP0r3hV0j_En8ymIl06CvJ2CM&hl=de#PPA32,M1
das ist eine stärkere version des sylowsatzes als ich ihn kenne und wie er vermutlich üblich ist. aber um so besser.
grüße
andreas
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