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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Sa 02.09.2006 | | Autor: | schlotti |
| Aufgabe | | Geben Sie die Symetrie der Funktion [mm] \bruch{x}{1+x²} [/mm] an. |
Bei ganzrationalen Funktionen lässt sich die Symetrie ja einfach an den Exponenten der Variablen ablesen, bzw. oder mit f(x) = f(-x) , f(-x)= -f(x) ablesen. Aber wie gehe ich bei einer gebrochenrationalen Funktion vor?
Wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte.
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Geben Sie die Symetrie der Funktion [mm]\bruch{x}{1+x²}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
an.
>
> Bei ganzrationalen Funktionen lässt sich die Symetrie ja
> einfach an den Exponenten der Variablen ablesen, bzw. oder
Richtig. Das kannst du aber auch mit folgenden Bedingungen herleiten:
> mit f(x) = f(-x) , f(-x)= -f(x) ablesen. Aber wie gehe ich
> bei einer gebrochenrationalen Funktion vor?
Genauso wie bei einer Exponentialfunktion. Du benutzt die Bedingungen $f(x) = f(-x)$ für die Achsensymmetrie und die andere für die Punktsymmetrie zum Ursprung.
Unser Test auf Achsensymmetrie wäre nun:
$f(x) = \bruch{x}{1+x²}$
$f(x) = f(-x)$
$ \bruch{x}{1+x²} \not= \br{-x}{1+(-x)^2$
bzw.
$ \bruch{x}{1+x²} \not= \red{-}\br{x}{1+(x)^2$
> Wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte.
Es liegt also keine Achsensymmetrie vor. Aber was ist mit Punktsymmetrie?
> Viele Grüße
>
> Marcel
>
Viele Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Sa 02.09.2006 | | Autor: | schlotti |
ah, ok vielen Dank dann wäre die Funktion punktsymetrisch da,
f(-x) = -f(x) gilt.
[mm] \bruch{-x}{1+(-x)²} [/mm] = - [mm] \bruch{x}{1+x²}
[/mm]
- [mm] \bruch{x}{1+x²} [/mm] = - [mm] \bruch{x}{1+x²}
[/mm]
viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Marcel,
> Geben Sie die Symetrie der Funktion [mm]\bruch{x}{1+x²}[/mm] an.
>
> Bei ganzrationalen Funktionen lässt sich die Symetrie ja
> einfach an den Exponenten der Variablen ablesen, bzw. oder
> mit f(x) = f(-x) , f(-x)= -f(x) ablesen. Aber wie gehe ich
> bei einer gebrochenrationalen Funktion vor?
Auch hier kann man sich die Symmetrie an Hand der Exponenten überlegen, allerdings nicht mehr so einfach wie bei den ganzrationalen Funktionen:
Und zwar könnte man Zähler- und Nennerfunktion (die ja beide ganzrationale Funktionen sind) einzeln auf Symmetrie untersuchen und dann folgern:
Zähler achsensymmetrisch, Nenner achsensymmetrisch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Bruch achsensymmetrisch
Zähler punktsymmetrisch, Nenner punktsymmetrisch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Bruch achsensymmetrisch
Zähler punktsymmetrisch, Nenner achensymmetrisch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Bruch punktsymmetrisch
Zähler achsensymmetrisch, Nenner punktsymmetrisch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Bruch punktsymmetrisch
In allen anderen Fällen (z.B. Zähler weder achsen- noch punktsymmetrisch) ist leider keine solche Aussage möglich, aber in deinem Fall konkreten Fall schon:
x punktsymmetrisch, 1+x² achsensymmetrisch [mm] $\Rightarrow$ $\bruch{x}{1+x^2}$ [/mm] punktsymmetrisch.
Die Beweise der obigen vier Aussagen kann man sich leicht überlegen, ich mache mal den Beweis für die zweite Aussage vor:
Gegeben: [mm] $f(x)=\bruch{z(x)}{n(x)}$ [/mm] mit z, n zwei punktsymmetrische ganzrationale Funktionen
Beweis:
$f(-x)$
[mm] $=\bruch{z(-x)}{n(-x)}$
[/mm]
Nun Punktsymmetrie von z und n ausnutzen ($z(-x)=-z(x)$ und $n(-x)=-n(x)$):
[mm] $=\bruch{-z(x)}{-n(x)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{z(x)}{n(x)}$
[/mm]
$=f(x)$
Also gilt $f(-x)=f(x)$, was ein Kriterium für die Achsensymmetrie von f ist (siehe Disaps Beitrag).
Viele Grüße,
Marc
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