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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fraiser |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^2 [/mm] = [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] sei folgende relation R gegeben:
xRy: [mm] \gdw [/mm] |x| [mm] \le [/mm] |y|
Liegt Symmetrie vor? |
Hi,
da wir im [mm] \IR^2 [/mm] sind habe ich mir gedacht, dass es Zahlenpaare sein müssen.
Bei Symmetrie also xRy [mm] \Rightarrow [/mm] yRx mit x=(x1,x2) und y=(y1,y2):
|(x1,x2)| [mm] \le [/mm] |(y1,y2)| [mm] \Rightarrow [/mm] |(y1,y2)| [mm] \le [/mm] |(x1,x2)|
Dann habe ich einfach ein Gegenbeispiel gesucht, um zu prüfen, ob Symmetrie für alle Zahlen aus [mm] \IR [/mm] vorliegt:
x1=3, x2=2, y1=1, y2=6
=> Symmterie gilt hierfür nicht
Stimmt der Weg so oder ist das anders zu lösen? Besonders bei den Zahlenpaaren bin ich mir unsicher.
Vielen Dank!
MfG
fraiser
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Deine Lösung ist völlig richtig, Du machst es Dir nur schwerer als es ist. =)
Mal in Worten, was sagt denn xRy aus? xRy heißt: x ist höchstens so lang wie y.
Folgt daraus, daß y höchstens so lang ist wie x? Nein. Also keine Symmetrie.
Um das mit Zahlen zu zeigen, brauchst Du also einen Vektor x, der echt kürzer ist als y, und dafür kannst Du die trivialsten Beispiele nehmen, die Dir einfallen: x=(0,0), y=(1,0).
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fraiser |
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Einfachere Zhalen wären wirklich etwas entspannter; ich nehms mir mal zu Herzen. ;)
Eine Frage hättte ich dann noch, da das nur eine Teilaufgabe der ganzen Aufgabe war.
Mein ergebnis ist weiterhin, dass |x| [mm] \le [/mm] |y| auch nicht antisymmetrisch und transitiv ist, dafür aber reflexiv und vollständig.
Es wäre also weder Äquivalenz-, Ordnungsrelation noch Präferenz?
Das ist ebenso komisch, da gefragt ist, was es von den dreien ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Manu87 |
Also ich würde jetz ohne Beweis sagen, dass Transitivität und Antisymmetrie hier gilt. Somit ist es ne ![[]](/images/popup.gif) Halbordnung. Ich habe kürzlich ähnliches gemacht nur nich auf [mm] $\IR^{2}$ [/mm] und ohne Betrag, aber ich denke dass gerade der Betrag die Vorrausetzungen wahrt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fraiser |
| Aufgabe | [mm] \IR^2 [/mm] = [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR
[/mm]
xRy: [mm] \Rightarrow [/mm] |x| [mm] \le [/mm] |y|
Antisymmetrisch? |
Wieso gilt hier Antisymmetrie? Ich habe folgendes gemacht:
yRx [mm] \wedge [/mm] xRy [mm] \Rightarrow [/mm] x=y (Anitsymmetrie, wenn das gilt)
für x1=0, x2=0, y1=1, y2=0:
|(1,0)| [mm] \le [/mm] |(0,0)| [mm] \wedge [/mm] |(0,0)| [mm] \le [/mm] |(1,0)| [mm] \Rightarrow [/mm] (0,0)=(1,0)
Das gilt hier doch nicht, oder? Schon am Anfang gilt 1 [mm] \le [/mm] 0 doch nicht.
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> [mm]\IR^2[/mm] = [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm]
> xRy: [mm]\Rightarrow[/mm] |x| [mm]\le[/mm] |y|
>
> Antisymmetrisch?
>
> Wieso gilt hier Antisymmetrie? Ich habe folgendes gemacht:
>
> yRx [mm]\wedge[/mm] xRy [mm]\Rightarrow[/mm] x=y (Anitsymmetrie, wenn das
> gilt)
>
Ja die Regel für Antisymmetrie hast du richtig
> für x1=0, x2=0, y1=1, y2=0:
>
> |(1,0)| [mm]\le[/mm] |(0,0)| [mm]\wedge[/mm] |(0,0)| [mm]\le[/mm] |(1,0)| [mm]\Rightarrow[/mm]
> (0,0)=(1,0)
>
Deine Zahlenpaare erfüllen ja auch nicht die Voraussetzung für Antisymmetrie
die ist ja xRy "und" yRx und bei dir steht ja x nicht in Relation zu y
> Das gilt hier doch nicht, oder? Schon am Anfang gilt 1 [mm]\le[/mm]
> 0 doch nicht.
>
Hoffe das hilft die weiter
mfg Yuu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fraiser |
Ok, aber ist es nicht erforderlich, dass alle Zahlenbeispiele die Bedingung für Antisymmetrie erfüllen müssen?
Mit den Paaren x=(0,0), y=(0,0) würde es zwar funktionieren, aber ich habe das so verstanden, dass eine Relation erst gilt, wenn alle Zahlenpaare aus der Menge die Bedingung der Antisymmetrie erfüllen.
Ist mein Ergebnis, dass es nicht antisymmetrisch ist jetzt richtig oder nicht?
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> Ok, aber ist es nicht erforderlich, dass alle
> Zahlenbeispiele die Bedingung für Antisymmetrie erfüllen
> müssen?
Nein nicht alle Zahlenbeispiele müssen die Antisymmetrie erfüllen. Aber die Antisymmetrie muss für alle Zahlen gelten.
Bedeutet: Wenn sowohl x in Relation zu y und y in Relation zu x steht dann sind x und y gleich. Und das ist ja hier der Fall.
> Mit den Paaren x=(0,0), y=(0,0) würde es zwar
> funktionieren, aber ich habe das so verstanden, dass eine
> Relation erst gilt, wenn alle Zahlenpaare aus der Menge die
> Bedingung der Antisymmetrie erfüllen.
>
> Ist mein Ergebnis, dass es nicht antisymmetrisch ist jetzt
> richtig oder nicht?
Die Relation ist antisymmetisch
mfg Yuu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fraiser |
> Nein nicht alle Zahlenbeispiele müssen die Antisymmetrie
> erfüllen. Aber die Antisymmetrie muss für alle Zahlen
> gelten.
> Bedeutet: Wenn sowohl x in Relation zu y und y in Relation
> zu x steht dann sind x und y gleich. Und das ist ja hier
> der Fall.
Äh, wie jetzt?
Dann könnte die doch genauso gut symmetrisch sein weil xRy [mm] \Rightarrow [/mm] yRx für x=(0,0) und y=(0,0) ebenso gilt?
In meinem schlauen Buch stehen nur die Formeln drin, die ich gepostet habe, aber ob das für alle oder nur für ein Paar stimmen muss nicht? Gibts da unterschiede zwischen den Klassifizierungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Fr 12.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein nur wenn xRy UND yRx folgt x=y
auf den paaren x,x d.h. xRx gilt immer
du hast damit doch keine Symmetrie für [mm] x\ne [/mm] y?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fraiser |
> Hallo
Hallo ;)
> Nein nur wenn xRy UND yRx folgt x=y
Das ist klar, aber muss das für alle Zahlenpaare gelten aus [mm] \IR [/mm] oder muss das nur einmal stimmen?
Für x=(0,0) und y=(0,0) gilt es doch, nur eben für sowas wie x=(1,2), y=(3,4) nicht.
> auf den paaren x,x d.h. xRx gilt immer
> du hast damit doch keine Symmetrie für [mm]x\ne[/mm] y?
Ich verstehe nix.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
für alle Zahlenpaare muß gelten: Wenn sie die Bedingungen links vom Folgepfeil erfüllen, dann haben sie die Eigenschaft rechts vom Folgepfeil.
Die, die Du ausgewählt hast, erfüllen die Vorbedingungen nicht, also sind sie für diese Aussage auch nicht von belang.
Was Du brauchst sind zwei Paare, die xRy und yRx erfüllen, aber für die nicht x=y gilt. Das wäre ein Gegenbeispiel.
Oder Du mußt zeigen, daß alle Paare, die xRy und yRx erfüllen auch x=y erfüllen.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Manu87 |
Okay jetz mal gaanz langsam. Wir haben eine relation R. Für Relationen haben wir einige Eigenschaften zur Verfügung.
Es ist doch eigentlich ganz einfach. Wenn du eine Eigenschaft widerlegen willst reicht (mindestens) ein Beispiel das der Eigenschaft wiederspricht.
Willst du allerdings zeigen, dass eine Eigenschaft gültig ist, muss du das für alle! Elemente der Menge zeigen. Nur ein Beispiel wie es bei dir bei der Symmetrie funktioniert hat reicht nicht aus.
...... Ich habe jetz eigentlich versucht Antisymmetrie zu beweisen, aber ich gebe mich geschlagen es ist einfach zu hoch für mich..... ;-D
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