Symmetrie einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 So 24.01.2010 | | Autor: | egal |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass $ [mm] A+A^T [/mm] $ für alle $ [mm] A\in\IR^{nxn} [/mm] $ eine symmetrische Matrix ist. |
Hi,
Nun, eine Symmetrie einer Marix haben wir noch nie angesprochen, sei es in der Vorlesung, noch Übung.
Ausm I-Net konnte ich herausfinden, dass eine symmetrische Matrix stets quadratisch sein muss (was ich auch aus der Aufgabenstellung ablesen kann).. Aber wie soll ich hier vorgehen?
Ich habs jetzt addiert, wie in der Aufgabenstellung, aber was kommt noch dazu? Oder was macht eine Symmetrie noch aus?
$ [mm] A=\pmat{ a11 & a12 \\ b21 & b22 } [/mm] $
$ [mm] A^T=\pmat{ a11 & b21 \\ a12 & b22 } [/mm] $
Addition der Beiden: $ [mm] A+A^T=\pmat{ a11+a11 & b21+a12 \\ a12+b21 & b22+b22 } [/mm] $
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Zu 2
Hier kommt es darauf an, was du an Vorwissen benutzen darfst. Wenn gar nichts, musst du wirklich Komponenten addieren. Sonst geht es so:
Damit man A und [mm] A^T [/mm] Addieren kann, muss A automatisch quadratisch sein, sonst ist die Addition
gar nicht definiert.
Eine Matrix M ist symmetrisch [mm] \gdw [/mm] M = [mm] M^T.
[/mm]
Sei M = (A + [mm] A^T) \Rightarrow
[/mm]
[mm] M^T [/mm] = [mm] (A+A^T)^T [/mm] = [mm] (A^T [/mm] + [mm] A^T^T) [/mm] da T distributiv bezgl. +
= [mm] (A^T [/mm] + A) da TT sich aufhebt
= A + [mm] A^T [/mm] da + kommutativ
= M
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 So 24.01.2010 | | Autor: | egal |
alles klar, habs regestriert.
die einfache addition wird aber reichen, denn sonst müsste man das ja wengistens in den unterlagen haben, was du da bewiesen hast.
danke dir
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