Symmetrieeigenschaften < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mi 27.06.2007 | | Autor: | nelly89 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo !!!
Kann mir vielleicht jemand sagen, was es mit den Symmetrieeigenschaften ganzrationaler Funktionen auf sich hat ?
Ich muss eine gegebene Funktionsgleichung beschreiben können...
Kann mir jemand die Regeln dazu aufstellen? (z.B. zur Hochzahl, Vorzeichen, etc)
Das würde mir sehr helfen...
Vielen Dank im Voraus
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Hi, nelly,
wenn's nur um die Symmetrie zum Ursprung (0;0) bzw. zur y-Achse (x=0) geht,
ist die Sache einfach:
Hat Dein Funktionsterm nur UNGERADE x-Potenzen, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung;
hat der Term nur GERADE x-Potenzen (wobei man hier Konstante "ohne x" dazurechnet!), so ist der zugehörige Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
Beispiele:
f(x) = [mm] -\bruch{1}{3}*x^{3} [/mm] + 5x
Graph punktsymmetrisch zu (0;0).
f(x) = [mm] -\bruch{1}{3}*x^{4} [/mm] + [mm] 5x^{2} [/mm] - 3
Graph achsensymmetrisch zu x=0
f(x) = [mm] -\bruch{1}{3}*x^{3} [/mm] + 5x - 3
Weder Symmetrie zu (0;0), noch zu x=0.
f(x) = [mm] -\bruch{1}{3}*x^{3} [/mm] + [mm] 5x^{2}
[/mm]
Weder Symmetrie zu (0;0), noch zu x=0.
Sind auch andere Symmetrien gefragt, wird's viel komplizierter - aber das wollen wir doch nicht hoffen!?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mi 27.06.2007 | | Autor: | nelly89 |
Vielen Dank schon mal...
Leider sind alle Symmetrien gefragt ?
Kannst du mir da auch weiterhelfen...
Liebe Grüße
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Hi, nelly,
in dem Fall ist die Frage meistens so gestellt:
"Beweisen Sie, dass der Funktionsgraph der Funktion f zur Geraden
mit der Gleichung x=a (bzw. zum Punkt S(a;b)) symmetrisch ist."
In dem Fall gibt's mehrere verschiedene Lösungswege.
Ich persönlich bevorzuge den folgenden:
Verschiebe den Funktionsgraphen im KoSy so,
dass x=a "zur y-Achse"
bzw. S(a;b) "zum Ursprung"
wird.
Dazu benötigst Du folgende Merkregeln:
a) Wenn man zeigen soll, dass Gf achsensymmetrisch zur Geraden
mit der Gleichung x = a ist,
betrachtet man g(x) = f(x + a)
und untersucht Gg auf Symmetrie zur y-Achse.
b) Wenn man zeigen soll, dass Gf punktsymmetrisch zu P(a;b) ist,
betrachtet man g(x) = f(x + a) b
und untersucht Gg auf Symmetrie zu (0;0).
Beispiel:
Zeige, dass der Graph der Funktion f mit dem Funktionsterm
f(x) = [mm] x^{3}-3x^{2}+3x+1 [/mm]
punktsymmetrisch zum Punkt S(1;2) ist!
Lösung: g(x) = f(x+1) - 2 =
(heißt ja: Setze statt x die Klammer (x+1) ein und ziehe am Ende 2 ab!)
= [mm] (x+1)^{3} [/mm] - [mm] 3(x+1)^{2} [/mm] + 3(x+1) + 1 - 2
= [mm] x^{3} +3x^{2} [/mm] +3x + 1 - [mm] 3x^{2} [/mm] - 6x - 3 + 3x + 3 - 1
= [mm] x^{3}
[/mm]
Also: g(x) = [mm] x^{3}
[/mm]
Und der Graph von g ist offensichtlich punktsymmetrisch zu (0;0), weshalb der Graph von f (der ja durch Verschiebung um 1 nach links und um 2 nach unten in den Graphen von g übergeht) punktsymmetrisch zu S(1;2) sein muss.
mfG!
Zwerglein
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