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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Die Symmetriegruppe einer Normalparabel ist die Gruppe [mm] \IZ/2\IZ, [/mm] mit den Elementen Identität und Spiegelung an der y-Achse. Zeichne ebene geometrische Objekte, die folgende Symmetriegruppen haben:
a) [mm] \IZ/6\IZ
[/mm]
b) [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] |
Hallo!
Ich verstehe bei dieser Aufgabe nicht, was das [mm] \IZ/n\IZ [/mm] geometrisch bedeutet. Ich hatte bisher gedacht, dass es sich bei [mm] \IZ/n\IZ [/mm] um Restklassengruppen handelt. Jetzt verstehe ich aber nicht, was das mit geometrischen Objekten zu tun hat. Kann mir das eventuell jemand erklären, wie ich mir das vorstellen muss?
Liebe Grüße,
Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Sa 27.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Leni
Du suchst ein geometrisches Objekt, und eine Operatio, die nach 6 maliger Ausführung wieder am Anfang an kommt, und ein erzeugendes Element hat, was alle anderen liefert.
Sas können schon mal keine Spiegelungen sein, denn jede Spigelung 2 mal hintereinander ausgeführ ergibt die identität. einzige andere Möglichkeit ist Drehung. 6 mal drehen = Ausgang, lässt auf ein 6Eck schliessen. Drehung um 360° ist die identität, also Drehung um 60 Grad das erzeugende Element.
zu b) nimm die Spiegelung der Parabel nicht als Spiegelung in der Ebene, sondern als Drehung um die y-Achse im [mm] R^3. [/mm] dann findest du hoffentlich auch die geometrisch Gruppe.
(eine Drehung um di x- Achse mit nachfolgender Drehung um die y Achse ergibt eine Drehung um die z- Achse.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hi Leduart!
Danke für deine Antwort. Was [mm] \IZ/n\IZ [/mm] bedeutet habe ich jetzt verstanden, danke. Aber ich habe leider nicht so ganz kapiert, wie ich mir das mit dem Kartesischen Produkt anschaulich vorstellen soll. Bedeutet das Kartesische Produkt, dass ich immer zwei Operationen ausführe, also z.B. erst eine Drehung um die x-Achse und dann eine Drehung um die y-Achse? Kann es hier auch sein, dass es sich um zwei verschiedene Operationen wie z.B. Drehung und Spiegelung handelt, oder müssen die Operationen dann immer vom gleichen Typ sein?
Und muss ich dann schauen, ob bei jeder der beiden Operationen nach zweimaligem Ausführen wieder die Identität entsteht?
Oder muss die Identität nach Ausführen der beiden verschiedenen Operationen hintereinander enstehen?
Ich hoffe, du verstehst was ich meine 
LG Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 So 28.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Leni
Du hast mich missverstanden:
die Gruppe [mm] \IZ/6\IZ [/mm] ist schon die additive Gruppe der Restklasse mod 6
aber die Drehungsgruppe des 6Ecks ist dazu isomorph. das hat dein Prof bei der Spiegelung der Parabel ungeschickt ausgedrückt. 0°Drehung =360° Drehung entspricht der 0, 60° drehung entspricht der 1 usw 300° Drehung entspr der 5. d,hesst es gibt ne bijektive Abbildung zw, den 2 Gruppen. man kann sie dann auch gleich nennen.
jetzt zum Produkt, 2 Gruppen G und H mit den Elementen g,h
[mm] G\timesH [/mm] hat dann als Elemente die Paare (g,h) mit der Verknüpfung (oder Addition)
(g1,h1)+(g2,h2)=(g1+g2,h1+h2) + wie in den einzelnen Gruppen.
[mm] \IZ/2\IZ [/mm] hat die Elemente 0,1 [mm] \IZ/2\IZ\times \IZ/2\IZ [/mm] hat also die Elemente
(0,0) (1,0) (0,1),(1,1)
also 4 Elemente (0,0) ist wieder die 0 der Gruppe , jedes Element ist zu sich selbst invers.
Das spricht dafür, dass die geometrische Interpretation 180° Drehungen sind.
Die 180° Drehungen eines Würfels um Achsen durch den Mittelpunkt, die parallel zu den Kanten sind, sind 2 mal ausgeführt die Identität = ursprüngliche lage des Würfels.
also kann man (1,0) mit der Drehung um die eine Achse, (x-Achse) (0,1) mit 180°Drehung um die y-Achse, (1,1) mit der Drehung um die dritte Achse identifizieren.
Jetzt hab ich deine Aufgabe gelöst.ich hoffe du hast trotzdem was gelernt.
Gruss leduart
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