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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Di 27.03.2007 | | Autor: | pascal-g |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=2^{x}-2^{2-x} [/mm] sei punktsymmetrisch in x=Nx. Bestimme den Symmetriepunkt! |
Hallo,
heute wollte ich meiner Schwester bei dieser Aufgabe helfen. Leider bin ich schon eine Weile aus der Schule raus und bei diesen Aufgaben auch schon ziemlich eingerostet. Der Lehrer scheint eine Katastrophe zu sein, weswegen ich mich jetzt mal an euch wende.
Gibt es für diese Aufgabe einen allgemeinen Weg? Oder wie geht man grundsätzlich da ran? Leider kann ich mir auch nicht ganz erklären, was mit "x=Nx" gemeint sein soll. Der Graph der Funktion sieht ja schonmal furchtbar aus. :)
Ich hoffe, ihr könnt mir hier ein bisschen weiterhelfen.
Gruß,
Pascal
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Hi, pascal,
in vielen (nicht in allen!) Fällen ist das Symmetriezentrum einer ungeraden Funktion (also einer Funktion mit punktsymmetrischem Graphen) ein WENDEPUNKT.
So ist es auch hier!
Wenn Du den Wendepunkt ermittelt hast (zur Kontrolle: W(1;0)), musst Du noch zeigen, dass wirklich Punktsymmetrie vorliegt.
Das könntest Du z.B. so machen, dass Du den Graphen der Funktion um 1 nach links verschiebst (neue Funktion: g(x)=f(x+1)) und dann beweist, dass für die "verschobene Funktion" g(-x) = -g(x) gilt.
mfG!
Zwerglein
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hi,
wie zwerglein schon geschrieben hat sind Symmetriepunkte solcher Funktionen oft wendepunkte.
Ich wollte hier nur noch etwas ergänzend hinzufügen:
Für alle h [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] x_{0}+h \in [/mm] ID gilt:
[mm] f(x_{0}+h)-y_{0}=y_{0}-f(x_{0}+h) [/mm] bzw.
[mm] y_{0}=0,5*[f(x_{0}-h)+f(x_{0}+h)]
[/mm]
Wenn du da nun eine Vermutung einsetzt, sprich einen Punkt mit Koordinaten [mm] (x_{0}/y_{0}) [/mm] sollte eine wahre Aussage herauskommen/nicht herauskommen.
Ist die Aussage wahr, so ist der gewählte Punkt Symmetriepunkt, ist die Aussage falsch so ist der gewählte Punkt nicht Symmetriepunkt.
Hoffe das war nicht allzu verwirrend.
Bis denne
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 27.03.2007 | | Autor: | pascal-g |
Das mit den Wendepunkten habe ich mir schon fast gedacht. Vor allem, weil ich den Graphen testweise schon vorher gezeichnet habe, habe ich diesen Wendepunkt auch als Symmetriepunkte vermutet.
Nur würde mich jetzt noch interessieren, wie ihr den Wendepunkt so schnell errechnet habt!? Diese Funktion auf Anhieb abzuleiten, scheint mir nicht so leicht. Könnte das vielleicht mal jemand vorrechnen?
@eXeQteR
Danke für diesen Kontrollweg. Aber was genau muss für h eingesetzt werden? Irgendeine Zahl in $ [mm] \IR [/mm] $?
Ein bisschen schlauer bin ich ja schon geworden, aber da fehlt noch einiges. :-/
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Hi, pascal,
der Trick beim Ableiten ist, dass man
[mm] 2^{x} [/mm] = [mm] e^{ln(2)*x} [/mm] schreibt.
Dann ist die Ableitung: [mm] ln(2)*e^{ln(2)*x} [/mm] = [mm] ln(2)*2^{x} [/mm]
Klar?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Di 27.03.2007 | | Autor: | pascal-g |
Genau das habe ich auch rausbekommen, aber bei allen anderen Ableitungen fehlen mir wieder die Grundkenntnisse:
Also:
[mm] $f(x)=2^{2-x}=e^{ln(2)*(2-x)}$
[/mm]
[mm] $f'(x)=-ln(2)*e^{ln(2)*(2-x)}=-ln(2)*2^{2-x}$ [/mm] ??
Und die 2. Ableitung?
Muss ich dann von [mm] $f'(x)=e^{ln(-ln(2)*2)*(2-x)}$ [/mm] ausgehen? Ich bin mir da absolut unsicher... das ist doch auch keine normale Aufgabe mal eben für zwischendurch!? ;)
Für eine ganze Lösung wäre ich so dankbar!
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hi,
ich muss zu meiner Schande gestehen, dass ich mit derive abgeleitet habe.
Bei meinem Rechenweg oben brauchst du für h nichts einsetzen.
Probier es aus... Benutz vll für die schnelle kontrolle ein CAS, das macht vieles einfacher...
Bis denn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Di 27.03.2007 | | Autor: | pascal-g |
Derive, Maple, usw... habe ich leider nicht installiert. Vielleicht werde ich das in Zukunft mal machen. Aber eigentlich dachte ich, dass diese Aufgabe auch so schnell zu lösen ist. Anscheinend ist sie aber nicht mal eben in 10min fehlerfrei auszurechnen!?
Könnte mir vielleicht noch jemand meinen Lösungsvorschlag bestätigen/korrigieren? 
Es ist aber immerhin schon beruhigend, dass für diesen Fall die Berechnung des Wendepunktes des Rätsels Lösung ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Di 27.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was meinst du mit deinem Loesungsweg?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Di 27.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Noch fuer deine arme Schwester:
klar ist [mm] 2^x-2^{-x} [/mm] haben 0,0 als Symmetriepunkt!
verschiebe die funktion um 1 nach rechts, dann hat sie (1,0) als Symetriepkt:
[mm] 2^{x-1}+2^{-x+1} [/mm]
multiplizier das ganze mit [mm] 4=2^2, [/mm] und du hast die fkt.
Gruss leduart
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Hi, pascal,
f(x) = [mm] 2^{x} [/mm] - [mm] 2^{2-x} [/mm] = [mm] 2^{x} [/mm] - [mm] 4*2^{-x} [/mm]
(Potenzgesetze vereinfachen so manches!)
f'(x) = [mm] ln(2)*2^{x} [/mm] + [mm] 4*ln(2)*2^{-x}
[/mm]
f''(x) = [mm] (ln(2))^{2}*2^{x} [/mm] - [mm] 4*(ln(2))^{2}*2^{-x}
[/mm]
f''(x) = 0 <=>
[mm] (ln(2))^{2}*2^{x} [/mm] = [mm] 4*(ln(2))^{2}*2^{-x} [/mm] | : [mm] (ln(2))^{2}
[/mm]
<=> [mm] 2^{x} [/mm] = [mm] 4*2^{-x} |*2^{x}
[/mm]
<=> [mm] 2^{2x} [/mm] = 4
oder anders geschrieben: [mm] 2^{2x} [/mm] = [mm] 2^{2}
[/mm]
Daher: 2x = 2 <=> x=1.
Alles klar?
mfG!
Zwerglein
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