Symmetrische Bilinearform < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, bei mir haperts z.z. irgendwie noch an dem Verständnis einer Symmetrischen Bilinearform. Habe da im Skript auch paar Sätze, wo ich den Inhalt nicht so richtig versteh, vielleicht kann mir ja wer weiterhelfen.
1. Satz:
Sei K ein Körper, in dem [mm] 1+1\not=0 [/mm] ist und A [mm] \in [/mm] (nxn,K) eine symmetrische Matrix. Dann gibt es eine invertierbare Matrix S mit S^tAS=D (D soll eine Diagonalmatrix sein). Mit anderen Worten, A ist als Bilinearform diagonalsierbar.
So bei diesem Satz versteh ich nicht so, was das ganze mit Bilinearform zu tun hat? Weil in der Voraussetzung steht ja auch nur eine symmetrische Matrix und nichts von Bilinearform. Muss außerdem die invertierbare Matrix S aus [mm] Gl(n,\IR) [/mm] sein?
Folgerung aus dem Satz:
Sei s: [mm] V\timesV \to [/mm] K symmetrische Bilinearform, dann gibt es eine Basis von V, so dass [mm] M_B^B(s)=D [/mm] (D=Diagonalmatrix)
So bei dieser Folgerung versteh ich den Unterschied nicht, sind der Satz und die Folgerung nicht gleich?
2. Satz
Sei A [mm] \in M(nxn,\IR) [/mm] symmetrisch. Dann gibt es eine invertierbare Matrix S [mm] \in Gl(n,\IR), [/mm] so dass gilt:
[mm] S^tAS=\pmat{ E_p & & \\ & -E_p & \\ & & 0 }, [/mm] wobei [mm] E_p=(1,...1) [/mm] und [mm] -E_p=(-1,...,-1)
[/mm]
So im 1. Satz haben wir ja gesagt, dass die Matrix irgendeine Diagonalgestalt haben kann, so und in diesem Satz wird ja gesagt, dass die Diagonalmatrix nur aus [mm] \pm [/mm] 1 und 0 bestehen kann. Liegt das nur daran, dass die Matrix hier aus [mm] \IR [/mm] ist und im 1. Satz die Matrix A aus einem beliebigen Körper war?
Und was ist eigentlich der Unterschied zwischen diesem Satz und dem Sylvestischen Trägheitssatz, denn dort kommt ja auch so eine Matrix heraus.
3. Zuletzt noch:
wann spricht man von ausgeartet und von nicht ausgeartet?
Ist ein Skalarprodukt ausgeartet, wenn s(v,w)=0 gilt und nicht ausgeartet, wenn es nicht 0 ist?
Danke für Hilfe
|
|
| |
|
> 1. Satz:
>
> Sei K ein Körper, in dem [mm]1+1\not=0[/mm] ist und A [mm]\in[/mm] (nxn,K)
> eine symmetrische Matrix. Dann gibt es eine invertierbare
> Matrix S mit S^tAS=D (D soll eine Diagonalmatrix sein). Mit
> anderen Worten, A ist als Bilinearform diagonalsierbar.
>
> So bei diesem Satz versteh ich nicht so, was das ganze mit
> Bilinearform zu tun hat? Weil in der Voraussetzung steht ja
> auch nur eine symmetrische Matrix und nichts von
> Bilinearform. Muss außerdem die invertierbare Matrix S aus
> [mm]Gl(n,\IR)[/mm] sein?
Hallo,
es ist so, daß durch [mm] \sigma(x,y):=x^{T}Ay [/mm] symmetrische Bilinearform definiert wird, sofern A symmetrisch ist.
Und umgekehrt kannst Du ja jede symmetrische Bilinearform mithilfe einer symmetrischen Matrix schreiben.
> Muss außerdem die invertierbare Matrix S aus
> [mm]Gl(n,\IR)[/mm] sein?
Wenn A aus [mm] M(n,\IR) [/mm] ist, dann ja.
>
> Folgerung aus dem Satz:
>
> Sei s: [mm]V\timesV \to[/mm] K symmetrische Bilinearform, dann gibt
> es eine Basis von V, so dass [mm]M_B^B(s)=D[/mm] (D=Diagonalmatrix)
>
> So bei dieser Folgerung versteh ich den Unterschied nicht,
> sind der Satz und die Folgerung nicht gleich?
Der Satz hat Dir erstmal nur was darüber erzählt, daß Du zu einer symmetrischen Matrix A eine Matrix S findest, so daß [mm] S^{t}AS [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Die Folgerung ist eine Folgerung:
Wenn s eine symmetrische Bilinearform ist, gibt es eine Matrix, die s repäsentiert. Daß Du diese Matrix per [mm] S^{t}AS [/mm] zu einer Diagonalmatrix machen kannst, hast Du zuvor gelernt. Wählst Du jetzt die Basis B so, daß S die passende Transformationsmatrix ist, ist die darstellende Matrix von s bzgl dieser Basis diagonal.
>
>
> 2. Satz
>
> Sei A [mm]\in M(nxn,\IR)[/mm] symmetrisch. Dann gibt es eine
> invertierbare Matrix S [mm]\in Gl(n,\IR),[/mm] so dass gilt:
>
> [mm]S^tAS=\pmat{ E_p & & \\ & -E_p & \\ & & 0 },[/mm] wobei
> [mm]E_p=(1,...1)[/mm] und [mm]-E_p=(-1,...,-1)[/mm]
Ich nehme mal an, daß die [mm] E_p [/mm] eine Diagonalmatrix mit Einsen sein soll, und daß das zweite p eigentlich ein q ist, oder?
> So im 1. Satz haben wir ja gesagt, dass die Matrix
> irgendeine Diagonalgestalt haben kann, so und in diesem
> Satz wird ja gesagt, dass
man sogar eine Matrix finden kann (!), mit der die entstehende Diagonalmatrix nur 1, -1 und 0 auf der Hauptdiagonalen hat.
> Und was ist eigentlich der Unterschied zwischen diesem Satz
> und dem Sylvestischen Trägheitssatz, denn dort kommt ja
> auch so eine Matrix heraus.
Hm. Wie habt Ihr denn den Trägheitssatz formuliert? Ich habe da schon verschiedenes gesehen.
>
> 3. Zuletzt noch:
>
> wann spricht man von ausgeartet und von nicht ausgeartet?
Ausgeartet ist eine Bilinearform, wenn es einen Vektor gibt, der orthogonal zu allen anderen Vektoren ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi. vielen dank erstmal für die gute erklärung. aber nochmal paar fragen:
> Wie habt Ihr denn den Trägheitssatz formuliert?
wir haben das wie folgt def.:
Sei V ein n-dim [mm] \IR-VR [/mm] und [mm] s:V\timesV \to \IR [/mm] eine symmetrische Bilinearform. Dann gilt für die Zahlen
r_+=max(dim W_+, W_+ [mm] \subset [/mm] V ein UVR, W_+ [mm] \subset [/mm] C_+ [mm] \cup [/mm] (o))
r_-=max(dim W_-, W_- [mm] \subset [/mm] V ein UVR, W_- [mm] \subset [/mm] C_- [mm] \cup [/mm] (o))
[mm] r_0=dim V_0
[/mm]
die Gleichung r_+ + r_- + [mm] r_0 [/mm] = n.
Insbesondere gilt für jede Basis B mit [mm] M_B^B(s)= \pmat{ E_p & & \\ & -Eqp & \\ & & 0 } [/mm] p=r^+ und q=r^- und [mm] n-p-q=r_0. [/mm] r_+ und r_- sind also Invarianten der Bilinearform, d.h. von der Basiswahl unabhängig. Sie können durch Diag. der Bilinearform berechnet werden.
So wo steckt jetzt hier der Unterschied zu Satz 2, den in ich thread 1 def. habe???
Und dann nochmal eine andere Frage.
Das Skalarprodukt ist ja symmetrisch. Jetzt das dann, dass auch jede Matrix bezüglich eines Skalarprodukt symmetrisch ist oder muss dies nicht sein?
gruß
|
|
|
| |
|
> Hi. vielen dank erstmal für die gute erklärung. aber
> nochmal paar fragen:
>
> > Wie habt Ihr denn den Trägheitssatz formuliert?
>
> wir haben das wie folgt def.:
>
> Sei V ein n-dim [mm]\IR-VR[/mm] und [mm]s:V\timesV \to \IR[/mm] eine
> symmetrische Bilinearform. Dann gilt für die Zahlen
>
> r_+=max(dim W_+, W_+ [mm]\subset[/mm] V ein UVR, W_+ [mm]\subset[/mm] C_+
> [mm]\cup[/mm] (o))
>
> r_-=max(dim W_-, W_- [mm]\subset[/mm] V ein UVR, W_- [mm]\subset[/mm] C_-
> [mm]\cup[/mm] (o))
Hallo,
tut mir leid, ich weiß nicht, was mit den ganzen Buchstaben und Zeichen gemeint ist.
Ohne daß die erklärt sind, wird man wenig dazu sagen können.
>
> [mm]r_0=dim V_0[/mm]
>
> die Gleichung r_+ + r_- + [mm]r_0[/mm] = n.
>
> Insbesondere gilt für jede Basis B mit [mm]M_B^B(s)= \pmat{ E_p & & \\ & -Eqp & \\ & & 0 }[/mm]
> p=r^+ und q=r^- und [mm]n-p-q=r_0.[/mm] r_+ und r_- sind also
> Invarianten der Bilinearform, d.h. von der Basiswahl
> unabhängig. Sie können durch Diag. der Bilinearform
> berechnet werden.
>
>
> So wo steckt jetzt hier der Unterschied zu Satz 2, den in
> ich thread 1 def. habe???
>
>
> Und dann nochmal eine andere Frage.
>
> Das Skalarprodukt ist ja symmetrisch. Jetzt das dann, dass
> auch jede Matrix bezüglich eines Skalarprodukt symmetrisch
> ist oder muss dies nicht sein?
Ja, die darstellende Matrix einer symmetrischen Bilinearform ist immer symmetrisch.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
