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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Domwow |
| Aufgabe | Zu den [mm]\IR^4[/mm]- Vektoren
[mm] v1:=\vektor{1 \\ 0\\1\\0}, v2:=\vektor{1\\ 0\\-1\\0} [/mm] und [mm] v3:=\vektor{0\\1\\0\\1} [/mm] bewerte man folgende Aussage:
- Es gibt eine reelle symmetrische 4x4-Matrix, deren Eigenräume durch v1, v2 und v3 aufgespannt werden.
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Moin!
Zunächst soll die Aussage falsch sein!
Ich weiß, dass die Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte von symmetrischen Matrizen orthogonal zueinander sind, was ja auch für v1-v3 gilt.
Gibt es nun keine symmetrische Matrix, die die Bedingung erfüllt, weil es nur 3 Eigenvektoren sind, man im [mm]\IR^4[/mm] aber 4 Stück braucht, da die Matrix als symmetrische ja auch diagonalisierbar sein muss?!
Wäre für eure Verbesserungen sehr dankbar!
Gruß Dom.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mo 31.08.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Dom!
> Zu den [mm]\IR^4[/mm]- Vektoren
>
> [mm]v1:=\vektor{1 \\ 0\\1\\0}, v2:=\vektor{1\\ 0\\-1\\0}[/mm] und
> [mm]v3:=\vektor{0\\1\\0\\1}[/mm] bewerte man folgende Aussage:
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> - Es gibt eine reelle symmetrische 4x4-Matrix, deren
> Eigenräume durch v1, v2 und v3 aufgespannt werden.
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> Zunächst soll die Aussage falsch sein!
> Ich weiß, dass die Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte
> von symmetrischen Matrizen orthogonal zueinander sind, was
> ja auch für v1-v3 gilt.
Ja.
> Gibt es nun keine symmetrische Matrix, die die Bedingung
> erfüllt, weil es nur 3 Eigenvektoren sind, man im [mm]\IR^4[/mm]
> aber 4 Stück braucht, da die Matrix als symmetrische ja
> auch diagonalisierbar sein muss?!
Ja, das ist wohl gemeint.
(Die Fragestellung finde ich nicht 100%ig gelungen, da aehnliche Fragestellungen oft auch benutzt werden, wenn nicht ausgeschlossen werden soll das es weitere Eigenraeume geben kann.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Domwow |
Okay, Danke!
Lieben Gruß!
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