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| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{2x2} [/mm] eine symmetrische Matrix, also A’=A. Man definiere eine Abbildung
<⋅,⋅>: [mm] \IR^2 [/mm] x [mm] \IR^2 \to \IR
[/mm]
gemäß <u,v>:= [mm] _{\IR^2}=\summe_{j,k=1}^{2} u_{j}a_{jk}u_{k}, [/mm] wobei u,v [mm] \in \IR^2 [/mm] Spaltenvektoren seien. Zeigen Sie:
<⋅,⋅> ist [mm] \IR [/mm] bilinear, d.h. [mm] \IR [/mm] linear im ersten Faktor und [mm] \IR [/mm] linear im zweiten Faktor. |
Hallo zusammen,
Bevor ich anfange, die Aufgabe zu rechnen, möchte ich sie erstmal richtig verstehen, deshalb hier ein paar Fragen dazu:
A [mm] \in \IR^{2x2} [/mm] bdeutet doch, dass ich eine 2x2 Matrix habe, wobei die Matrix A dieselbe ist, wie die dazu transponierte Matrix A’?
Und ich habe eine Abbildungsvorschrift definiert, die wenn man zwei Elemente des Raumes [mm] \IR^{2x2} [/mm] miteinander verknüpft, nach [mm] \IR [/mm] abbildet, oder?
Die dafür definierte Vorschrift lautet, in eigenen Worten ausgedrückt:
Das Skalarprodukt der zwei Spaltenvektoren u,v der Matrix A ist gleich dem Skalarprodukt des einen Spaltenvektors u und der Matrix A mal Spaltenvektor v. Stimmt das soweit?
Was bedeutet das tiefergestellte [mm] \IR^2, [/mm] das wie eine Art Index aussieht?
Zu der Fragestellung selbst:
Was bedeutet es genau, dass [mm] \IR [/mm] „bilinear“ also in jedem Fakor „Linear“ ist, was muss ich zeigen, um diese Linearität nachzuweisen?
Wäre über Antworten dankbar,
danke schonmal im Voraus!
Liebe Grüße
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Hi,
> Sei A [mm]\in \IR^{2x2}[/mm] eine symmetrische Matrix, also A’=A.
> Man definiere eine Abbildung
>
> <⋅,⋅>: [mm]\IR^2[/mm] x [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
>
> gemäß <u,v>:= [mm]_{\IR^2}=\summe_{j,k=1}^{2} u_{j}a_{jk}u_{k},[/mm]
> wobei u,v [mm]\in \IR^2[/mm] Spaltenvektoren seien. Zeigen Sie:
>
> <⋅,⋅> ist [mm]\IR[/mm] bilinear, d.h. [mm]\IR[/mm] linear im ersten
> Faktor und [mm]\IR[/mm] linear im zweiten Faktor.
> Hallo zusammen,
>
> Bevor ich anfange, die Aufgabe zu rechnen, möchte ich sie
> erstmal richtig verstehen, deshalb hier ein paar Fragen
> dazu:
>
> A [mm]\in \IR^{2x2}[/mm] bdeutet doch, dass ich eine 2x2 Matrix
> habe, wobei die Matrix A dieselbe ist, wie die dazu
> transponierte Matrix A’?
Ja [mm]A=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} } =\pmat{ a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22} } \; , a_i \in\IR[/mm]
>
> Und ich habe eine Abbildungsvorschrift definiert, die wenn
> man zwei Elemente des Raumes [mm]\IR^{2x2}[/mm] miteinander
> verknüpft, nach [mm]\IR[/mm] abbildet, oder?
Ja die Abbildung bildet zwei Vektoren nach [mm]\IR[/mm]. ab
>
> Die dafür definierte Vorschrift lautet, in eigenen Worten
> ausgedrückt:
> Das Skalarprodukt der zwei Spaltenvektoren u,v der Matrix A ist gleich dem Skalarprodukt des einen Spaltenvektors u
> und der Matrix A mal Spaltenvektor v. Stimmt das soweit?
Ja.
> Was bedeutet das tiefergestellte [mm]\IR^2,[/mm] das wie eine Art
> Index aussieht?
Eigentlich unbedeutend für die Aufgabe. Heißt wahrscheinlich, das das Skalarprodukt nur für Vektoren aus dem [mm]\IR^2[/mm] definiert ist. Ist aber auch nicht wichtig für die Aufgabe.
>
> Zu der Fragestellung selbst:
> Was bedeutet es genau, dass [mm]\IR[/mm] „bilinear“ also in
> jedem Fakor „Linear“ ist, was muss ich zeigen, um diese
> Linearität nachzuweisen?
Das kam bestimmt in der Vorlesung dran. f(x,y) ist bilinear [mm]:\gdw[/mm]
[mm]f(ax+by,z)=a*f(x,z)+b*f(y,z)[/mm] und [mm]f(x,ay+bz)=a*f(x,y)+b*f(x,z)[/mm] für [mm]a,b \in \IR, \; x,y,z\in\IR^2[/mm]
>
> Wäre über Antworten dankbar,
> danke schonmal im Voraus!
>
> Liebe Grüße
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Wenn ich also zeigen soll, dass folgendes gilt:
[mm] f_{A}(x+y)=f_{A}(x)+f_{A}(y) [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] und
[mm] f_{A}(\alpha x)=\alpha f_{A}(x) \alpha \in [/mm] K, x [mm] \in \IR
[/mm]
Für meine gegebene Abbildung:
[mm] :==\summe_{j,k=1}^{2}u_{j}a_{jk}u_{k}, [/mm] wobei u,v ja die Spaltenvektoren [mm] \in \IR^2 [/mm] sind.
Blöde Frage, wie muss ich rangehen um das zu zeigen, also was ist hier mein x und was mein y, damit ich zeigen kann, dass diese obigen Bedingungen gelten.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 So 28.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
zuerst mal noch eine kurze Ergänzung zur ersten Antwort.
Du hattest gefragt, was das [mm] $\IR^2$ [/mm] im Index an der Stelle [mm] $:=_{\IR^2}$ [/mm] bedeutet.
Damit wird das Standardskalarprodukt im [mm] $\IR^2$ [/mm] bezeichnet und von der Abbildung $< . , . >$ unterschieden.
Nochmal in andern Worten: die Abbildung $< . , . >$ bildet zwei Vektoren $u, v$ aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] auf das Standardskalarprodukt von $u$ und $Av$ ab.
> Wenn ich also zeigen soll, dass folgendes gilt:
>
> [mm]f_{A}(x+y)=f_{A}(x)+f_{A}(y)[/mm] x,y [mm]\in \IR[/mm] und
>
> [mm]f_{A}(\alpha x)=\alpha f_{A}(x) \alpha \in[/mm] K, x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Für meine gegebene Abbildung:
>
> [mm]:==\summe_{j,k=1}^{2}u_{j}a_{jk}u_{k},[/mm] wobei u,v
> ja die Spaltenvektoren [mm]\in \IR^2[/mm] sind.
>
> Blöde Frage, wie muss ich rangehen um das zu zeigen, also
> was ist hier mein x und was mein y, damit ich zeigen kann,
> dass diese obigen Bedingungen gelten.
Du hast ja die Definition von Linearität hingeschrieben. Du musst allerdings Bilinearität zeigen. Das heißt es soll bewiesen werden, dass die Funktion $< . , . >$ in beiden Komponenten linear ist.
Du musst also zeigen: Für $u, [mm] u_1, u_2, [/mm] v, [mm] v_1, v_2 \in \IR^2, \alpha \in \IR$:
[/mm]
[mm] $ [/mm] = [mm] [/mm] + [mm] $
[/mm]
[mm] $<\alpha [/mm] u,v> = [mm] \alpha [/mm] <u,v>$
$<u, [mm] v_1+v_2> [/mm] = [mm] [/mm] + [mm] $
[/mm]
[mm] $
Viele Grüße, Lippel
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Ich verstehe nicht ganz, was
[mm] [/mm] = [mm] [/mm] + [mm] [/mm] bedeuten soll, in dem Sinne wo kommen
jetzt u, u1,u2 etc her?
Alles was ich habe sind doch die 2 Vektoren u, v und die Matrix A...
wie wende ich das darauf an?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Di 30.11.2010 | | Autor: | Lippel |
> Ich verstehe nicht ganz, was
>
> [mm][/mm] = [mm][/mm] + [mm][/mm] bedeuten soll, in dem
> Sinne wo kommen
>
> jetzt u, u1,u2 etc her?
>
> Alles was ich habe sind doch die 2 Vektoren u, v und die
> Matrix A...
> wie wende ich das darauf an?
Was heißt du hast die Vektoren $u,v$? u und v sind nur gegeben, um die Abbildungsvorschrift zu erklären. Prinzipiell kannst du alle Vektoren aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] in beide Komponenten einsetzen. u und v sind nur willkürlich gewählte Repräsentanten. Wenn ich nun [mm] $u_1, u_2 \in \IR^2$ [/mm] definiere so kann ich diese natürlich auch einsetzen. Beachte dass es sich hierbei nicht um die Koordinaten des Vektors u handelt sondern um einfach weitere beliebige Vektoren aus dem [mm] $\IR^2$. [/mm] Genau dasselbe gilt für [mm] $v_1, v_2$
[/mm]
Nun warum definiere ich diese Vektoren so: Bei der Definition die du für die Linearität einer Funktion f geben hast, musstest du auch die Summe zweier Zahlen aus [mm] $\IR$ [/mm] einsetzten, nicht nur eine, und dann eben zeigen, dass folgendes gilt: $f(x+y) = f(x)+f(y)$
Jetzt machst du genau das für die Abbildung <.,.>, aber eben für beide Komponenten. Du setzt jeweils eine Summer von Vektoren aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] ein und zeigst im Grunde genau dasselbe. Ich mache es mal für ein Beispiel vor
[mm] $ [/mm] = [mm] _{\IR^2}=\summe_{j,k=1}^2 (u_1+u_2)_j a_{jk}v_k= \summe_{j,k=1}^2 (u_1)_j a_{jk}v_k [/mm] + [mm] \summe_{j,k=1}^2 (u_2)_j a_{jk} v_k [/mm] = [mm] _{\IR^2}+_{\IR^2} [/mm] = [mm] +$
[/mm]
So, jetzt kannst du dich mal an den anderen drei zu zeigenden Identitäten probieren. Hoffe das war einigermaßen verständlich.
Viele Grüße, Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:38 Di 30.11.2010 | | Autor: | Theoretix |
Dankeschön, für die tolle Erklärung, hat mir sehr geholfen!
Liebe Grüße
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| Aufgabe | b) Zeigen Sie:
<⋅,⋅> ist symmetrisch (also <u,v>=<v,u>)
(Abbildungsvorschrift, siehe Teilaufgabe a) |
Hallo,
Also für <u,v> habe ich ja die Abbildung definiert als:
<u,v>:=<u, Av>= [mm] \summe_{j,k=1}^{2}u_{j}a_{jk}v_{k}
[/mm]
bzw dann auch:
<v,u>:=<v, [mm] Au>=\summe_{j,k=1}^{2}v_{j}a_{jk}u_{k}
[/mm]
Was ist jetzt der kleine „Trick“, um zu zeigen, dass beides dasselbe ist?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Di 30.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Symmetrie von A solltest Du schon benutzen:
$<u,v>= [mm] _{\IR^2}= _{\IR^2}= _{\IR^2}=_{\IR^2}=$
[/mm]
FRED
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| Aufgabe | c) überprüfen Sie, ob sich ein Skalarprodukt auf [mm] \IR^2 [/mm] ergibt, wenn
[mm] A=\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }
[/mm]
(Abbildungsvorschrift wie in a:
<⋅,>: [mm] \IR^2 [/mm] x [mm] \IR^2 \to \IR [/mm]
gemäß [mm] :==\summe_{j,k=1}^{2}u_{j}a_{jk}v_{k},
[/mm]
wobei u,v Spaltenvektoren [mm] \in \IR^2 [/mm] sind. |
Hallo zusammen,
Für das Skalarprodukt sind ja Axiome gegeben, die man zeigen muss.
Da 3 der 4 in den anderen Teilaufgaben bereits gezeigt wurden, für symmetrische Matrizen, interessiert uns jetzt nur noch folgendes:
<u,u> [mm] \ge [/mm] 0 und <u,u>=0 [mm] \gdw [/mm] u=0
Wenn ich das einsetze, für einen beliebigen Vektor [mm] u=\vektor{u1 \\ u2} [/mm] und das gemäß der Abbildungsvorschrift ausrechne, erhalte ich ja ein Skalar
(Da Matrix mal Vektor= Vekor und Skalarprodukt zweier Vektoren=Skalar)
Für dieses Skalar erhalte ich:
[mm] 3u1^2+2u1u2+3u2^2
[/mm]
Jetzt geht es noch darum zu zeigen, dass dieses Skalar immer größer gleich Null ist und Null, gdw. u(=u1,u2)=0.
Ich habe mir mal überlegt, man könnte dieses Skalar doch als Funktion von u1 ausdrücken, davon den Tiefpunkt berechnen und wenn man zeigt, dass dieser Tiefpinkt größer gleich Null ist, muss die ganze Funktion/damit das Skalar immer größer gleich Null sein:
[mm] f(u1)=3u1^2+2u1u2+3u2^2
[/mm]
f’(x)6u1+2u2
und 6u1+2u2=0 für [mm] u1=-\bruch{1}{3}u2
[/mm]
dann müsste ich das in f einsetzen und würde einen ausdruck, nur noch in abhängigkeit von u2 erhalten...
das bringt mich jedoch noch nicht richtig weiter und wirklich elegant fühlt es sich auch nicht an.
Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Do 02.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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