System lin. DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist folgendes lineare System:
[mm] \bruch{d}{dt}\left(\vektor{x \\ y}\right)=\pmat{ \bruch{5}{4} & \bruch{3}{4} \\ \bruch{3}{4} & \bruch{5}{4} }\vektor{x \\ y}
[/mm]
Lösen Sie das System und skizzieren Sie, das Phasen-Portrait. |
Hi,
also gelöst habe ich das System, das war nicht so schwer (ich hoffe trotzdem richtig).
[mm] \vektor{x \\ y}=B_1*e^{2t}*\vektor{1 \\ 1}+B_2*e^{0.5*t}*\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Nun soll das Phasen-Portrait / Diagramm so aussehen :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das verstehe ich nicht. Eigentlich sollte doch, wenn t gegen unendlich geht der e^2t Term von größerer Bedeutung sein und die Kurven sollten sich der geraden durch (1,1) annähern, tatsächlich gehen sie aber eher an die Gerade durch (-1,1). woran liegt das ? Wo ist mein denkfehler ?
lg,
exe
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo!
Du hast hier doch noch zwei Parameter in der Gleichung, deren Vorzeichen sich ändern kann. Das sieht dann so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bzw. ich erkenne nicht ganz, was dein Problem ist, du schreibst das etwas undeutlich.
Die Trajektorien kommen alle aus (0,0). für kleine t dominiert noch der exp(0,5t)-Term, deshlab liegen die da alle an der zweiten
Winkelhalbierenden. Erst für etwas größere t dominiert der andere exp-Term, und die Trajektorien liegen dann halbwegs parallel zur ersten Winkelhalbierenden.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hi,
ja die Idee ist mir gestern beim Einschlafen auch gekommen.
Was ich gerne wissen würde ist, wie geht man an so eine aufgabenstellung heran, also wonach schaue ich. Ist entscheidend wenn t klein wird bzw groß ?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich war was unterwegs, daher antworte ich jetzt.
Zunächst ist es wohl wichtig, wenn du dir die Parameter anschaust. Was genau machen die? Für bestimmte Werte von Parametern verändert sich die Lösung wesentlich.
Es können Teile der Gleichung weg fallen (bei dir: wenn ein Parameter =0 ist), das macht das Verhalten erstmal leicht verständlich. Du würdest die beiden Winkelhalbierenden herausbekommen und könntest dann auch schnell sagen, was die Vorzeichen so bewirken.
Aber die Lösung kann sich auch kolossal ändern:
Nimm eine Masse an einer Feder mit Reibung. Die DGL dazu wird durch [mm] x(t)=e^{-\lambda t} [/mm] gelöst (Im Wesentlichen).
Dabei ist [mm] \lambda [/mm] die Lösung für die Nullstellen einer quadratischen Funktion, also sowas wie [mm] \lambda=a\pm\sqrt{b}
[/mm]
Normalerweise ist b<0, die Wurzel ist also komplex. Die e-Funktion hat dann eine komplexe Potenz, was für eine Schwingung steht, wie man das auch erwartet.
Aber die Reibung kann auch so groß werden, daß b>0 ist. Dann ist das eine gewöhnliche, reelle Lösung. Lenkst du die Masse aus der Ruhelage aus, wird sie einer e-Funktion entsprechend langsam in ihre Ruhelage zurückkehren, ohne zu schwingen.
Es kann sinnvoll sein, die Lösung umzuformen, z.B. zu [mm] $x(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega [/mm] t)$. Sieht schon nach Schwingung aus. Aber erst [mm] $x(t)=C\sin(\omega t+\phi)$ [/mm] zeigt anschaulich, daß die Schwingung auch einen zeitlichen Versatz haben kann, dies ist die wohl leicht verständlichste Lösung für ne Schwingung.
Schau auch, was bei Extremfällen für t passieren kann. Die stark gedämpfte Feder wird für große t immer gegen 0 gehen, deine DGL-Lösung zeigt, daß alle Trajektorien aus dem Ursprung kommen. Aber im ungedämpften Fall [mm] $x(t)=C\sin(\omega t+\phi)$ [/mm] passiert da einfach nix besonderes.
|
|
|
|
