System lösen,Fundamentalmatrix < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Finden Sie die allgemeine Lösung des Systems. Bestimmen Sie die Fundamentalmatrix.
a) [mm] \vektor{x' \\ y'}=\pmat{ sint & 0 \\ e^{cost} & 0 }\vektor{x \\ y}
[/mm]
b) [mm] \vektor{x' \\ y'}=\pmat{ 0 & -\bruch{1}{t} \\ -\bruch{1}{t} & 0 }\vektor{x \\ y} [/mm] |
Hallo zusammen,
sitze vor der o.g. Aufgabe und weiß nicht so recht wie ich die lösen soll. Kann mir jemand erklären wie ich da ran gehen muss? Muss ich das erst in eine DGL 2.Ordnung umschreiben?
Ich weiß, dass die Lösungen irgendwas mit einer Basis zu tun haben...
DANKE
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Hallo Peon,
> Finden Sie die allgemeine Lösung des Systems. Bestimmen
> Sie die Fundamentalmatrix.
> a) [mm]\vektor{x' \\ y'}=\pmat{ sint & 0 \\ e^{cost} & 0 }\vektor{x \\ y}[/mm]
>
> b) [mm]\vektor{x' \\ y'}=\pmat{ 0 & -\bruch{1}{t} \\ -\bruch{1}{t} & 0 }\vektor{x \\ y}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> sitze vor der o.g. Aufgabe und weiß nicht so recht wie ich
> die lösen soll. Kann mir jemand erklären wie ich da ran
> gehen muss? Muss ich das erst in eine DGL 2.Ordnung
> umschreiben?
> Ich weiß, dass die Lösungen irgendwas mit einer Basis zu
> tun haben...
Bei a) kannst Du so vorgehen:
Löse zuerst [mm]x'=\sin\left(t\right)*x[/mm]
Damit gehst Du in die DGL
[mm]y'=e^{\cos\left(t\right)}*x[/mm]
Bei b) kannst Du so vorgehen, daß Du das DGL-System
erst umschreibst in eine DGL zweiter Ordnung.
>
> DANKE
Gruss
MathePower
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Hallo!
Bei a würde es dann so lauten:
x'=sin(t)x
[mm] <=>\integral{\bruch{1}{x}} dx=\integral{sin(t)dt}
[/mm]
=> ln|x|=-cos(t)d [mm] (d\in\IR [/mm] )
=> [mm] x=e^{-cos(t)}*c (c\in\IR)
[/mm]
Wenn ich nun das einsetze in
[mm] y'=e^{cos(t)}*x, [/mm] dann komme ich auf
=> y'=c, also integrieren ergibt y=ct
Also ist die Fundamentalmatrix
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{e^{-cos(t)}c \\ ct}
[/mm]
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Hallo!
> Bei a würde es dann so lauten:
> x'=sin(t)x
> [mm]<=>\integral{\bruch{1}{x}} dx=\integral{sin(t)dt}[/mm]
> =>
> ln|x|=-cos(t)d [mm](d\in\IR[/mm] )
> => [mm]x=e^{-cos(t)}*c (c\in\IR)[/mm]
>
> Wenn ich nun das einsetze in
> [mm]y'=e^{cos(t)}*x,[/mm] dann komme ich auf
> => y'=c, also integrieren ergibt y=ct
Nun, y=c*t+d erfüllt auch die DGL y'=c.
>
> Also ist die Fundamentalmatrix
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{e^{-cos(t)}c \\ ct}[/mm]
>
>
> Lieben Gruß
> TheBozz-mismo
Gruss
MathePower
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Hallo,
bei Aufgabe b habe ich folgende Fundamentalmatrix rausbekommen:
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{-c_1 t +\bruch{c_2}{t} \\ c_1 t + \bruch{c_2}{t}} [/mm] , [mm] (c_1 [/mm] , [mm] c_2 \in \IR)
[/mm]
kann das jemand bestätigen?
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Do 16.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ob ne lösung richtig ist bestätigt man am besten durch die probe, also einsetzen. da ist es nicht sinnvoller, wenn einer von uns das tut.
gruss leduart
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Hallo,
> ob ne lösung richtig ist bestätigt man am besten durch
> die probe, also einsetzen. da ist es nicht sinnvoller, wenn
> einer von uns das tut.
Das stimmt natürlich. Mir ging es auch eher darum, ob mir jemand bestätigen kann, dass (unter Annahme dass die Lösung stimmt) man diese Matrix Fundamentalmatrix nennt.
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Do 16.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, so schreibt man die Fundamentalmatrix nicht hin. du hast einen lösungsvektor aufgeschrieben, keine matrix. in den 2 spalten der matrix stehen die 2 lin unabh. Lösung der gl. in deiner ersten spalte also
[mm] \vektor{t\\t} [/mm] in der zweiten [mm] \vektor{1/t\\1/t}
[/mm]
die Linearkomb von diesen spaltenvektoren sind dann die allg. Lösungen.
siehe auch wiki Fundamentalsystem
Gruss leduart
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Hallo,
> in deiner ersten spalte also
> [mm]\vektor{t\\t}[/mm] in der zweiten [mm]\vektor{1/t\\1/t}[/mm]
> die Linearkomb von diesen spaltenvektoren sind dann die
> allg. Lösungen.
Ist es so gemeint?
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \pmat{ -t & \bruch{1}{t} \\ t & \bruch{1}{t} } \vektor{c_1 \\ c_2}
[/mm]
mit Fund.-Matrix [mm] \pmat{ -t & \bruch{1}{t} \\ t & \bruch{1}{t} } [/mm] ?
Eine weitere Schreibweise wäre
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] c_1 \vektor{-t \\ t} [/mm] + [mm] c_2 \vektor{1/t \\ 1/t}
[/mm]
Gruß, Gratwanderer
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Hallo Gratwanderer,
> Hallo,
>
> > in deiner ersten spalte also
> > [mm]\vektor{t\\t}[/mm] in der zweiten [mm]\vektor{1/t\\1/t}[/mm]
> > die Linearkomb von diesen spaltenvektoren sind dann die
> > allg. Lösungen.
>
> Ist es so gemeint?
>
> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\pmat{ -t & \bruch{1}{t} \\ t & \bruch{1}{t} } \vektor{c_1 \\ c_2}[/mm]
>
> mit Fund.-Matrix [mm]\pmat{ -t & \bruch{1}{t} \\ t & \bruch{1}{t} }[/mm]
> ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Eine weitere Schreibweise wäre
>
> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]c_1 \vektor{-t \\ t}[/mm] + [mm]c_2 \vektor{1/t \\ 1/t}[/mm]
Das ist die allgemeine Lösung des DGL-Systems.
>
> Gruß, Gratwanderer
Gruss
MathePower
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Hallo zusammen,
ich sitze grade leider auch noch an Aufgabenteil b und komme damit nich wirklich zurecht..
[mm] \vektor{x' \\ y'}=\pmat{ 0 & -\bruch{1}{t} \\ -\bruch{1}{t} & 0 }\vektor{x \\ y}
[/mm]
das hab ich jetzt umgeschrieben in
[mm] x'(t)=\bruch{-1}{t}*y(t)
[/mm]
und y'(t)= [mm] \bruch{-1}{t}*x(t)
[/mm]
doch jetzt weiß ich nicht wirklich wie ich hier weitermachen soll...
so einfach kriege ich da hier ja nicht integriert wie bei der a)
könnte mir vllt jemand einen tipp geben?
gruß,
kekschen
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Hallo Kampfkekschen,
> Hallo zusammen,
> ich sitze grade leider auch noch an Aufgabenteil b und
> komme damit nich wirklich zurecht..
>
> [mm]\vektor{x' \\ y'}=\pmat{ 0 & -\bruch{1}{t} \\ -\bruch{1}{t} & 0 }\vektor{x \\ y}[/mm]
>
> das hab ich jetzt umgeschrieben in
> [mm]x'(t)=\bruch{-1}{t}*y(t)[/mm]
> und y'(t)= [mm]\bruch{-1}{t}*x(t)[/mm]
>
> doch jetzt weiß ich nicht wirklich wie ich hier
> weitermachen soll...
> so einfach kriege ich da hier ja nicht integriert wie bei
> der a)
>
> könnte mir vllt jemand einen tipp geben?
Das DGL- System 1. Ordnung kann in
eine DGL 2. Ordnung überführt werden.
>
> gruß,
> kekschen
Gruss
MathePower
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ähm heißt das jetzt, dass ich
[mm] x'(t)=\bruch{-1}{t}\cdot{}y(t) [/mm] und y'(t)
nochmal ableiten muss um eine DGL 2ter Ordnung zu erhalten?
gruß,
kekschen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie sollst du wohl sonst auf eine 2. ter ordng kommen?
Gruss leduart
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okay dann hab ich das jetzt in eine DGL 2. Ordnung geschrieben:
[mm] x''(t)=\bruch{-y'(t)}{t}+ \bruch{y(t)}{t^2}
[/mm]
[mm] y''(t)=\bruch{-x'(t)}{t}+ \bruch{x(t)}{t^2}
[/mm]
aber wie muss ich jetzt weitermachen um jetzt die allgemeine lösung zu bekommen?
gruß
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Hallo Kampfkekschen,
> okay dann hab ich das jetzt in eine DGL 2. Ordnung
> geschrieben:
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> [mm]x''(t)=\bruch{-y'(t)}{t}+ \bruch{y(t)}{t^2}[/mm]
>
> [mm]y''(t)=\bruch{-x'(t)}{t}+ \bruch{x(t)}{t^2}[/mm]
So ist das nicht gedacht.
>
> aber wie muss ich jetzt weitermachen um jetzt die
> allgemeine lösung zu bekommen?
>
Löse die DGL
[mm]x'\left(t\right)=-\bruch{1}{t}*y\left(t\right)[/mm]
nach [mm]y\left(t\riht)[/mm] auf, und setze sie in
[mm]y'\left(t\right)=-\bruch{1}{t}*x\left(t\right)[/mm]
ein.
Dann erhältst Du eine DGL 2. Ordnung für [mm]x\left(t\right)[/mm].
> gruß
>
Gruss
MathePower
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danke schonmal für die schnelle antwort..
bin mir jetzt nicht sicher ob ich das diesmal richtig verstanden hab:
hab also
[mm] x'\left(t\right)=-\bruch{1}{t}\cdot{}y\left(t\right) [/mm] nach y(t) aufgelöst
=> y(t)=-tx'(t)
nur y(t) ableiten
=> y'(t)=-x'(t)-tx''(t)
nur y'(t) in y'(t) einsetzen
-x'(t)-tx''(t)= [mm] \bruch{-x(t)}{t}
[/mm]
nach x''(t) auflösen:
[mm] x''(t)=\bruch{-x'(t)}{t}+\bruch{x(t)}{t^2}
[/mm]
und so hab ich dann jetzt eine dgl 2ter ordnung
ist das so richtig?
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Hallo Kampfkekschen,
> danke schonmal für die schnelle antwort..
>
> bin mir jetzt nicht sicher ob ich das diesmal richtig
> verstanden hab:
> hab also
> [mm]x'\left(t\right)=-\bruch{1}{t}\cdot{}y\left(t\right)[/mm] nach
> y(t) aufgelöst
> => y(t)=-tx'(t)
> nur y(t) ableiten
> => y'(t)=-x'(t)-tx''(t)
> nur y'(t) in y'(t) einsetzen
> -x'(t)-tx''(t)= [mm]\bruch{-x(t)}{t}[/mm]
> nach x''(t) auflösen:
> [mm]x''(t)=\bruch{-x'(t)}{t}+\bruch{x(t)}{t^2}[/mm]
> und so hab ich dann jetzt eine dgl 2ter ordnung
>
> ist das so richtig?
Ja, das ist so richtig.
Gruss
MathePower
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okay!
das gleiche hab ich jetzt auch für [mm] y'(t)=\bruch{-x(t)}{t}
[/mm]
gemacht und kam auf
y''(t)= [mm] \bruch{y(t)}{t^2}- \bruch{y'(t)}{t}
[/mm]
aber wie muss ich jetzt weiter machen?
gruß...
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Hallo Kampfkekschen,
> okay!
> das gleiche hab ich jetzt auch für
> [mm]y'(t)=\bruch{-x(t)}{t}[/mm]
> gemacht und kam auf
> y''(t)= [mm]\bruch{y(t)}{t^2}- \bruch{y'(t)}{t}[/mm]
Das ist nicht verwunderlich, daß für x und y
dieselbe DGL erfüllen müssen.
Wenn Du eine DGL 2. Ordnung hast, dann
reicht das um die Lösungen zu ermitteln.
Die DGL 2. Ordnung für x liefert die Lösung für x(t).
Daraus ergibt sich mit Hilfe der Gleichung
[mm]x'\left(t\right)=-\bruch{1}{t}\cdot{}y\left(t\right)[/mm]
die Lösung für y(t).
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> aber wie muss ich jetzt weiter machen?
Löse die DGL 2. Ordnung für x.
>
> gruß...
Gruss
MathePower
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Ich bin noch total unsicher beim lösen von DGLs 2ter Ordnung.
Ich habe das jetzt über das charakteristische Polynom gemacht.
Die Lösung weicht aber sehr von Gratwanderers Lösung ab.
dann habe ich:
[mm] \lambda^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{t^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{t}*\lambda
[/mm]
wenn ich das auflöse ist
[mm] \lambda [/mm] = +/- [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}*t} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2*t}
[/mm]
Aber das ist doch falsch, oder?
Benutze ich die falsche Herangehensweise?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 19.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
über das char. Pol. kann man nur dgl mit konstanten Koeffizienten lösen!
hier wär ein ansatz [mm] f=t^\alpha [/mm] ratsam daraus 7alpha bestimmen
Gruss leduart
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Hallo leduart,
den Ansatz kenne ich nicht. Könntest du mir das bitte an einem kurzen Beispiel erläutern?
Danke
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Hallo Teufelchen6,
> Hallo leduart,
>
> den Ansatz kenne ich nicht. Könntest du mir das bitte an
> einem kurzen Beispiel erläutern?
Das ist eine sogenannte ![[]](/images/popup.gif) Eulersche Differentialgleichung.
> Danke
Gruss
MathePower
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Super, vielen Dank!
Also ich habe dann jetzt für [mm] \lambda [/mm] = 1 und -1 raus.
Also ist dann [mm] x_{1} [/mm] = t und [mm] x_{2} [/mm] = -t
Wenn ich das in x'(t) = [mm] \bruch{-1}{t} [/mm] * y(t) einsetze, dafür muss ich x ja ableiten, habe ich
y(t) = t oder -t raus.
Was habe ich falsch gemacht?
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Hallo Kampfkekschen,
> Super, vielen Dank!
>
> Also ich habe dann jetzt für [mm]\lambda[/mm] = 1 und -1 raus.
> Also ist dann [mm]x_{1}[/mm] = t und [mm]x_{2}[/mm] = -t
Die zweite Lösung [mm]x_{2}\left(t\right)[/mm] lautet doch dann:
[mm]x_{2}\left(t\right)=t^{\blue{-1}}=\bruch{1}{t}[/mm]
>
> Wenn ich das in x'(t) = [mm]\bruch{-1}{t}[/mm] * y(t) einsetze,
> dafür muss ich x ja ableiten, habe ich
> y(t) = t oder -t raus.
>
> Was habe ich falsch gemacht?
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Do 16.12.2010 | | Autor: | leduart |
hallo kekschen
oben stehen doch schon w Lösungen, auch wenn daanscheinend noch ein vorzeichenfehler drin ist.
Gruss leduart
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