System mit kompl. eigenwerten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie das folgende System und skizzieren Sie das Phasen-Portrait
[mm] \bruch{d}{dt}\vektor{x \\ y}=\pmat{ 1 & 1 \\ -4 & 1 }\vektor{x \\ y} [/mm] |
Hi,
also als Eigenwerte habe ich $ [mm] \lambda_{1,2}=1 \pm [/mm] 2*i $
Die korrespondierenden Eigenvektoren sind [mm] v_{1}=\vektor{1 \\ 2i} [/mm] für [mm] \lambda=1+2i [/mm] und [mm] v_{2}=\vektor{-1 \\ 2i} [/mm] für [mm] \lambda=1-2i.
[/mm]
Daher ist die allgemeine Lösung gegeben durch:
[mm] \vektor{x \\ y}=A*e^{(1-2i)*t}*\vektor{-1 \\ 2i}+B*e^{(1+2i)*t}*\vektor{1 \\ 2i}=A*e^{t}*\vektor{-cos(-2t) \\ -2sin(-2t)}+i*\vektor{-sin(-2t) \\ 2*cos(-2t)}+B*e^{t}\vektor{cos(2t) \\ -2sin(2t)}+i*\vektor{sin(2t) \\ 2cos(2t)}
[/mm]
Jetzt nehme ich den Realteil und bekomme:
[mm] \vektor{x \\ y}=A*e^{t}*\vektor{-cos(2t) \\ 2sin(2t)}+B*e^{t}*\vektor{cos(2t) \\ -2sin(2t)}
[/mm]
Kann da bitte mal jemand drüber schauen, nicht dass ich da irgendwo murks gemacht habe ? :)
lg
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Hallo eXeQteR,
> Lösen Sie das folgende System und skizzieren Sie das
> Phasen-Portrait
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> [mm]\bruch{d}{dt}\vektor{x \\ y}=\pmat{ 1 & 1 \\ -4 & 1 }\vektor{x \\ y}[/mm]
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> Hi,
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> also als Eigenwerte habe ich [mm]\lambda_{1,2}=1 \pm 2*i[/mm]
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> Die korrespondierenden Eigenvektoren sind [mm]v_{1}=\vektor{1 \\ 2i}[/mm]
> für [mm]\lambda=1+2i[/mm] und [mm]v_{2}=\vektor{-1 \\ 2i}[/mm] für
> [mm]\lambda=1-2i.[/mm]
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> Daher ist die allgemeine Lösung gegeben durch:
>
> [mm]\vektor{x \\ y}=A*e^{(1-2i)*t}*\vektor{-1 \\ 2i}+B*e^{(1+2i)*t}*\vektor{1 \\ 2i}=A*e^{t}*\vektor{-cos(-2t) \\ -2sin(-2t)}+i*\vektor{-sin(-2t) \\ 2*cos(-2t)}+B*e^{t}\vektor{cos(2t) \\ -2sin(2t)}+i*\vektor{sin(2t) \\ 2cos(2t)}[/mm]
>
> Jetzt nehme ich den Realteil und bekomme:
>
> [mm]\vektor{x \\ y}=A*e^{t}*\vektor{-cos(2t) \\ 2sin(2t)}+B*e^{t}*\vektor{cos(2t) \\ -2sin(2t)}[/mm]
>
Das sind zwei linear abhängige Lösungen.
Sowohl Real- als aus Imaginärteil der komplexen Lösung
stellen Lösungen des reellen DGL-Systems dar.
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> Kann da bitte mal jemand drüber schauen, nicht dass ich da
> irgendwo murks gemacht habe ? :)
>
> lg
Gruss
MathePower
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Hi,
wonach kann ich denn entscheiden ob Real- und Imaginärteil Lösungen sind oder nur eines von beiden ? In meinem Skript haben wir im einzigen Beispiel den Realteil genommen. Hat das einen bestimmten grund ?
Lg
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Hallo eXeQteR,
> Hi,
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> wonach kann ich denn entscheiden ob Real- und Imaginärteil
> Lösungen sind oder nur eines von beiden ? In meinem Skript
> haben wir im einzigen Beispiel den Realteil genommen. Hat
> das einen bestimmten grund ?
>
Nicht daß ich wüßte.
Wenn ein reelles DGL-System komplexe Eigenwerte besitzt,
dann sind immer sowohl Real- als auch Imaginärteil der komplexen
Lösung Lösungen des reellen DGL-Systems.
> Lg
Gruss
MathePower
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