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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Di 08.05.2012 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | [mm] \bruch{d \overrightarrow{y}(x)}{dx}=\overrightarrow{f}(x,\overrightarrow{y}(x))=\mathcal{A} [/mm] * [mm] \overrightarrow{y},
[/mm]
[mm] \mathcal{A}=\pmat{ 3 & -\bruch{1}{4} \\ 9 & -2 }
[/mm]
[mm] \overrightarrow{y}=\vektor{y_1 \\ y_2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{y(x=0)}=y_0=\vektor{6 \\ -4} [/mm] |
Ich soll obiges System von DGLs als Anfangswertproblem lösen. Eine normale DGL bereitet mir ja nicht so das Problem, allerdings habe ich noch nie ein System davon gelöst und wollte nachfragen wie man an die Sache rangeht ?
Ich wäre es jetzt so angegangen beide Gleichungen getrennt aufzulösen, integrieren und somit die Lösungen für beide erhalten mit [mm] y_0=6 [/mm] für die erste und [mm] y_0=-4 [/mm] für die zweite Gleichung. Geht man das überhaupt so an ?
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Hallo bammbamm,
> [mm]\bruch{d \overrightarrow{y}(x)}{dx}=\overrightarrow{f}(x,\overrightarrow{y}(x))=\mathcal{A}[/mm]
> * [mm]\overrightarrow{y},[/mm]
>
> [mm]\mathcal{A}=\pmat{ 3 & -\bruch{1}{4} \\ 9 & -2 }[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{y}=\vektor{y_1 \\ y_2}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{y(x=0)}=y_0=\vektor{6 \\ -4}[/mm]
> Ich soll
> obiges System von DGLs als Anfangswertproblem lösen. Eine
> normale DGL bereitet mir ja nicht so das Problem,
> allerdings habe ich noch nie ein System davon gelöst und
> wollte nachfragen wie man an die Sache rangeht ?
>
Der eine Weg ist der, dieses DGL-System
auf eine DGL zweiter Ordnung zurückzuführen.
> Ich wäre es jetzt so angegangen beide Gleichungen getrennt
> aufzulösen, integrieren und somit die Lösungen für beide
> erhalten mit [mm]y_0=6[/mm] für die erste und [mm]y_0=-4[/mm] für die
> zweite Gleichung. Geht man das überhaupt so an ?
Der andere Weg führt über die Bestimmung der Eigenwerte und
Eigenvektoren der Matrix A. Daraus ergeben sich,
sofern die Matrix A keine doppelten Eigenwerte besitzt,
die Lösungen des DGL-Systems.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Di 08.05.2012 | | Autor: | bammbamm |
Welcher dieser Wege wäre für mein momentanes Problem der elegantere ?
Die Eigenwerte von [mm] \mathcal{A} [/mm] wären [mm] \vektor{\bruch{5}{2} \\ -\bruch{3}{2}}
[/mm]
Inwiefern bringt mich das nun zu meiner Lösung des DGL ?
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Hallo bammbamm,
> Welcher dieser Wege wäre für mein momentanes Problem der
> elegantere ?
>
Der übliche Weg ist Weg, der über die Eigenwerte geht.
> Die Eigenwerte von [mm]\mathcal{A}[/mm] wären [mm]\vektor{\bruch{5}{2} \\ -\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Inwiefern bringt mich das nun zu meiner Lösung des DGL ?
Bestimme nun zu den jeweiligen Eigenwerten die Eigenvektoren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Di 08.05.2012 | | Autor: | bammbamm |
> Bestimme nun zu den jeweiligen Eigenwerten die
> Eigenvektoren.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ja, meine Eigenvektoren sind
[mm] \vec{v_1}=\alpha*\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1}
[/mm]
und
[mm] \vec{v_2}=\alpha*\vektor{\bruch{1}{18} \\ 1}
[/mm]
Wie gehe ich weiter vor ?
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Hallo bammbamm,
> > Bestimme nun zu den jeweiligen Eigenwerten die
> > Eigenvektoren.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Ja, meine Eigenvektoren sind
> [mm]\vec{v_1}=\alpha*\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1}[/mm]
> und
> [mm]\vec{v_2}=\alpha*\vektor{\bruch{1}{18} \\ 1}[/mm]
>
> Wie gehe ich weiter vor ?
Damit ergibt sich die Lösung zu:
[mm]y\left(t\right)=c_{1}*\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1}*e^{5/2*t}+c_{2}*\vektor{\bruch{1}{18} \\ 1}*e^{-3/2*t}[/mm]
Die Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] sind nun durch
Einsetzen der Anfangsbedingung zu ermitteln.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Di 08.05.2012 | | Autor: | bammbamm |
Also wäre die Lösung
[mm] \vec{y}(x)=\vektor{3 \\ 6}*e^{\bruch{5}{2}*x}-\vektor{\bruch{2}{9} \\ 4}*e^{\bruch{3}{2}*x} [/mm] ?
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Hallo bammbamm,
> Also wäre die Lösung
>
> [mm]\vec{y}(x)=\vektor{3 \\ 6}*e^{\bruch{5}{2}*x}-\vektor{\bruch{2}{9} \\ 4}*e^{\bruch{3}{2}*x}[/mm]
> ?
Nein.
Es muss doch gelten:
[mm] y\left(0\right)=\pmat{6 \\ -4}=c_{1}\cdot{}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1}\cdot{}e^{5/2\cdot{}0}+c_{2}\cdot{}\vektor{\bruch{1}{18} \\ 1}\cdot{}e^{-3/2\cdot{}0} [/mm]
Daraus sind nun die Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] zu ermitteln.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Di 08.05.2012 | | Autor: | bammbamm |
Also dann
$ [mm] \vec{y}(x)=\vektor{7 \\ 14}\cdot{}e^{\bruch{5}{2}\cdot{}x}-\vektor{1 \\ 18}\cdot{}e^{-\bruch{3}{2}\cdot{}x} [/mm] $
Wo kommen aber die Eulerschen Zahlen her ?
Wenn ich das Probeweise mal mit nem CAS ableite, kommt nicht das raus was ich eigentlich dachte. Da müsste ja [mm] A*\vec{y} [/mm] rauskommen ?
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Hallo bammbamm,
> Also dann
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> [mm]\vec{y}(x)=\vektor{7 \\ 14}\cdot{}e^{\bruch{5}{2}\cdot{}x}-\vektor{1 \\ 18}\cdot{}e^{-\bruch{3}{2}\cdot{}x}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wo kommen aber die Eulerschen Zahlen her ?
>
Für die Lösung einer DGL mit konstanten Koeffizienten
macht man den Ansatz [mm]y=e^{\lambda*x}[/mm]
> Wenn ich das Probeweise mal mit nem CAS ableite, kommt
> nicht das raus was ich eigentlich dachte. Da müsste ja
> [mm]A*\vec{y}[/mm] rauskommen ?
Du kannst die Lösung in das DGL-System einsetzen,
um zu verifizieren, dass diese stimmt.
Gruss
MathePower
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