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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - System von DGL mit var. Koeffi
System von DGL mit var. Koeffi < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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System von DGL mit var. Koeffi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Do 22.03.2012
Autor: Calculu

Aufgabe
Lösen sie das System

[mm] \vektor{y_{1}' \\ y_{2}'} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{x} & \bruch{3}{x} \\ \bruch{1}{x} & \bruch{-1}{x} } [/mm] * [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2}} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] , x > 0.

Für eine Lösung des homogenen Systems substituiert man x = [mm] e^{t}, [/mm] für eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems mache man einen geeigneten polynomialen Ansatz.

Also ich weiß wie man Systeme von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten löst.
Ist die Vorgehensweise bei var. Koeffizienten die gleiche oder worauf muss ich achten. Bin für jeden Tipp dankbar.

Viele Grüße.

        
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Do 22.03.2012
Autor: fred97


> Lösen sie das System
>
> [mm]\vektor{y_{1}' \\ y_{2}'}[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{1}{x} & \bruch{3}{x} \\ \bruch{1}{x} & \bruch{-1}{x} }[/mm]
> * [mm]\vektor{y_{1} \\ y_{2}}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] , x > 0.
>  
> Für eine Lösung des homogenen Systems substituiert man x
> = [mm]e^{t},[/mm] für eine spezielle Lösung des inhomogenen
> Systems mache man einen geeigneten polynomialen Ansatz.
>  Also ich weiß wie man Systeme von Differentialgleichungen
> mit konstanten Koeffizienten löst.
>  Ist die Vorgehensweise bei var. Koeffizienten die gleiche
> oder worauf muss ich achten. Bin für jeden Tipp dankbar.
>  
> Viele Grüße.


In der Aufgabe steht doch, was Du machen mußt:  setze [mm] x=e^t [/mm]

Setze weiter [mm] z_j(t)=y_j(e^t) [/mm]

Damit erhältst Du ein DGL-System für [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] mit konstanten (!) Koeffizienten.

FRED

Bezug
                
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Do 22.03.2012
Autor: Calculu

Du meinst also so:


[mm] \vektor{z_{1}' \\ z_{2}'} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{e^{t}} & \bruch{3}{e^{t}} \\ \bruch{1}{e^{t}} & \bruch{-1}{e^{t}} } [/mm] * [mm] \vektor{z_{1} \\ z_{2}} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] , x > 0.

Aber dann hab ich doch in der Matrix immer noch Variablen drin!?

Bezug
                        
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Do 22.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Calculu,

> Du meinst also so:
>  
>
> [mm]\vektor{z_{1}' \\ z_{2}'}[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{1}{e^{t}} & \bruch{3}{e^{t}} \\ \bruch{1}{e^{t}} & \bruch{-1}{e^{t}} }[/mm]
> * [mm]\vektor{z_{1} \\ z_{2}}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] , x > 0.
>
> Aber dann hab ich doch in der Matrix immer noch Variablen
> drin!?


Es sind auch die Ableitungen von [mm]y_{j}[/mm] mit Hilfe von [mm]z_{j}[/mm] auszudrücken.

Diese ergeben sich nach der Kettenregel zu:

[mm]\dot{z_{j}}\left(t\right)=y_{j}'\left(x\right)*\dot{x}\left(t\right)[/mm]


Gruss
MathePower



Bezug
                                
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Do 22.03.2012
Autor: Calculu

Achso. Aso so:

[mm] \vektor{\bruch{\dot{z_{1}}}{e^{t}} \\ \bruch{\dot{z_{2}}}{e^{t}}} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{e^{t}} & \bruch{3}{e^{t}} \\ \bruch{1}{e^{t}} & \bruch{-1}{e^{t}} } [/mm] * [mm] \vektor{z_{1} \\ z_{2}} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] , x > 0.

Und dann kann ich irgendwie die [mm] e^{t} [/mm] verwurschteln. Richtig?

Bezug
                                        
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Do 22.03.2012
Autor: fred97


> Achso. Aso so:
>  
> [mm]\vektor{\bruch{\dot{z_{1}}}{e^{t}} \\ \bruch{\dot{z_{2}}}{e^{t}}}[/mm]
> = [mm]\pmat{ \bruch{1}{e^{t}} & \bruch{3}{e^{t}} \\ \bruch{1}{e^{t}} & \bruch{-1}{e^{t}} }[/mm]
> * [mm]\vektor{z_{1} \\ z_{2}}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] , x > 0.
>
> Und dann kann ich irgendwie die [mm]e^{t}[/mm] verwurschteln.

Ja, schreib die beiden DGLen doch mal hin.

FRED

> Richtig?


Bezug
                                                
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Do 22.03.2012
Autor: Calculu

Die zwei Gleichungen in einem System zusammengefasst müssten dann meiner Meinung nach so aussehen:

[mm] \vektor{\dot{z_{1}} \\ \dot{z_{2}}} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 1 & -1 } [/mm] * [mm] \vektor{z_{1} \\ z_{2}} [/mm] + [mm] \vektor{e^{t} \\ 0} [/mm]

Damit habe ich ein System mit konstanten Koeffizienten. Richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Do 22.03.2012
Autor: fred97


> Die zwei Gleichungen in einem System zusammengefasst
> müssten dann meiner Meinung nach so aussehen:
>  
> [mm]\vektor{\dot{z_{1}} \\ \dot{z_{2}}}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 1 & -1 }[/mm]
> * [mm]\vektor{z_{1} \\ z_{2}}[/mm] + [mm]\vektor{e^{t} \\ 0}[/mm]
>  
> Damit habe ich ein System mit konstanten Koeffizienten.
> Richtig?

Ja

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 Do 22.03.2012
Autor: Calculu

Sehr gut. Vielen Dank schonmal für die tolle Hilfe.
Ich versuche jetzt die Aufgabe zu lösen und melde mich dann wieder um das Ergebnis überprüfen zu lassen oder bei weiteren Fragen.

Viele Grüße!

Bezug
                                                                        
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Do 22.03.2012
Autor: Calculu

So, ich habe nun EW und EV bestimmt. Als EW hab ich [mm] \lambda_{1}=2 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-2 [/mm] raus.
Und damit die EV [mm] c_{1}=\vektor{3 \\ 1} [/mm] und [mm] c_{2}=\vektor{-1 \\ 1} [/mm]
Somit ist die Lösung des homogenen Teils:

[mm] y_{h}(t) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1}*e^{2t} [/mm] + [mm] \vektor{-1 \\ 1}*e^{-2t} [/mm]

Aber wie genau gehe ich jetzt beim inhomogenen System vor? Normal kann ich das ja so lösen:

[mm] A*\vec{z} [/mm] + [mm] \vec{v} [/mm] = 0, da [mm] \vec{z} [/mm] konstant sein muss und somit [mm] \vec{z}' [/mm] = 0.
Aber in diesem Fall hab ich in meinem Vektor [mm] \vec{v} [/mm] ja noch die Variable drin stehen. Hmmmm, ein Tipp wäre super!

Bezug
                                                                                
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 Do 22.03.2012
Autor: Calculu

Achso, nein. Das nüsste ja auch in diesem Fall klappen. Dann wäre [mm] \vec{z} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{1}{2} e^{t} \\ -\bruch{1}{6} e^{t}} [/mm]

Und nun muss ich noch rücksubstituieren, oder?

Bezug
                                                                                        
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Do 22.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Calculu,

> Achso, nein. Das nüsste ja auch in diesem Fall klappen.
> Dann wäre [mm]\vec{z}[/mm] = [mm]\vektor{-\bruch{1}{2} e^{t} \\ -\bruch{1}{6} e^{t}}[/mm]

>


Das ist nicht richtig.

  

> Und nun muss ich noch rücksubstituieren, oder?


Genau.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Do 22.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Calculu,

> So, ich habe nun EW und EV bestimmt. Als EW hab ich
> [mm]\lambda_{1}=2[/mm] und [mm]\lambda_{2}=-2[/mm] raus.
>  Und damit die EV [mm]c_{1}=\vektor{3 \\ 1}[/mm] und
> [mm]c_{2}=\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
>  Somit ist die Lösung des homogenen
> Teils:
>  
> [mm]y_{h}(t)[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 1}*e^{2t}[/mm] + [mm]\vektor{-1 \\ 1}*e^{-2t}[/mm]
>  



Die homogene Lösung lautet doch:

[mm]z_{h}(t) = a*\vektor{3 \\ 1}*e^{2t} + b*\vektor{-1 \\ 1}*e^{-2t}, \ a,b \in \IR[/mm]


> Aber wie genau gehe ich jetzt beim inhomogenen System vor?
> Normal kann ich das ja so lösen:
>  
> [mm]A*\vec{z}[/mm] + [mm]\vec{v}[/mm] = 0, da [mm]\vec{z}[/mm] konstant sein muss und
> somit [mm]\vec{z}'[/mm] = 0.
>  Aber in diesem Fall hab ich in meinem Vektor [mm]\vec{v}[/mm] ja
> noch die Variable drin stehen. Hmmmm, ein Tipp wäre super!


Dann machst Du als partikuläre Lösung den Ansatz in Form  eines Polynoms in [mm]e^{t}[/mm]

Demnach

[mm]z_{p}\left(t\right)=e^{t}*\pmat{c \\ d} \ c,d \in \IR[/mm]


Gruss
MathePower


Bezug
                                                                                        
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Do 22.03.2012
Autor: Calculu


> Die homogene Lösung lautet doch:
>  
> [mm]z_{h}(t) = a*\vektor{3 \\ 1}*e^{2t} + b*\vektor{-1 \\ 1}*e^{-2t}, \ a,b \in \IR[/mm]
>  

Hm, hier komm ich jetzt nicht ganz mit. Woher kommen die Variablen a und b?


> Dann machst Du als partikuläre Lösung den Ansatz in Form  
> eines Polynoms in [mm]e^{t}[/mm]
>  
> Demnach
>
> [mm]z_{p}\left(t\right)=e^{t}*\pmat{c \\ d} \ c,d \in \IR[/mm]
>  

Also so:

[mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 1 & -1 } [/mm] * [mm] \vektor{z_{1} \\ z_{2}} [/mm] + [mm] \vektor{e^{t} \\ 0} [/mm] = [mm] e^{t}*\pmat{c \\ d} [/mm] \ c,d [mm] \in \IR [/mm]  ????


Bezug
                                                                                                
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Do 22.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Calculu,

> > Die homogene Lösung lautet doch:
>  >  
> > [mm]z_{h}(t) = a*\vektor{3 \\ 1}*e^{2t} + b*\vektor{-1 \\ 1}*e^{-2t}, \ a,b \in \IR[/mm]
>  
> >  

> Hm, hier komm ich jetzt nicht ganz mit. Woher kommen die
> Variablen a und b?
>  

Nun,  die homogene DGL wird nicht nur von

[mm]\vektor{3 \\ 1}*e^{2t}[/mm] bzw. [mm]\vektor{-1 \\ 1}*e^{-2t}, \ a,b \in \IR[/mm]

gelöst, sondern auch von einer beliebigen Linearkombination
dieser beiden Lösungen.


>
> > Dann machst Du als partikuläre Lösung den Ansatz in Form  
> > eines Polynoms in [mm]e^{t}[/mm]
>  >  
> > Demnach
> >
> > [mm]z_{p}\left(t\right)=e^{t}*\pmat{c \\ d} \ c,d \in \IR[/mm]
>  >  
> Also so:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 1 & -1 }[/mm] * [mm]\vektor{z_{1} \\ z_{2}}[/mm] +
> [mm]\vektor{e^{t} \\ 0}[/mm] = [mm]e^{t}*\pmat{c \\ d}[/mm] \ c,d [mm]\in \IR[/mm]  
> ????
>


Für [mm]\pmat{z_{1} \\ z_{2}}[/mm] ist   [mm]e^{t}*\pmat{c \\ d}[/mm] einzusetzen:

[mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 1 & -1 }* \blue{e^{t}*\pmat{c \\ d}} +\vektor{e^{t} \\ 0} = e^{t}*\pmat{c \\ d}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                        
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System von DGL mit var. Koeffi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Do 22.03.2012
Autor: Calculu

Ok, und damit ist d= -1 und c=0 ? Und somit [mm] z_{p}\left(t\right)=\pmat{0 \\ -e^{t}} [/mm] ????

Bezug
                                                                                                                
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Do 22.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Calculu,

> Ok, und damit ist d= -1 und c=0 ? Und somit
> [mm]z_{p}\left(t\right)=\pmat{0 \\ -e^{t}}[/mm] ????


Das musst Du nochmal nachrechnen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Do 22.03.2012
Autor: Calculu

So müsste es richtig sein:

d= [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] c=-\bruch{2}{3} [/mm]  Und somit [mm] z_{p}\left(t\right)=\pmat{-\bruch{2}{3} e^{t} \\ -\bruch{1}{3} e^{t}}. [/mm]

Oder?
Und nun rücksubstituieren?

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Do 22.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Calculu,

> So müsste es richtig sein:
>  
> d= [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] und [mm]c=-\bruch{2}{3}[/mm]  Und somit
> [mm]z_{p}\left(t\right)=\pmat{-\bruch{2}{3} e^{t} \\ -\bruch{1}{3} e^{t}}.[/mm]
>  
> Oder?


Jetzt isses richtig. [ok]


>  Und nun rücksubstituieren?


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Do 22.03.2012
Autor: Calculu

Nach der Rücksubstitution erhalte ich dann folgendes:

y(x) = [mm] a*\vektor{3 \\ 1}*x^{2} [/mm] + [mm] b*\vektor{-1 \\ 1}*x^{-2} [/mm] + [mm] \vektor{-\bruch{2}{3} \\ -\bruch{1}{3}}*x [/mm]

Stimmt das?

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Do 22.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Calculu,

> Nach der Rücksubstitution erhalte ich dann folgendes:
>  
> y(x) = [mm]a*\vektor{3 \\ 1}*x^{2}[/mm] + [mm]b*\vektor{-1 \\ 1}*x^{-2}[/mm]
> + [mm]\vektor{-\bruch{2}{3} \\ -\bruch{1}{3}}*x[/mm]
>  
> Stimmt das?


Ja, das stimmt. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
System von DGL mit var. Koeffi: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 Do 22.03.2012
Autor: Calculu

Wow, cool.

Vielen Dank MathePower und auch Dir, fred97 für die tolle Hilfe!!!!

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