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| Aufgabe | Bestimme die allg. reele Lösung und das AWP von
x'(t) = 4 x(t) + 5 y(t)
y'(t) = -x(t) - 2 y(t) |
Hallo,
wollte mich nun schonmal an die HA für nächste Woche setzen und stolper über das oben genannte Thema. Ich habe bereits die erste oben aufgegebene Aufgabe gelöst nur weicht mein Ergebnis von der Lösung ab
Mein Ergebnis
[mm] \pmat{ x(t) \\ y(t) }=\pmat{ 1 \\ -\bruch{1}{5} }*e^{3x}+\vektor{2 \\ -2}*e^{-x}
[/mm]
Die Lösung sagt:
[mm] \pmat{ x(t) \\ y(t) }=\pmat{ 5 \\ -1 }*e^{3x}+\vektor{-2 \\ 2}*e^{-x}
[/mm]
Meinen Lösungsweg habe ich mal mit angehängt, wäre super wenn ihr sagen könntet, wer hier einen Fehler gemacht hat.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Do 22.05.2008 | | Autor: | Vreni |
> Bestimme die allg. reele Lösung und das AWP von
> x'(t) = 4 x(t) + 5 y(t)
> y'(t) = -x(t) - 2 y(t)
> Hallo,
> wollte mich nun schonmal an die HA für nächste Woche
> setzen und stolper über das oben genannte Thema. Ich habe
> bereits die erste oben aufgegebene Aufgabe gelöst nur
> weicht mein Ergebnis von der Lösung ab
> Mein Ergebnis
> [mm]\pmat{ x(t) \\ y(t) }=\pmat{ 1 \\ -\bruch{1}{5} }*e^{3x}+\vektor{2 \\ -2}*e^{-x}[/mm]
Hallo,
ich hab mir zwar deinen Lösungsweg nicht angeschaut, aber eigentlich stimmen dein Ergebnis und die Lösung überein, wenn man sich überlegt, dass das ganze ja ein Anfangswertproblem im [mm] \IR^2ist [/mm] und deswegen die Lösung noch zwei freie Parameter enthalten muss, damit die Anfangsbedingung erfüllt werden kann, also dein Ergebnis müsstest du eigentlich so schreiben:
[mm] \pmat{ x(t) \\ y(t) }=\pmat{ 1 \\ -\bruch{1}{5} }*a_1*e^{3t}+\vektor{2 \\ -2}*a_2*e^{-t}, \;a_1,a_2\in\IR
[/mm]
Und jetzt setze mal für [mm] a_1=-5 [/mm] und für [mm] a_2=-1 [/mm] ein...
Ich hab übrigens in den Exponent t statt x geschrieben, da die Funktion ja von t abhängt (in der angabe steht ja auch x(t), y(t))
>
> Die Lösung sagt:
> [mm]\pmat{ x(t) \\ y(t) }=\pmat{ 5 \\ -1 }*e^{3x}+\vektor{-2 \\ 2}*e^{-x}[/mm]
>
> Meinen Lösungsweg habe ich mal mit angehängt, wäre super
> wenn ihr sagen könntet, wer hier einen Fehler gemacht hat.
Wenn in der Aufgabenstellung noch ein konkreter Anfangswert [mm] \pmat{ x(t_0) \\ y(t_0) } [/mm] gegeben ist, musst du [mm] a_1, a_2 [/mm] noch so bestimmen, dass es passt und für [mm] t_0 [/mm] die richtigen Werte rauskommen.
Gruß,
Vreni
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> Wenn in der Aufgabenstellung noch ein konkreter Anfangswert
> [mm]\pmat{ x(t_0) \\ y(t_0) }[/mm] gegeben ist, musst du [mm]a_1, a_2[/mm]
> noch so bestimmen, dass es passt und für [mm]t_0[/mm] die richtigen
> Werte rauskommen.
>
> Gruß,
> Vreni
Hallo Vreni,
das verstehe ich nicht ganz, denn ich habe mit den gegebenen AWP diese Lösung raus, und eine weitere Konstante kommt da nicht vor.
Die allg. Lösung des Systems lautet (steht auch so in meiner Rechnung)
[mm] \vektor{x(t) \\ y(t)}=\vektor{1 \\ -\bruch{1}{5}}*C1*e^{3t}+\vektor{1 \\ -1}*C2*e^{-t}
[/mm]
Dies ist denke ich genau das was du meinst. Diese beiden Konstanten C1 und C2 habe ich dann mit dem AWP gelöst.
x(0)=3
y(0)=1
Da kommt dann eben für C1=1 und C2=2 raus. Mich wundert diese Ähnlichkeit auch sehr...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Do 22.05.2008 | | Autor: | Vreni |
Du hast irgendwo am Ende in der letzten Zeile einen Vorzeichenfehler, der fehlende Zwischenschritt lautet
[mm] 1=-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}C_2-C_2
[/mm]
[mm] \frac{8}{5}=\red{-}\frac{4}{5}C_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow C_2=\red{-}2
[/mm]
[mm] \Rightarrow C_1=5
[/mm]
Das deine Lösung so nicht stimmt, siehst du auch, wenn du mal y(0) berechnest, das ist nämlich nicht 1. Da x(0) aber stimmt, ist der Fehler also in der zweiten Gleichung zu suchen (und zu finden, siehe oben).
Gruß,
Vreni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Do 22.05.2008 | | Autor: | HAWRaptor |
Hallo,
jetzt sehe ich es auch... Mir schwimmen schon die Augen, mache mal Schluß für heute. Aber vielen Dank für die Hilfe!!!
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