T(Operator) linear und stetig < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte folgenden Operator
[mm] T_{k}:(C_{0}[0,1],\parallel.\parallel_{\infty}->(C_{0}[0,1],\parallel.\parallel_{\infty}
[/mm]
[mm] (T_kx)(s):=\integral_0^1k(s,t)*x(t)dt [/mm] und [mm] s\in[0,1] [/mm] mit [mm] k:[0,1]x[0,1]->\IR, k(s,t):=\begin{cases} (1-s)tfalls0 \le t
Man zeige, dass [mm] T_k [/mm] ein linearer und stetiger Operator ist und berechne [mm] \parallel T_k\parallel [/mm] |
Hallo!
Also hier sind 3 Dinge zu zeigen.
Ich beginne mit der Linearität:
Hier bekomm ich es nicht hin. Vielleicht findet einer meinen Fehler
[mm] zzg.:\forall u,v\in C_0[0,1] \forall a,b\in\IK: (T_k x)(au+bv)=a*(T_k x)(u)+b(T_k [/mm] x)(v)
Fall 1:(Also von k(s,t))
[mm] a*(T_k x)(u)+b(T_k x)(v)=a\integral_0^1k(u,t)*x(t)dt+b*\integral_0^1 k(v,t)*x(t)dt=a\integral_0^1 (1-u)tx(t)dt+b*\integral_0^1 (1-v)tx(t)dt=\integral_0^1(a(1-u)+b(1-v))tx(t)dt= \integral_0^1(a-au+b-bv)tx(t)dt
[/mm]
[mm] (T_k x)(au+bv)=\integral_0^1(1-au-bv)tx(t)dt
[/mm]
Beides ist nur gleich, wenn a+b=1, aber da a und b beliebig, muss da was faul sein.
Fall 2:
[mm] (T_k x)(au+bv)=\integral_0^1(1-t)(au+bv)x(t)dt
[/mm]
[mm] a*(T_k x)(u)+b(T_k x)(v)=a*\integral_0^1(1-t)ux(t)d+b*\integral_0^1(1-t)vx(t)dt=\integral_0^1(1-t)(au+bv)x(t)dt
[/mm]
In Fall 2 stimmt beides überein, aber in Fall 1 nicht.
Zweiter Teil: Berechne [mm] \parallel T_k\parallel=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \parallel T_k\parallel=\sup_{\parallel x\parallel_{\intfy}<1} \parallel T_k x\parallel_{\infty} [/mm] ( x soll auch in der [mm] \infty-Norm [/mm] sein. Wird nicht angezeigt.)
[mm] =\sup_{\parallel x \parallel<1} \sup_{s\in[0,1]} [/mm] | [mm] (T_k [/mm] x) (s) [mm] |=\sup_{s\in[0,1]} \sup_{\parallel x \parallel<1} |\integral_0^1k(s,t)x(t)dt|= \sup_{s\in[0,1]} |\integral_0^1k(s,t)dt|
[/mm]
Fall 1 k(s,t)=(1-s)t
[mm] =>\sup_{s\in[0,1]} |\integral_0^1 (1-s)tdt|=\sup_{s\in[0,1]} |\bruch{(1-s)}{2}|=\bruch{1}{2}
[/mm]
Fall 2: k(s,t)=(1-t)s
[mm] =>\sup_{s\in[0,1]} |\integral_0^1 (1-t)sdt|=\sup_{s\in[0,1]} |\bruch{1}{2}*s|=\bruch{1}{2}
[/mm]
Nun muss man zeigen, dass der Operator stetig ist und da der Operator linear ist, kann man ja auchzeigen, dass der Operator beschränkt ist,d.h. [mm] \exists a\IK>0 \forall u\in C_0[0,1]: \parallel(T_kx)(u)\parallel_{\infty}\le\parallel u\parallel_{\infty}
[/mm]
[mm] =>\sup_{s\in[0,1]} [/mm] | [mm] \integral_0^1k(u,t)x(t)dt|
[/mm]
Hier weiß ich nicht, wie ich dies abschätzen soll, wobei ich mir fast sicher bin, dass ich da was Falsches hingeschrieben habe.
Hoffentlich kann mir einer mit der Aufgabe helfen.
Ich bedanke mich für jede Hilfe.
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Fr 11.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Betrachte folgenden Operator
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> [mm]T_{k}:(C_{0}[0,1],\parallel.\parallel_{\infty}->(C_{0}[0,1],\parallel.\parallel_{\infty}[/mm]
> [mm](T_kx)(s):=\integral_0^1k(s,t)*x(t)dt[/mm] und [mm]s\in[0,1][/mm] mit
> [mm]k:[0,1]x[0,1]->\IR, k(s,t):=\begin{cases} (1-s)tfalls0 \le t
>
> Man zeige, dass [mm]T_k[/mm] ein linearer und stetiger Operator ist
> und berechne [mm]\parallel T_k\parallel[/mm]
> Hallo!
> Also hier sind 3 Dinge zu zeigen.
> Ich beginne mit der Linearität:
> Hier bekomm ich es nicht hin. Vielleicht findet einer
> meinen Fehler
> [mm]zzg.:\forall u,v\in C_0[0,1] \forall a,b\in\IK: (T_k x)(au+bv)=a*(T_k x)(u)+b(T_k[/mm]
> x)(v)
>
> Fall 1:(Also von k(s,t))
> [mm]a*(T_k x)(u)+b(T_k x)(v)=a\integral_0^1k(u,t)*x(t)dt+b*\integral_0^1 k(v,t)*x(t)dt=a\integral_0^1 (1-u)tx(t)dt+b*\integral_0^1 (1-v)tx(t)dt=\integral_0^1(a(1-u)+b(1-v))tx(t)dt= \integral_0^1(a-au+b-bv)tx(t)dt[/mm]
Was machst Du da eigentlich ???
Zeigen sollst Du:
[mm] T_k(ax+by)= aT_k(x)+bT_k(y) [/mm] für alle x,y [mm] \in C_0[0,1] [/mm] und alle a,b [mm] \in \IR
[/mm]
>
> [mm](T_k x)(au+bv)=\integral_0^1(1-au-bv)tx(t)dt[/mm]
>
> Beides ist nur gleich, wenn a+b=1, aber da a und b
> beliebig, muss da was faul sein.
>
> Fall 2:
> [mm](T_k x)(au+bv)=\integral_0^1(1-t)(au+bv)x(t)dt[/mm]
>
> [mm]a*(T_k x)(u)+b(T_k x)(v)=a*\integral_0^1(1-t)ux(t)d+b*\integral_0^1(1-t)vx(t)dt=\integral_0^1(1-t)(au+bv)x(t)dt[/mm]
>
> In Fall 2 stimmt beides überein, aber in Fall 1 nicht.
>
> Zweiter Teil: Berechne [mm]\parallel T_k\parallel=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\parallel T_k\parallel=\sup_{\parallel x\parallel_{\intfy}<1} \parallel T_k x\parallel_{\infty}[/mm]
> ( x soll auch in der [mm]\infty-Norm[/mm] sein. Wird nicht
> angezeigt.)
> [mm]=\sup_{\parallel x \parallel<1} \sup_{s\in[0,1]}[/mm] | [mm](T_k[/mm] x)
> (s) [mm]|=\sup_{s\in[0,1]} \sup_{\parallel x \parallel<1} |\integral_0^1k(s,t)x(t)dt|= \sup_{s\in[0,1]} |\integral_0^1k(s,t)dt|[/mm]
>
> Fall 1 k(s,t)=(1-s)t
> [mm]=>\sup_{s\in[0,1]} |\integral_0^1 (1-s)tdt|=\sup_{s\in[0,1]} |\bruch{(1-s)}{2}|=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Fall 2: k(s,t)=(1-t)s
> [mm]=>\sup_{s\in[0,1]} |\integral_0^1 (1-t)sdt|=\sup_{s\in[0,1]} |\bruch{1}{2}*s|=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Nun muss man zeigen, dass der Operator stetig ist und da
> der Operator linear ist, kann man ja auchzeigen, dass der
> Operator beschränkt ist,d.h. [mm]\exists a\IK>0 \forall u\in C_0[0,1]: \parallel(T_kx)(u)\parallel_{\infty}\le\parallel u\parallel_{\infty}[/mm]
>
> [mm]=>\sup_{s\in[0,1]}[/mm] | [mm]\integral_0^1k(u,t)x(t)dt|[/mm]
> Hier weiß ich nicht, wie ich dies abschätzen soll, wobei
> ich mir fast sicher bin, dass ich da was Falsches
> hingeschrieben habe.
Vergiß alles , was Du oben geschrieben hast. Es geht viel einfacher:
es ist doch |k(s,t)| [mm] \le [/mm] 1 für alle s,t [mm] \in [/mm] [0,1]
Dann folgt:
$ |(T_kx)(s)| [mm] \le \integral_{0}^{1}{|k(s,t)|*|x(t)| dt} \le \integral_{0}^{1}{1*||x||_{\infty} dt}= ||x||_{\infty}$ [/mm] für alle s [mm] \in [/mm] [0,1].
Fazit:
[mm] ||T_kx||_{\infty} \le ||x||_{\infty}
[/mm]
FRED
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> Hoffentlich kann mir einer mit der Aufgabe helfen.
>
> Ich bedanke mich für jede Hilfe.
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
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Hallo
Vielen Dank schonmal.
Dein Fazit zeigt mir doch, dass der Operator beschränkt bzw. stetig ist.
Die Linearität schreib ich nochmal richtig auf.
Was ist mit der Operatornorm. Ich hab die ja berechnet. Ist das auch falsch und wenn ja, wie geht's richtig?
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Fr 11.05.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo
> Vielen Dank schonmal.
> Dein Fazit zeigt mir doch, dass der Operator beschränkt
> bzw. stetig ist.
Ja. Du sollst zeigen, dass [mm] $T_k$ [/mm] ein linearer, stetiger Operator ist. Für lineare Operatoren ist die Stetigkeit äquivalent zur Beschränktheit (siehe im Buch oder Skript, sollte dort ziemlich am Anfang stehen).
Die Linearität musst Du noch zeigen. Die Beschränktheit hat Dir Fred gezeigt. Beachte: Er hat Dir allerdings nicht die Operatornorm berechnet. Mithilfe der Beschränktheit kannst Du lediglich zeigen, dass [mm] $\left\|T_k\right\|\leqslant [/mm] 1$. Es bleibt zu zeigen, dass [mm] $\left\|T_k\right\|\geqslant [/mm] 1$. Dann erhälst Du
[mm] $\left\|T_k\right\|=1$. [/mm] Zumindest ist dies meine Vermutung.
> Die Linearität schreib ich nochmal richtig auf.
Ja, tu das. Deine erst Frage hat in mir den Eindruck erweckt, dass Du den Begriff linearität in diesem Zusammenhang zumindest nicht verstanden hast.
> Was ist mit der Operatornorm. Ich hab die ja berechnet.
Ja, aber meines Erachtens falsch. Warum soll in Deiner Berechnung
[mm] $...=\sup_{s\in[0,1]} \sup_{\parallel x \parallel<1} |\integral_0^1k(s,t)x(t)dt|= \sup_{s\in[0,1]} |\integral_0^1k(s,t)dt| [/mm] $
Gleichheit gelten?
> Ist das auch falsch und wenn ja, wie geht's richtig?
Vermutlich falsch. Du musst die Operatornorm nach oben und unten abschätzen und zeigen, dass sie in beiden Richtungen durch $1$ beschränkt ist. Daraus lässt sich dann die Gleichheit schließen.
> Gruß
> TheBozz-mismo
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Hallo
Ich hab mich nochmal an die Linearität gesetzt und die ist eigentlich klar, da das Integral linear ist.
[mm] T_k(ax+by)(s)=\integral^1_0k(s,t)*(a*x(t)+b*y(t))dt=\integral^1_0(k(s,t)ax(t)+k(s,t)by(t))dt=a\integral^1_0k(s,t)x(t)dt+b\integral^1_0k(s,t)y(t)dt=a*T_k(x)(s)+bT_k(y)(s)
[/mm]
Für die Operatornorm bin ich immer noch nicht weiter.
ich hatte ja $ [mm] ...=\sup_{s\in[0,1]} \sup_{\parallel x \parallel<1} |\integral_0^1k(s,t)x(t)dt|= \sup_{s\in[0,1]} |\integral_0^1k(s,t)dt| [/mm] $ und es wurde gesagt, dass die letzte Gleichheit falsch sei, aber warum? Das Supremum wird ja für x in der Unendlichnorm [mm] \le [/mm] 1 betrachtet(wird irgendwie nicht angezeit) und dann kann man doch [mm] |x(t)|\le [/mm] 1 abschätzen.
Und wenn nicht, kann mir bitte einer auf die Sprünge helfen oder einen anderen Weg zeigen?
Wie gesagt, ich habe als Operatornorm [mm] \bruch{1}{2} [/mm] heraus.
Gruß und vielen Dank für jede Hilfe
TheBozz-mismo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 18.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Mi 16.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Es bleibt zu zeigen, dass
> [mm]\left\|T_k\right\|\geqslant 1[/mm].
Und warum sollte das gelten? Da [m]k < 1[/m] gilt, ist doch klar, dass die Norm echt darunter liegt (vergleiche mit der Abschätzung - da kann man das Integral ja geschickter gegen das Integral von k mal Maximum abschätzen - und das ist in jeder Phaser kleiner 1!).
SEcki
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