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Tangente: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Mi 18.07.2007
Autor: Engel-auf-Wolke

Aufgabe
Sei g eine Gerade, k=k(M,r) ein Kreis und T [mm] \in [/mm] g [mm] \cap [/mm] k. Zeigen Sie: g ist genau dann Tangente an k, wenn (MT) [mm] \perp [/mm] g.

Also ich hab mir mal ein paar Gedanken gemacht.
Währe schön, wenn mal jemand drüber schauen könnte.

Voraussetzungen:
-  g Gerade
-  k=k(M,r) Kreis
-  T [mm] \in [/mm] g [mm] \cap [/mm] k

Zu zeigen:
g Tangente an k [mm] \gdw [/mm] (MT) [mm] \perp [/mm] g

Beweis:

" [mm] \Rightarrow [/mm] "
Sei g Tangente an k [mm] \Rightarrwo [/mm] | g [mm] \cap [/mm] k | = 1 = T.
Wähle Punkte S und S´ mit [ST] [mm] \cong [/mm] [S´T], [MS] [mm] \cong [/mm] [MS´] und
Winkel (MST) [mm] \cong [/mm] Winkel(MS´T)
[mm] \Rightarrow \Delta [/mm] (SMT) [mm] \cong \Delta [/mm] (S´MT)
[mm] \Rightarrow [/mm] Winkel (MTS) [mm] \cong [/mm] Winkel (MTS´)
Dies sind Nebenwinkel, da sie kongruent sind, folgt, dass sie rechte Winkel sind.
[mm] \Rightarrow [/mm] (MT) [mm] \perp [/mm] g

" [mm] \Leftarrow [/mm] "
Es gelt (MT) [mm] \perp [/mm] g.
Zeige: T ist eindeutig und | g [mm] \cap [/mm] k | = 1.
1. Fall:
| g [mm] \cap [/mm] k | = [mm] \emptyset [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert kein T [mm] \in [/mm] g [mm] \cap [/mm] k   Widerspruch zur Voraussetzung
[mm] \Rightarrow [/mm] | g [mm] \cap [/mm] k | [mm] \not= \emptyset [/mm]
2. Fall:
| g [mm] \cap [/mm] k | [mm] \ge [/mm] 2
Das ist aber nicht möglich. Also | g [mm] \cap [/mm] k | = 2
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existieren 2 Punkte T, T´ [mm] \in [/mm] g [mm] \cap [/mm] k
Man fälle das Lot h von M auf g. Sei g [mm] \cap [/mm] h = R.
[mm] \to [/mm] R [mm] \not= [/mm] T [mm] \not= [/mm] T´und R [mm] \not\in [/mm] g [mm] \cap [/mm] k Wiederspruch zu der Voraussetzung
[mm] \Rightarrow [/mm] | g [mm] \cap [/mm] k | [mm] \not=2 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] | g [mm] \cap [/mm] k | = 1 = T
[mm] \Rightarrow [/mm] g ist Tangente an k                                           [mm] \Box [/mm]


Über Verbesserungsvorschläge würde ich mich freuen.


Ich habe diese Aufgabe in keinem andren Forum veröffentlicht.

        
Bezug
Tangente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Do 19.07.2007
Autor: leduart

Hallo
> Sei g eine Gerade, k=k(M,r) ein Kreis und T [mm]\in[/mm] g [mm]\cap[/mm] k.
> Zeigen Sie: g ist genau dann Tangente an k, wenn (MT) [mm]\perp[/mm]
> g.
>
> Also ich hab mir mal ein paar Gedanken gemacht.
>  Währe schön, wenn mal jemand drüber schauen könnte.
>  
> Voraussetzungen:
>  -  g Gerade
>  -  k=k(M,r) Kreis
>  -  T [mm]\in[/mm] g [mm]\cap[/mm] k
>  
> Zu zeigen:
>  g Tangente an k [mm]\gdw[/mm] (MT) [mm]\perp[/mm] g
>  
> Beweis:
>  
> " [mm]\Rightarrow[/mm] "
>  Sei g Tangente an k [mm]\Rightarrwo[/mm] | g [mm]\cap[/mm] k | = 1 = T.
>  Wähle Punkte S und S´ mit [ST] [mm]\cong[/mm] [S´T], [MS] [mm]\cong[/mm]
> [MS´] und
> Winkel (MST) [mm]\cong[/mm] Winkel(MS´T)

Wieso kannst du, ohne senkrecht vorrauszusetzen, beides wählen? das setzt doch schon vorraus, dass MT Mittelsenkrechte ist?
frei wählen kannst du entweder ST=S'T ODER MS=MS'!

>  [mm]\Rightarrow \Delta[/mm] (SMT) [mm]\cong \Delta[/mm] (S´MT)
>  [mm]\Rightarrow[/mm] Winkel (MTS) [mm]\cong[/mm] Winkel (MTS´)
>  Dies sind Nebenwinkel, da sie kongruent sind, folgt, dass
> sie rechte Winkel sind.
>  [mm]\Rightarrow[/mm] (MT) [mm]\perp[/mm] g
>  
> " [mm]\Leftarrow[/mm] "
>  Es gelt (MT) [mm]\perp[/mm] g.
>  Zeige: T ist eindeutig und | g [mm]\cap[/mm] k | = 1.
>  1. Fall:
>  | g [mm]\cap[/mm] k | = [mm]\emptyset[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert kein T [mm]\in[/mm] g [mm]\cap[/mm] k  Widerspruch
> zur Voraussetzung
>  [mm]\Rightarrow[/mm] | g [mm]\cap[/mm] k | [mm]\not= \emptyset[/mm]
>  2. Fall:
>  | g [mm]\cap[/mm] k | [mm]\ge[/mm] 2
>  Das ist aber nicht möglich. Also | g [mm]\cap[/mm] k | = 2
>  [mm]\Rightarrow[/mm] Es existieren 2 Punkte T, T´ [mm]\in[/mm] g [mm]\cap[/mm] k
>  Man fälle das Lot h von M auf g. Sei g [mm]\cap[/mm] h = R.
>  [mm]\to[/mm] R [mm]\not=[/mm] T [mm]\not=[/mm] T´und R [mm]\not\in[/mm] g [mm]\cap[/mm] k Wiederspruch
> zu der Voraussetzung

Das versteh ich nicht! wieso ist [mm] R\ne [/mm] T wegen MT senkrecht g ist R=T  [mm] R\ne [/mm] T'

>  [mm]\Rightarrow[/mm] | g [mm]\cap[/mm] k | [mm]\not=2[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] | g [mm]\cap[/mm] k | = 1 = T
>  [mm]\Rightarrow[/mm] g ist Tangente an k                            
>                [mm]\Box[/mm]
>  

Gruss leduart

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