Tangente < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | f(x) = [mm] \bruch{ln(x)^2}{x}
[/mm]
c)Für 1<x<e (Eulersche Zahl) bildet die Tangente an den Graphen von f durch P(x/f(x)) mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme x so, dass das Dreieck einen maximalen Flächeninhalt hat
|
Hallo Leute,
Ich muss ja erstmal die allgemeine Tangente untersuchen, sie geht also durch den [mm] P(x/\bruch{ln(x)^2}{x}), [/mm] weil ich ja die strecke der Koordinatenachse, des Dreiecks brauche für
A(x)=g*h/2
A'(x)=....
m=f'(x)
[mm] m=\bruch{2ln(x)-ln(x)^2}{x^2}
[/mm]
t(x)=mx+b
[mm] b=\bruch{2ln(x)^2-2ln(x)}{x}
[/mm]
Die Nullstelle wäre dann bei 0 = [mm] \bruch{ln(x)^2}{x}
[/mm]
Aber das kann ja nicht sein das jede Tangente durch 1/0 geht.
LG Daniel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
> f(x) = [mm]\bruch{ln(x)^2}{x}[/mm]
>
> c)Für 1<x<e (Eulersche Zahl) bildet die Tangente an den
> Graphen von f durch P(x/f(x)) mit den Koordinatenachsen ein
> Dreieck. Bestimme x so, dass das Dreieck einen maximalen
> Flächeninhalt hat
>
> Hallo Leute,
>
> Ich muss ja erstmal die allgemeine Tangente untersuchen,
> sie geht also durch den [mm]P(x/\bruch{ln(x)^2}{x}),[/mm] weil ich
> ja die strecke der Koordinatenachse, des Dreiecks brauche
> für
>
> A(x)=g*h/2
> A'(x)=....
>
> m=f'(x)
>
> [mm]m=\bruch{2ln(x)-ln(x)^2}{x^2}[/mm]
>
> t(x)=mx+b
>
> [mm]b=\bruch{2ln(x)^2-2ln(x)}{x}[/mm]
Ich musste lange grübeln. Du berechnest (allgemein) an einer bestimmten Stelle (UND DIE NENNEN WIR NICHT x, SONDERN [mm] x_0) [/mm] die Parameter der zugehörigen Tangentengleichung.
Für die an dieser Stelle angelegte Tangente gilt tatsächlich [mm]m=\bruch{2ln(x_0)-ln(x_0)^2}{x_0^2}[/mm]
und [mm]b=\bruch{2ln(x_0)^2-2ln(x_0)}{x_0}[/mm].
Aus t(x)=mx+b folgt dann also die Tangentengleichung
y=t(x)= [mm] \bruch{2ln(x_0)-ln(x_0)^2}{x_0^2}*x [/mm] + [mm] \bruch{2ln(x_0)^2-2ln(x_0)}{x_0}
[/mm]
Siehst du den Unterschied zwischen x und [mm] x_0?
[/mm]
Jetzt kannst du y Null setzen und nach x auflösen. Du erhältst dann eine Nullstelle x in Abhängigkeit von der gewählten Berührungsstelle [mm] x_0.
[/mm]
Junge, Junge, eine Stunde lang habe ich selbst an mir gezweifelt. Das war ein Brocken!
>
> Die Nullstelle wäre dann bei 0 = [mm]\bruch{ln(x)^2}{x}[/mm]
> Aber das kann ja nicht sein das jede Tangente durch 1/0
> geht.
>
> LG Daniel
|
|
|
| |
|
Hey...vielen Dank erstmal^^
Die Berührstelle nenne ich mal [mm] x_{b}
[/mm]
Das ist die Nullstelle(X-Achsenabschnitt)
[mm] x=\bruch{(-2ln(x_{b})+2)*x_{b}}{2-ln(x_{b})}
[/mm]
Der Y-Achsenabschnitt lautete ja:
[mm] y_{0}=\bruch{2ln(x_{b})^2-2ln(x_{b})}{x_{b}}
[/mm]
Nun setze ich die Nullstelle und den y-Achsenabschnitt in die Zielfunktion
[mm] A=\bruch{X-Achsenabschnitt*Y-Achsenabschnitt}{2}
[/mm]
Dann komme ich auf
[mm] A(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{-4ln(x_{b})*(ln(x_{b})^2-2ln(x_{b})+1)}{2-ln(x_{b})}
[/mm]
Ist die Zielfunktion jetzt richtig oder habe ich irgendwelche Fehler?
Natürlich werde ich diese Funktion jetzt erstmal ableiten und auf den Hochpunkt untersuchen.
Vielen Danke, wenn sich das jemand anschaut :)
Lg, Daniel
|
|
|
| |
|
Ja, alle Ergebnisse sind richtig.
Du kannst deine A(x)-Funktion (die im Übrigen, wenn sie schon A(x) heißt, auch rechts x stehen haben muss und keine [mm] x_{b} [/mm]  ), noch ein wenig vereinfachen (der rechte Faktor im Nenner ist eine binomische Formel):
[mm]A(x) = \bruch{2*ln(x)*((ln(x) - 1)^{2}}{ln(x)-2}[/mm]
|
|
|
| |
|
Dankee :)
Eigentlich soll ich ja komplett A(x) ableiten aber irgendwie scheiters schon beim Zähler bei mir, obwohl ich mir relativ sicher bin...Mein Plotter sagt "falschhh"^^
[mm] -2ln(x)*(ln(x)-1)^2
[/mm]
f'(x)=u*v
[mm] u'=\bruch{-2}{x} [/mm]
[mm] v'=\bruch{2(ln(x)-1)}{x}
[/mm]
u'v*v'u eingesetz ergibt relativ schnell
[mm] f'(x)=\bruch{2ln(x)^2-2}{x}
[/mm]
Diese Ableitung geht zwar durch eine Extremstelle des Zählerpolynom jedoch besitzt diese 2 Extremstellen ingesamt.
Also muss irgendwas falsch sein =(
Lg, daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Mir deucht, Du fasst hier falsch zusammen, da ich doch etwas sehr anderes erhalte ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
Oh gott....
ich hab mit u'v-v'u gerechnet -.-
Voll verpeilt....man :(
Lg
|
|
|
| |
|
Sooo, Endrunde!!!!!! :D
Ich sitzt schon viel zulange an der Aufgabe, aber sie möchte mich nich loslassen....Also meine Ableitung von A(x)
[mm] A'(x)=\bruch{\bruch{4ln(x)^3-16ln(x)^2+16ln(x)-4}{x}}{4-ln(x)^2}
[/mm]
Laut Plotter könnte die zu 90% (würde ich mal schätzen) richtig sein.
Mit dem newtonischen Annäherungsverfahren kann ich jetzt die Nullstellen bestimmen,....es war ja sogar vorgegeben dass diese bei 1<x<e liegt.
[mm] x_{b}=1,468 [/mm]
Damit hätte das Dreieck also die maximale Fläche, richtig?
Ich hoffe und wünsche mir jetzt einfach nur noch ein "Jaa" :)
Schönen Abend euch noch, Daniel
|
|
|
| |
|
Jaaaaaaaaaaaaaaa, fast!
Du hast sicher voller Übermut dann beim Ausklammern des [mm] v^{2} [/mm] der Quotientenregel die binomische Formel vergessen
[mm]
A'(x)=\bruch{\bruch{4ln(x)^3-16ln(x)^2+16ln(x)-4}{x}}{(2-ln(x))^2}
[/mm]
[mm]
\gdw A'(x)=\bruch{4ln(x)^3-16ln(x)^2+16ln(x)-4}{x*(4-4*ln(x)+ln(x)^{2})}
[/mm]
Das Ergebnis ist aber dasselbe, da beim = 0 setzen der Nenner nicht interessiert: Glück gehabt
Die exakten Lösungen der Gleichung sind übrigens:
[mm]
e = 2.7183
e^{\bruch{3}{2}+\bruch{1}{2}*\wurzel{5}} = 13.708
e^{\bruch{3}{2}-\bruch{1}{2}*\wurzel{5}} = 1.4652
[/mm]
Wobei die ersten beiden aber nicht im Intervall (1,e) liegen.
|
|
|
| |
|
Super danke!...
Ja, ich hab im Nenner das Binom etwas verschlampt ;)
Ich hätte da nur noch 2 kleine Fragen.
Wie kommts du an so exakte Werte, ich kann das nur so halbwegs mit dem Newtonschen Annäherungsverfahren machen?
Und wieso kann man die Variable x, die bei mir im Zähler steht in den Nenner aufeinmal schieben, wie ist das möglich^^?
Naja gute Nacht wünsch ich euch^^...Ich kann nich mehr^^....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
ahh hilfe....tut mir leid....
die Frage nach dem x musst du mir verzeihen.. :)
Bin soeben dahinter gekommen, dass man einfach nur multipliziert, lol
ich lern nur schon seit halb 3 mathe und ich bin jetzt ein wenig verpeilt gewesen xD
Ok...ähm tuen wir einfach mal so als ob ich nich gefragt hätte :D
SRY
|
|
|
| |
|
Ich mach' kein Geheimnis draus: Ich benutze Maple (Ein Computer-System, das Gleichungen und viel mehr von alleine lösen kann)! Allerdings kann man die Gleichung relativ einfach auch so lösen:
Substituiere einfach ln(x) = s, dann kommst du auf die Gleichung
[mm]
4*s^{3} - 16*s^{2} + 16*s - 4 = 0
\gdw
s^{3} - 4*s^{2} + 4*s - 1 = 0
[/mm]
Entweder man sieht's. oder man gibts mal in den Taschenrechner ein: Eine Lösung ist s = 1; also hat das Polynom den Linearfaktor (s-1), den man mit Hilfe von Polynomdivision ausklammern kann. (und dann im weiteren nur noch den zweiten Faktor zu betrachten brauch)
[mm]
\gdw
(s-1)*(s^{2} - 3s +1) = 0
[/mm]
Die quadratische Gleichung hat die im vorherigen Beitrag stehenden Lösungen.
Auf die Lösungen für s kommt man (man hat ja bis jetzt nur Lösungen für s), indem man die Substitution nach x umformt:
[mm]
ln(x) = s \gdw x = e^{s}
[/mm]
Nun setzt man einfach seine Lösungen für s ein und kommt auf die Lösungen von x.
Wegen dem Bruch: Du hast einen Bruch der Form:
[mm] \bruch{\left(\bruch{a}{b}\right)}{c}, [/mm] also praktisch teilst du erst a durch b und dann das Ergebnis nochmal durch c. Da kannst du ja auch gleich a durch b*c teilen!
Es ist also:
[mm] \bruch{\left(\bruch{a}{b}\right)}{c} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b*c}
[/mm]
Im Gegensatz dazu geht es natürlich nicht wenn dasteht:
[mm] \bruch{a}{\left(\bruch{b}{c}\right)}, [/mm] denn da gilt immer noch:
[mm] \bruch{a}{\left(\bruch{b}{c}\right)} [/mm] = [mm] \bruch{a*c}{b}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
Tausend Dank :)
*freu*
|
|
|
|
