Tangente an Kreis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist der Kreis
k: (x+3)²+y²=85
1) Lege von Q aus die Tangente an k
Q (17/5)
2) Ermittle Tangenten aus Q, die Parallel zu g verlaufen.
g: 9x+2y=0 |
Nun ist mein erstes Problem, wie ich mir den Kreismittelpunkt berechne, da ich diesen benötige, damit ich mir die Tangenten berechnen zu können. Es ist mir wirklich peinlich, doch wie komme ich nun auf den Kreismittelpunkt?
2) Glaube ich wie folgt lösen zu können:
g: 9x+2y=0
Q (17/5)
Bei Parallelen Geraden ist die Steigung ja gleich.
y=-4,5x
Wie kann ich jedoch eine parallele Tangente aufstellen, wenn sich g und die Tangente aus P wohl unweigerlich schneiden müssten, um Parallel zu sein, oder?
Bitte um Hilfe, ich habe leider echt so gut wie keine Ahnung.
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Hallo MatmematikLosser,
> Gegeben ist der Kreis
> k: (x+3)²+y²=85
>
> 1) Lege von Q aus die Tangente an k
> Q (17/5)
> 2) Ermittle Tangenten aus Q, die Parallel zu g verlaufen.
> g: 9x+2y=0
> Nun ist mein erstes Problem, wie ich mir den
> Kreismittelpunkt berechne, da ich diesen benötige, damit
> ich mir die Tangenten berechnen zu können. Es ist mir
> wirklich peinlich, doch wie komme ich nun auf den
> Kreismittelpunkt?
>
Die allgemeine Kreisgleichung lautet:
[mm]\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}=r^{2}[/mm]
wobei
[mm]\left(x_{m}|y_{m}\right)[/mm] der Kreismittelpunkt,
r der Radius des Kreises
bedeuten.
> 2) Glaube ich wie folgt lösen zu können:
> g: 9x+2y=0
> Q (17/5)
>
> Bei Parallelen Geraden ist die Steigung ja gleich.
> y=-4,5x
> Wie kann ich jedoch eine parallele Tangente aufstellen,
> wenn sich g und die Tangente aus P wohl unweigerlich
> schneiden müssten, um Parallel zu sein, oder?
>
> Bitte um Hilfe, ich habe leider echt so gut wie keine
> Ahnung.
>
Gruss
MathePower
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Das bedeutet M=(-3/-1)
Die Tangente geht durch den Punkt Q(17/5)
y=k*x+d
5=k*17+d
d=5-17k
Die Berührungsbedingungen für den Kreis lauten ja
[mm] (uk-v+d)^2=r^2*(k^2+1)
[/mm]
[mm] (-3k+1+d)^2=85*(k^2+1)
[/mm]
Nun das d aus der 1. Gleichung einsetzen:
[mm] (-3k+1+5-17k)^2=85*(k^2+1)=> (-20k+6)^2=85*(k^2+1)
[/mm]
[mm] 400k^2-240k+36=85k^2+85
[/mm]
[mm] 315k^2-240k-49=0
[/mm]
Und dann die große Lösungsformel andwenden, um das k (Steigung) zu berechnen oder?
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Hallo MathematikLosser,
> Das bedeutet M=(-3/-1)
Das stimmt nicht.
> Die Tangente geht durch den Punkt Q(17/5)
> y=k*x+d
>
> 5=k*17+d
> d=5-17k
>
> Die Berührungsbedingungen für den Kreis lauten ja
> [mm](uk-v+d)^2=r^2*(k^2+1)[/mm]
> [mm](-3k+1+d)^2=85*(k^2+1)[/mm]
> Nun das d aus der 1. Gleichung einsetzen:
>
> [mm](-3k+1+5-17k)^2=85*(k^2+1)=> (-20k+6)^2=85*(k^2+1)[/mm]
>
> [mm]400k^2-240k+36=85k^2+85[/mm]
> [mm]315k^2-240k-49=0[/mm]
>
> Und dann die große Lösungsformel andwenden, um das k
> (Steigung) zu berechnen oder?
Setze ich y=k*x+d mit d=5-17k in die Kreisgleichung ein,
so komme ich auf eine andere Bedingung, die Du berechnet hast.
Gruss
MathePower
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Heißt dass nun, dass meine Überlegung nicht stimmt? Wie berechne ich mir aber die Tangenten ansonsten?
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Hallo MathematikLosser,
> Heißt dass nun, dass meine Überlegung nicht stimmt? Wie
> berechne ich mir aber die Tangenten ansonsten?
Zunächst stimmt ja nur der Kreismittelpunkt nicht.
Gruss
MathePower
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M = (-3/0)
5=k*17+d
d=5-17k
$ [mm] (uk-v+d)^2=r^2\cdot{}(k^2+1) [/mm] $
[mm] (-3k+5-17k)^2=85*(k^2+1)
[/mm]
[mm] (-20k+5)^2=85k^2+1
[/mm]
[mm] 400k^2-200k+25=85k^2+1
[/mm]
[mm] 315k^2-200k-60=0
[/mm]
[mm] k1=-\bruch{2}{9}
[/mm]
[mm] k2=\bruch{6}{7}
[/mm]
[mm] d1=5-\bruch{-2}{9}*17
[/mm]
d1=8,7777....
[mm] d2=5-\bruch{6}{7}*17
[/mm]
d2=-9,5715428571
t1: [mm] y=\bruch{-2}{9}*x+8,7777...
[/mm]
t2: [mm] y=\bruch{6}{7}*x-9,5715428571
[/mm]
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Hallo MathematikLosser,
> M = (-3/0)
> 5=k*17+d
> d=5-17k
>
> [mm](uk-v+d)^2=r^2\cdot{}(k^2+1)[/mm]
>
> [mm](-3k+5-17k)^2=85*(k^2+1)[/mm]
> [mm](-20k+5)^2=85k^2+1[/mm]
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> [mm]400k^2-200k+25=85k^2+1[/mm]
> [mm]315k^2-200k-60=0[/mm]
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> [mm]k1=-\bruch{2}{9}[/mm]
> [mm]k2=\bruch{6}{7}[/mm]
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> [mm]d1=5-\bruch{-2}{9}*17[/mm]
> d1=8,7777....
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> [mm]d2=5-\bruch{6}{7}*17[/mm]
> d2=-9,5715428571
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> t1: [mm]y=\bruch{-2}{9}*x+8,7777...[/mm]
> t2: [mm]y=\bruch{6}{7}*x-9,5715428571[/mm]
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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