Tangente an Kurve < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Do 26.07.2007 | | Autor: | JB84 |
| Aufgabe | [mm] \gamma: \mapsto \vektor{x_{1}(t) \\ x_{2}(t) }= \vektor{t*(1-t^2)^2 \\ 1-t^2 }
[/mm]
Berechnen Sie die Tangente an die Kurve für t= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] |
Hallo
Hab gerade versucht, eine allgemeine Tangentengleichung für diesen Typ von Kurven herzuleiten, und wollte nachfragen ob diese Gleichung wirklich allgemein gültig ist.
meine Lösung:
[mm] y=x_{2}(t_{0})+m(x-x_{1}(t_{0}))
[/mm]
wobei
[mm] m=x_{2} [/mm] von [mm] \gamma^' [/mm] wenn [mm] x_{1} [/mm] = 1
Wie löst man das sonst? Wie wäre es, wenn die Parametrisierung 3 Komponenten hätte?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\gamma: \mapsto \vektor{x_{1}(t) \\ x_{2}(t) }= \vektor{t*(1-t^2)^2 \\ 1-t^2 }[/mm]
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> Berechnen Sie die Tangente an die Kurve für t=
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Hallo
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> Hab gerade versucht, eine allgemeine Tangentengleichung für
> diesen Typ von Kurven herzuleiten, und wollte nachfragen ob
> diese Gleichung wirklich allgemein gültig ist.
>
> meine Lösung:
>
> [mm]y=x_{2}(t_{0})+m(x-x_{1}(t_{0}))[/mm]
>
> wobei
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> [mm]m=x_{2}[/mm] von [mm]\gamma^'[/mm] wenn [mm]x_{1}[/mm] = 1
Ich denke, dies ist richtig - bei geeigneter Interpretation Deiner "wobei m=..." Klausel.
> Wie löst man das sonst?
Allgemein kann man bei einer Kurve in Parameterform die Tangentengleichung in der Parameterform praktisch ohne jede Detailrechnung einfach so hinschreiben:
[mm]t_{t_0}:\, \lambda\mapsto \vektor{x_1(t_0)\\x_2(t_0)}+\lambda \vektor{x'_1(t_0)\\x'_2(t_0)}, \;\;\lambda \in\IR[/mm]
Im wesentlichen dasselbe kannst Du im [mm] $\IR^3$ [/mm] machen: Du schreibst einfach eine dritte Koordinate dazu:
[mm]t_{t_0}:\, \lambda\mapsto \vektor{x_1(t_0)\\x_2(t_0)\\ x_3(t_0)}+\lambda \vektor{x'_1(t_0)\\x'_2(t_0)\\x'_3(t_0)}, \;\;\lambda \in\IR[/mm]
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] hast Du dann die Möglichkeit (sofern die Tangente im Punkt [mm] $(x_1(t_0)\mid x_2(t_0))$ [/mm] nicht gerade zur $x$-Achse senkrecht steht), diese Tangentengleichung in Parameterform auf die sogenannte "explizite" Form $y=mx+q$ bzw. die "Punkt-Steigungsform" [mm] $y=m(x-x_0)+y_0$ [/mm] zu bringen: und dies scheint zu sein, was Du oben gemacht hast.
> Wie wäre es, wenn die
> Parametrisierung 3 Komponenten hätte?
Im [mm] $\IR^3$ [/mm] gibt es keine explizite Form der Geradengleichung mehr: Du musst in diesem Falle einfach bei der Parameterform der Tangentengleichung bleiben (siehe oben).
Ich würde an Deiner Stelle generell bei der Parameterform der Tangentengleichung bleiben: es sei denn, ich hätte einen ganz konkreten Grund, den zusätzlichen Aufwand zu treiben, auf die im 2-dimensionalen Fall mögliche explizite Form zu transformieren.
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