Tangente u. Extremwertaufgabe. < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Do 27.10.2005 | | Autor: | Norman |
Gegeben habe ich eine Funktion [mm] f_{t}(x)=(x+t) e^{-x} [/mm] (t>0)
Ich soll nun die Gleichung der Wendetangente von [mm] f_{t} [/mm] bestimmen.
Diese bildet dann im 1 Quadranten mit den Koordinaten eine Dreiecksfläche B.
Für welchen Wert von t ist der Inhalt Maximal.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Den Wendepunkt dieser Funktion habe ich bereits , er lautet [mm] W(2-t|2e^{-2+t})
[/mm]
Nun ist ja die erste Ableitung der Funktion gleich der Anstieg der Tangente.
Also müsste der Anstieg in diesem Fall [mm] e^{-x}(1-t-x) [/mm] sein.
Dann würde die Gleichung so aussehen : [mm] t=(e^{-x}(1-t-x))x+n [/mm] .
Ich muss ja nun den Wendepunkt einsetzten also für [mm] t=2e^{-2+t} [/mm] und für x= 2-t.
Meine Frage, muss ich für alle x die Werte einsetzten oder nur für das x das am Ende der Klammer steht , weil es ja heist t=mx+n?
Zur Extremwertaufgabe , die Formel für den Flächeninhalt ist ja klar , und auch die eine Seite des Dreiecks ist einfach da es ja der Schnittpunkt mit der Y-Achse ist. Aber wie berechne ich die andere Seite und wie zeige ich das es maximal und nicht minimal wird?
Gruß
Norman
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Do 27.10.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Norman,
> Gegeben habe ich eine Funktion [mm]f_{t}(x)=(x+t) e^{-x}[/mm]
> (t>0)
>
> Ich soll nun die Gleichung der Wendetangente von [mm]f_{t}[/mm]
> bestimmen.
> Diese bildet dann im 1 Quadranten mit den Koordinaten eine
> Dreiecksfläche B.
> Für welchen Wert von t ist der Inhalt Maximal.
>
> Den Wendepunkt dieser Funktion habe ich bereits , er lautet
> [mm]W(2-t|2e^{-2+t})[/mm]
>
> Nun ist ja die erste Ableitung der Funktion gleich der
> Anstieg der Tangente.
> Also müsste der Anstieg in diesem Fall [mm]e^{-x}(1-t-x)[/mm]
> sein.
Hier solltest du unbedingt schon deinen Wert für die Wendestelle einsetzen, sonst bekommst du genau die Probleme, die du beschrieben hast. Die Steigung der Wendetangente ist:
[mm] f'(2-t) = e^{t-2}(1-t-2+t) = e^{t-2}(-1) = - e^{t-2} [/mm]
also gilt für die Tangentengleichung:
[mm] y = -e^{t-2}x + n [/mm]
Jetzt setzt du für x und y die Koordinaten von W ein und bestimmst n.
> Dann würde die Gleichung so aussehen :
> [mm]t=(e^{-x}(1-t-x))x+n[/mm] .
> Ich muss ja nun den Wendepunkt einsetzten also für
> [mm]t=2e^{-2+t}[/mm] und für x= 2-t.
> Meine Frage, muss ich für alle x die Werte einsetzten oder
> nur für das x das am Ende der Klammer steht , weil es ja
> heist t=mx+n?
Ich denke, jetzt findest du selber die Antwort, oder?
>
> Zur Extremwertaufgabe , die Formel für den Flächeninhalt
> ist ja klar , und auch die eine Seite des Dreiecks ist
> einfach da es ja der Schnittpunkt mit der Y-Achse ist. Aber
> wie berechne ich die andere Seite
die andere Seite bekommst du über den Schnittpunkt der Wendetangente mit der x-Achse.
> und wie zeige ich das es
> maximal und nicht minimal wird?
Die Flächeninhaltsfunktion ist ja eine Funktion von t. Also nach t ableiten, die Nullstelle der Ableitungsfunktion bestimmen und mit der 2. Ableitung, prüfen, ob es eine Extremum ist und wenn ja, welches.
Gruß
Sigrid
>
> Gruß
> Norman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 27.10.2005 | | Autor: | Norman |
Muss ich nicht mit der 2 Ableitung prüfen ob ein Extremum vorliegt?
Meine Gleichung sieht jetzt so aus A(t) = 2 [mm] e^{-2+t}- \bruch{t}{2}e^{-2+t}.
[/mm]
Wie soll ich denn das jetzt ableiten??
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Hallo Norman,
> Muss ich nicht mit der 2 Ableitung prüfen ob ein Extremum
> vorliegt?
Ja.
>
> Meine Gleichung sieht jetzt so aus A(t) = 2 [mm]e^{-2+t}- \bruch{t}{2}e^{-2+t}.[/mm]
Ich hab eine andere Gleichung heraus, die da lautet: A(t)*(4-t)
>
> Wie soll ich denn das jetzt ableiten??
>
>
Wie sonst auch.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Do 27.10.2005 | | Autor: | Norman |
Na den Flächeninhalt berechnet man ja mit A= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] a*b.
Die Seite a des Dreiecks ist dann bei mir [mm] a=e^{-2+t}(4-t) [/mm] , die Seite b=4-t , was dann [mm] A(t)=\bruch{1}{2}e^{-2+t} [/mm] (4-t)² ergibt , oder mache ich irgendwas falsch?
Gruß
Norman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Do 27.10.2005 | | Autor: | bob05 |
> was dann [mm]A(t)=\bruch{1}{2}e^{-2+t}[/mm] (4-t)² ergibt
Jetzt ist die Gleichung richtig.
Deine Gleichung im vorherigen Post war jedoch:
> > Meine Gleichung sieht jetzt so aus A(t) = 2 [mm]e^{-2+t}- \bruch{t}{2}e^{-2+t}.[/mm]
= [mm] (2-\bruch{t}{2})e^{-2+t} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(4-t)e^{-2+t}
[/mm]
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