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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 So 24.09.2006 | | Autor: | Lijana |
| Aufgabe | | Bestimme die Gleichung der Tangente an f(x)= x², die durch den Punkt (2,-5) verläuft |
Wir haben dafür immer die Gleichung t: [mm] y-y_{0}= m(x-x_{0})Da [/mm] derPunkt ja nicht auf der Funktion liegt kann man ihn ja nicht ohne weiteres in die Gleichung einsetzen.. Deshalb würde ich für y ersteinmal die Funtion einsetzen. ja aber was muss ich dann für m und x einsetzen? da weis ich gerade nicht mehr weiter.
Danke schonmal für eure Hilfe
Ich habe die Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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[mm] \mbox{Hi,}
[/mm]
[mm] \mbox{Dass die Koord. des Punktes nicht die Gleichung der Parabel erfüllen, ist richtig,}
[/mm]
[mm] \mbox{doch sie erfüllen die Gleichung der Tangente:}$ [/mm] y=mx+n $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] -5=2m+n [mm] \gdw [/mm] -5-2m=n [mm] \Rightarrow [/mm] y=mx-5-2m $
[mm] \mbox{Jetzt kannst du die Gleichung der Parabel mit der Tangentengleichung gleichsetzen:}
[/mm]
[mm] x^2=mx-5-2m
[/mm]
[mm] \gdw x^2-mx+5+2m=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{1;2}=\bruch{m}{2}\pm\wurzel{\bruch{m^2}{4}-5-2m}
[/mm]
[mm] \mbox{Du willst ja eine Tangente bestimmen. Das heißt, es darf nur einen Schnittpunkt mit dem Graphen geben.}
[/mm]
[mm] \mbox{Folge: Die Diskriminante muss = 0 sein (Klar warum?).}
[/mm]
[mm] \bruch{m^2}{4}-5-2m=0
[/mm]
[mm] \gdw m^2-20-8m=0
[/mm]
[mm] m_{1;2}=4\pm\wurzel{16+20}
[/mm]
[mm] \gdw m_{1}=10 \vee m_{2}=-2
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_{1}=10x+n \wedge y_{2}=-2x+n
[/mm]
[mm] \mbox{Die Gleichung des Punktes muss ja immer noch die Gleichungen der (mittlerweile) zwei herausbekommenen Tangenten erfüllen.}
[/mm]
$P [mm] \in G_{y_{1}} \wedge [/mm] P [mm] \in G_{y_{2}}$
[/mm]
$-5=10*2+n [mm] \Rightarrow y_{1}=10x-25 \wedge [/mm] -5=-2*2+n [mm] \Rightarrow y_{2}=-2x-1$
[/mm]
[mm] \mbox{Das wär's auch schon. Noch Fragen?}
[/mm]
[mm] \mbox{Viele Grüße,}
[/mm]
[mm] \mbox{Stefan.}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Ljana,
> Bestimme die Gleichung der Tangente an f(x)= x², die durch
> den Punkt (2,-5) verläuft
> Wir haben dafür immer die Gleichung t: [mm]y-y_{0}= m(x-x_{0})Da[/mm]
> derPunkt ja nicht auf der Funktion liegt kann man ihn ja
> nicht ohne weiteres in die Gleichung einsetzen.. Deshalb
> würde ich für y ersteinmal die Funtion einsetzen. ja aber
> was muss ich dann für m und x einsetzen? da weis ich gerade
> nicht mehr weiter.
Einen für quadratische Funktionen sehr eleganten Ansatz hat dir Stafan ja bereits gegeben.
Eine Alternative ist die folgende:
Duhast ja bereits die Geradengleichung:
[mm]y-y_{0}= m(x-x_{0}) [/mm]
Also brauchst du drei Gleichungen, um m, [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] zu bestimmen:
I $ m = [mm] f'(x_0) [/mm] $
II $ [mm] y_0 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] $
III $ -5 - [mm] y_0 [/mm] = m (2 - [mm] x_0) [/mm] $ Da der Punkt (2;-5) auf der Tangente liegt.
Gruß
Sigrid
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> Danke schonmal für eure Hilfe
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> Ich habe die Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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