Tangenten < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für welche a [mm] \in \IR [/mm] hat der Graph mehrere, eine oder keine waagerechte Tangente? Beschreiben sie jeweils den typischen Verlauf des Graphen!
a) [mm] f(x)=x^{3}-ax
[/mm]
b) [mm] f(x)=x^{4}+ax^{2}
[/mm]
c) [mm] f(x)=\bruch{1}{3}*x^{3}+x^{2}+ax [/mm] |
Hi,
stehe bei dem ersten Teil der aufgabenstellung leicht auf dem Schlauch, kann mir vll jemand weiterhelfen? Eine Anregung, oder Vorrechnung einer der Aufgaben würde genügen.
Vielen dank
|
|
| |
|
Hallo eXeQteR,
> Für welche a [mm]\in \IR[/mm] hat der Graph mehrere, eine oder keine
> waagerechte Tangente? Beschreiben sie jeweils den typischen
> Verlauf des Graphen!
>
Woran erkennt man Punkte auf dem Graphen mit waagerechter Tangente?
Richtig: das hat etwas mit der Steigung und der ersten Ableitung zu tun...
> a) [mm]f(x)=x^{3}-ax[/mm]
Was siehst du denn, wenn du hier die 1. Ableitung bildest?
Wie beeinflusst das a die Steigung?
> b) [mm]f(x)=x^{4}+ax^{2}[/mm]
> c) [mm]f(x)=\bruch{1}{3}*x^{3}+x^{2}+ax[/mm]
> Hi,
>
> stehe bei dem ersten Teil der aufgabenstellung leicht auf
> dem Schlauch, kann mir vll jemand weiterhelfen? Eine
> Anregung, oder Vorrechnung einer der Aufgaben würde
> genügen.
>
Gruß informix
|
|
|
| |
|
Hi,
dass es etwas mit den Extrempunkten zu tun ist mir auch schon eingefallen. Und dass die Extremstellen Nullstellen der ersten Ableitung sind ist mir auch bekannt. Wenn ich das jetzt auf a) anwende komme ich auf:
[mm] f'(x)=3x^{2}-a
[/mm]
Ich denke mal, da es sich beim Graphen der ersten Ableitung um eine Parabel handelt, gibt das a an inwiefern die Parabel nach links oder rechts verschoben ist. So und jetzt komm ich nicht weiter...
Bis denn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Di 05.12.2006 | | Autor: | MontBlanc |
Hi nochmal,
wenn ich jezz f'(x)=0 ausrechne komme ich auf:
[mm] x_1=\bruch{1}{3}*\wurzel{3a} [/mm] und [mm] x_2=-\bruch{1}{3}*\wurzel{3a}
[/mm]
Wenn ich jetzt für a was negatives einsetze, dann gibt es keine waagerechte Tangente, wenn ich für a null einsetze gibt es genau eine, da es sich dann um [mm] f(x)=x^{3} [/mm] handelt. Setze ich für was positives ein erhalte ich 2 waagerechte Tangenten.
Für b) habe ich das auch hinbekommen.
aber bei c) hakts dann.
Bis denn
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hi nochmal,
>
> wenn ich jezz f'(x)=0 ausrechne komme ich auf:
>
> $ x_1=\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel{3a} $ und $ x_2=-\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel{3a} $
>
$\rmfamily \text{Das glaub' ich nicht, dass du diese Ergebnisse hast (hoff' ich zumindest ;)).$
$\rmfamily f_{a}'(x)=0 \gdw 3x^2-a=0 \gdw x_{1;2}=\pm\wurzel{\bruch{\red{a}}{3}}$
> Wenn ich jetzt für a was negatives einsetze, dann gibt es keine
> waagerechte Tangente, wenn ich für a null einsetze gibt es genau
> eine, da es sich dann um $ f(x)=x^{3} $ handelt. Setze ich für was
> positives ein erhalte ich 2 waagerechte Tangenten.
>
$\rmfamily \text{Die Begründungen sind richtig.}$
> Für b) habe ich das auch hinbekommen.
>
> aber bei c) hakts dann.
>
$\rmfamily \text{Wo hakt's denn genau?}$
> Bis denn
$\rmfamily \text{Stefan.}$
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Di 05.12.2006 | | Autor: | MontBlanc |
Hey,
glaube, dass [mm] \wurzel{\bruch{a}{3}} [/mm] das gleich is wie mein ergebnis. Zumindest sagen das Derive und mein TR.
Bei c hakts insofern, als dass ich nicht weiß welche wertw von a ich einsetzen muss um herauszufinden wieviele tangenten es gibt.
Bis denn
|
|
|
| |
|
> Hey,
>
> glaube, dass [mm]\wurzel{\bruch{a}{3}}[/mm] das gleich is wie mein
> ergebnis. Zumindest sagen das Derive und mein TR.
>
[mm] $\rmfamily \text{Du hast recht, nach genauerem Hinschauen sieht man, dass es dasselbe ist.}$
[/mm]
> Bei c hakts insofern, als dass ich nicht weiß welche wertw
> von a ich einsetzen muss um herauszufinden wieviele
> tangenten es gibt.
>
> Bis denn
[mm] $\rmfamily \bruch{1}{3}x^3+x^2+ax=0 \gdw x\left(\bruch{1}{3}x^2+x+a\right)=0 \gdw x_{1}=0 \vee \bruch{1}{3}x^2+x+a=0 \gdw \quad \sim \quad \vee \quad x^2+3x+3a=0 \gdw \quad \sim \quad \vee \quad x_{2;3}=-1\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{9}{4}-3a}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Es gibt genau eine waagerechte Tangente, wenn der qudratische Teil nicht reell definiert ist. Wann ist er das?}$
[/mm]
[mm] $\rmfamiliy \text{Das weißt du. Es gibt zwei Tangenten, wenn es die Stelle } x_{1}=0 \text{ und im quadratischen Teil nur eine}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Lösung gibt. Wann ist das der Fall?}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hi,
wieso löst du hier die ausgangsgleichung auf und nicht die ableitung ? Ist das noch eine neue Möglichkeit, das ganze zu machen ?
Wenn ich das über die ableitung mache, dann komme ich auf f'(x)=0 [mm] x_1=-1-\wurzel{1-a} [/mm] und [mm] x_2=-1+\wurzel{1-a}.
[/mm]
So und jetzt müsste es so gehen wie bei den anderen aufgaben, nur welche werte muss ich nehmen ?? Wonach muss ich schauen um die werte auszusuchen? Welches Kriterium gilt es hier zu erfüllen um null, eine oder mehrere Tangenten zu haben ?
Bis denn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Di 05.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Stefan hatte sich vertan, du hast recht.
wenn die wurzel 0 ist gibts nur 1 Tangente.
Wenn 1-a>0 2Tang. d.h.a<1 und a>1 keine.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hi,
ein Problem habe ich noch (leider), wie kommt man darauf ? Ist das einfach nur probieren ? bei a) wars mir auf einmal völlig klar, aber jetzt weiß ichs auf einmal nicht mehr =(. Was sagen mir die Nullstellen der ersten Ableitung, ausser, dass dort extremstellen der ausgangsfunktionen sind ?
Bis denn
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> ein Problem habe ich noch (leider), wie kommt man darauf ?
> Ist das einfach nur probieren ? bei a) wars mir auf einmal
> völlig klar, aber jetzt weiß ichs auf einmal nicht mehr =(.
> Was sagen mir die Nullstellen der ersten Ableitung, ausser,
> dass dort extremstellen der ausgangsfunktionen sind ?
>
> Bis denn
[mm] $\rmfamily \text{T'schuldige, war ein Flüchtigkeitsfehler meinerseits, natürlich musst du die Nullstellen der ersten Ableitung be-}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{trachten. Sehr viel mehr sagen sie eigentlich gar nicht aus -- du musst hier vielmehr den Parameter }a\text{ be-}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{trachten; Gibt es Werte für }a\text{, wo zwei Nullstellen in ihren x-Werten übereinstimmen? Dann ist es eine}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{doppelte Nullstelle, und somit verringert sich die Anzahl der Stellen, an denen der Graph die Steigung 0 hat um}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{1. Für welches }a \text{ gibt es bei Aufgabe c) denn nur eine doppelte Nullstelle (die Terme unter der Wurzel müs-}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{sen 0 ergeben, da zwei verschiedene Zahlen nur bei }\pm\wurzel{0}\text{ ein- und dieselbe Zahl ergeben)?}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Di 05.12.2006 | | Autor: | MontBlanc |
Hey,
ich denke jetzt hab ichs.
Vielen dank für eure Hilfe.
Bis demnächst
|
|
|
|
