Tangenten und Normalen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wer kann mir bitte bei folgender Aufgabe helfen:
Bestimmen sie die Gleichungen der Tangente und der Normale an den Graphen von f im Punkt PєG(f).
f(x)=x+2*sinx ; P(¼π/?) |
stimmt es wenn ich die steigung der tangente so berechne: f'(x)=(f(¼π)-0)/(¼π-x) ?
danke schonmal an die die mir weiter helfen können!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wer kann mir bitte bei folgender Aufgabe helfen:
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> Bestimmen sie die Gleichungen der Tangente und der Normale
> an den Graphen von f im Punkt PєG(f).
> f(x)=x+2*sinx ; P(¼π/?)
> stimmt es wenn ich die steigung der tangente so berechne:
> f'(x)=(f(¼π)-0)/(¼π-x) ?
Nein. Was machst Du da ?
Die Steigung der Tangente ist gegeben durch
[mm] $f'(\bruch{\pi}{4})$
[/mm]
FRED
> danke schonmal an die die mir weiter helfen können!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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also ist es dann f'(¼π)=(f(¼π)-0)/(¼π-x)?
und wie berechne ich dann daraus die Normale?
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Hallo,
> also ist es dann f'(¼π)=(f(¼π)-0)/(¼π-x)?
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das ist zum einen kaum lesbar; nutze den Formeleditor, da sind alle Formeln, die du benötigst.
Einfach draufklicken, dann wird angezeigt, wie du es eingeben musst.
Zum anderen ist doch [mm]f(x)=x+2\sin(x)[/mm] gegeben.
Das kannst du doch ohne Differenzenquotienten einfach mit der Summenregel ableiten ...
Dann [mm]x=\frac{\pi}{4}[/mm] einsetzen ...
>
> und wie berechne ich dann daraus die Normale?
Die Normale steht senkrecht auf der Tangente.
Es gibt eine Formel, die die Steigungen zweier senkrechter Geraden in Beziehung setzt.
Krame mal im Gedächtnis oder im Schulheft/-buch.
Als Hinweis: es geht in dieser Formel um das Produkt der beiden Steigungen ...
Gruß
schachuzipus
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stimmt das also nicht so?
aber wenn ich das mit der summenregel ableite, bekomm ich dann nicht die steigung des Graphen?
Ich brauche nämlich die Steigung der Tangente.
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Hallo selina-anna, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> stimmt das also nicht so?
Nein, das stimmt nicht.
> aber wenn ich das mit der summenregel ableite, bekomm ich
> dann nicht die steigung des Graphen?
Genau, das ist richtig.
> Ich brauche nämlich die Steigung der Tangente.
Ja, und? Die Steigung der Tangente an einen Punkt des Graphen ist doch gleichzeitig die Steigung des Graphen in diesem Punkt.
Grüße
reverend
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ok noch ein Versuch:
f'(x)= 2*cos(x)
stimmt das jetzt?
und muss ich zur berechnung der Steigung der Normale die Formel
m(1) *m(2) = -1
verwenden?
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Hallo nochmal,
> ok noch ein Versuch:
> f'(x)= 2*cos(x)
>
> stimmt das jetzt?
Fast, du hast die Ableitung von x unterschlagen, also 1.
Richtig: [mm]f'(x)=1+2\cos(x)[/mm]
Damit [mm]m_{\text{Tangente}}=f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ldots[/mm]
>
> und muss ich zur berechnung der Steigung der Normale die
> Formel
> m(1) *m(2) = -1 verwenden? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wobei ich mit anstatt [mm]m(1)[/mm] oben zur Deutlichkeit [mm]m_{\text{Tangente}}[/mm] geschrieben habe ...
Gruß
schachuzipus
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ok...also ist dann die Steigung der Tangente m= 1+2*cos 1/4л
und die Steigung der Normale ist dann: m(n)=(-1)/m(t)=(-1)/(1+2*cos1/4л)
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Hallo, du kannst doch [mm] cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] berechnen, also ist die Steigung der Tangente an der Stelle [mm] m_t=1+\wurzel{2}, [/mm] Steffi
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oh...stimmt ja
aber stimmt denn der Rest?
lg selina-anna
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Hallo, ja, du kannst wieder [mm] cos(\bruch{\pi}{4})=\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] einsetzen
[mm] m_t=1+\wurzel{2}
[/mm]
[mm] m_n=-\bruch{1}{1+\wurzel{2}}
[/mm]
Steffi
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ok...vielen Dank an alle die mir dabei geholfen haben :)
lg selina-anna
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jetzt hätte ich da nocchmal eine Frage:
wie berechnet man die Gleichung der Tangente und der Normale?
Oder sind die Steigungen gleich der Gleichung der Tangente bzw. der Normale?
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Hallo
Tangente: [mm] f_t(x)=m_t*x+n_t
[/mm]
Normale: [mm] f_n(x)=m_n*x+n_n
[/mm]
dir fehlt noch [mm] n_t [/mm] und [mm] n_n, [/mm] berechne [mm] f(\bruch{\pi}{4}) [/mm] dieser Punkt gehört zur Tangente und Normale, in die Gleichungen einsetzen und n:t bzw. [mm] n_n [/mm] berechnen
Steffi
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also muss ich den Punkt berechnen an dem sich der Graph mit der Tangente und der Normale schneidet? f(1/4л)=1/4л+2*sin1/4л ?
ist der sin1/4л=0,01?
und was mach ich dann mit dem punkt der bei der gleichung herauskommt?
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Hallo, [mm] sin(\bruch{\pi}{4})=\bruch{1}{2}\wurzel{2}, [/mm] den Punkt [mm] (\bruch{\pi}{4}; \bruch{\pi}{4}+\wurzel{2}) [/mm] setzt du in die Tangenten- und Normalengleichung ein, Steffi
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tangentengleichung: f(x)=m*x+n =(1+2*cos1/4л)*x+(1/4л)??
oder was setz ich für n ein?
selina-anna
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Hallo du kennst den Punkt [mm] (\bruch{\pi}{4}; \bruch{\pi}{4}+\wurzel{2})
[/mm]
Tangente:
[mm] f_t(x)=(1+\wurzel{2})*x+n_t
[/mm]
[mm] \bruch{\pi}{4}+\wurzel{2}=(1+\wurzel{2})*\bruch{\pi}{4}+n_t
[/mm]
nach [mm] n_t [/mm] umstellen
analog zur Normale
Steffi
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ist 1/4 [mm] \pi [/mm] dann gleich [mm] \wurzel{2}?
[/mm]
wie kommst du darauf, wenn ich in den taschenrechner 1/4 [mm] \pi [/mm] eingebe kommt 0,785 raus...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> ist 1/4 [mm]\pi[/mm] dann gleich [mm]\wurzel{2}?[/mm]
Nein.
> wie kommst du darauf,
Steffi21 hat nichts in dieser Richtung gesagt !
FRED
> wenn ich in den taschenrechner 1/4
> [mm]\pi[/mm] eingebe kommt 0,785 raus...
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aber was ist dann sin1/4 [mm] \pi [/mm] bzw. cos 1/4 [mm] \pi [/mm] ?
stimmt 0,013 bzw. 0,999 ?
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Hallo selina-anna,
das sind zwei Werte, die man kennen sollte.
Wenn Du sie schon unbedingt mit dem Taschenrechner berechnen musst, dann stell ihn wenigstens auf Bogenmaß um (RAD-Taste).
Du wirst jedenfalls feststellen, dass [mm] \sin{\bruch{\pi}{4}}=\cos{\bruch{\pi}{4}} [/mm] ist.
Und versuch doch bitte wirklich mal den Formeleditor. Er ist leicht zu bedienen. Das russische kleine p (л) nervt als Ersatz für [mm] \pi, [/mm] und auch sonst sind Deine posts nicht schön zu lesen (rein grafisch gemeint!).
Grüße
reverend
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so ich glaub ich habs jetzt gelöst:
Gleichung der Tangente:
[mm] f_{T} [/mm] (x)= [mm] m_{T} [/mm] *x+ [mm] t_{T}
[/mm]
f'(x)= 1+2*cosx
[mm] m_{T} [/mm] =f'(1/4л)=3
f(1/4л)=1/4л+2*sin1/4л=0,8
--> P(1/4л;0,8)
1/4л=3*0,8+ [mm] t_{T} [/mm] --> [mm] t_{T} [/mm] =-1,6
--> [mm] f_{T} [/mm] (x)=3*x-1,6
Gleichung der Normale:
[mm] f_{N} [/mm] (x)= [mm] m_{N} [/mm] *x+ [mm] t_{N}
[/mm]
[mm] m_{T} [/mm] * [mm] m_{N} [/mm] =-1 --> [mm] m_{N} [/mm] =-1/3
1/4л= (-1/3)*0,8-1/4л --> [mm] t_{N} [/mm] =1,1
--> [mm] f_{N} [/mm] (x)=(-1/3)*x+1,1
stimmt das jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Di 11.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo selina-anna!
Nein, das stimmt so nicht. Wie kommst Du plötzlich auf [mm]m_t \ = \ 3[/mm] ?
Das war doch schon längst geklärt mit [mm]m_t \ = \ f'\left(\tfrac{\pi}{4}\right) \ = \ 1+\wurzel{2} \ \approx \ 2{,}414[/mm] .
Gruß
Loddar
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aber wie kommst du auf [mm] \wurzel{2} [/mm] ?
und stimmt der rest sonst?
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Hallo selina-anna,
> aber wie kommst du auf [mm]\wurzel{2}[/mm] ?
Der Wert von [mm]\cos\left(\bruch{\pi}{4}\right)[/mm] ist bekannt,
dieser ist nun mal
[mm]\cos\left(\bruch{\pi}{4}\right)=\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]m_{t}=1+2*\cos\left(\bruch{\pi}{4}\right)=1+2*\bruch{\wurzel{2}}{2}=1+\wurzel{2}[/mm]
>
> und stimmt der rest sonst?
Nein, der Rest stimmt leider auch nicht.
Gruss
MathePower
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ich kann in dem rest selbst keine Fehler entdecken, aber vielleicht könnte mir einer von euch sagen wo mir ein Fehler passiert ist.
selina-anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Di 11.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo selina-anna!
Da in Deinem bisherigen Lösungsvorschlag die Steigungen nicht stimmten, musst Du wohl nun nochmals Deine Lösungen präsentieren. Denn aus den falschen Steigungswerten folgten auch falsche Y-Achsenabschnitte der Geraden.
Gruß
Loddar
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ok...noch ein Versuch:
Gleichung der Tangente: [mm] f_{T} [/mm] (x)=2,4*x-4,1
Gleichung der Normale: [mm] f_{N} [/mm] (x)=(-1/2,4)*x+1,7
stimmen diese Ergebnisse jetzt?
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Hallo selina-anna,
> ok...noch ein Versuch:
>
> Gleichung der Tangente: [mm]f_{T}[/mm] (x)=2,4*x-4,1
>
> Gleichung der Normale: [mm]f_{N}[/mm] (x)=(-1/2,4)*x+1,7
>
> stimmen diese Ergebnisse jetzt?
Irgendwie scheint es so, als ob Du mit gerundeten Werten rechnest.
Diese Rundungsfehler ziehen sich durch die ganze Rechnung,
so daß das Endergebnis falsch wird.
Solange das Endergbnis nicht feststeht,
ist mit exakten Werten zu rechnen.
Gruss
MathePower
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gut dann eben nochmal:
Gleichung der Tangente: [mm] f_{T} [/mm] (x)=2,414213562*x-4,524934296
~ 2,4*x-4,5
Gleichung der Normale: [mm] f_{T} [/mm] (x)= (-1/2,414213562)*x+1,696507172
~(-1/2,4)*x+1,7
jetzt richtig?
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Hallo selina-anna,
> gut dann eben nochmal:
>
> Gleichung der Tangente: [mm]f_{T}[/mm] (x)=2,414213562*x-4,524934296
> ~ 2,4*x-4,5
>
> Gleichung der Normale: [mm]f_{T}[/mm] (x)=
> (-1/2,414213562)*x+1,696507172
> ~(-1/2,4)*x+1,7
>
> jetzt richtig?
Jetzt stimmen die Steigungen der Tangenten bzw. Normalen,
jedoch stimmen die dazughörigen Achsenabschnitte nicht.
Gruss
MathePower
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Hallo selina-anna,
> welche achsenabschnitte?
Die y-Achsenabschnitte stimmen jeweils nicht.
Demnach das Glied ohne x in der Geradengleichung.
Gruss
MathePower
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das verstehe ich nicht...
welches glied ohne x?
lg selina-anna
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Hallo selina-anna,
> das verstehe ich nicht...
>
> welches glied ohne x?
Eine Geradengleichung hat die Form
[mm]y=m*x+b[/mm]
Hier ist b das Glied ohne x.
>
> lg selina-anna
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:02 Di 11.01.2011 | | Autor: | selina-anna |
was ist daran falsch dass b ein Glied ohne x ist?
braucht man unbedingt ein x bei b?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Di 11.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo selina-anna,
ich lese hier schon seit längerer Zeit mit und habe wenig Lust zu antworten, weil man immer quer durch die ganze Diskussion hüpfen muss, um überhaupt die Rechnung nachzuverfolgen.
> was ist daran falsch dass b ein Glied ohne x ist?
>
> braucht man unbedingt ein x bei b?
Diese Frage schlägt allerdings dem Fass den Boden aus.
Es geht darum, dass Du die Achsenabschnitte, also die "b" falsch berechnet hast. Die brauchen kein x, nur hängen sie indirekt eben doch vom "m" ab, das Du nicht richtig angesetzt hattest.
Du musst also nochmal rechnen.
Vielleicht denkst Du mal selbst, und lässt nicht nur andere für Dich arbeiten.
Grüße
reverend
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Hallo,
ich hoffe dir ist wirklich klar
[mm] m_t=1+\wurzel{2}
[/mm]
[mm] m_n=-\bruch{1}{1+\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] (\bruch{\pi}{4}; \bruch{\pi}{4}+\wurzel{2}) [/mm]
Tangente:
[mm] \bruch{\pi}{4}+\wurzel{2}=(1+\wurzel{2})*\bruch{\pi}{4}+n_t
[/mm]
[mm] \bruch{\pi}{4}+\wurzel{2}=\bruch{\pi}{4}+\bruch{\pi}{4}*\wurzel{2}+n_t
[/mm]
[mm] \wurzel{2}=\bruch{\pi}{4}*\wurzel{2}+n_t
[/mm]
[mm] n_t=\wurzel{2}-\bruch{\pi}{4}*\wurzel{2}
[/mm]
[mm] n_t=\wurzel{2}(1-\bruch{\pi}{4})\approx0,30349
[/mm]
Normale:
[mm] \bruch{\pi}{4}+\wurzel{2}=-\bruch{1}{1+\wurzel{2}}*\bruch{\pi}{4}+n_n
[/mm]
[mm] n_n=\bruch{\pi}{4}+\wurzel{2}+\bruch{1}{1+\wurzel{2}}*\bruch{\pi}{4}\approx2,52493
[/mm]
Steffi
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wieso auf der linken seite + [mm] \wurzel{2} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Di 11.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo selina-anna!
Du erweckst hier wirklich mehrfach den Eindruck, dass Du gegebene Antworten gar nicht oder nur sehr unkonzentriert durchliest.
Irgendwann im Laufe diese kilometerlangen Threads wurde doch schon mal geklärt, dass gilt: [mm]f\left(\tfrac{\pi}{4}\right) \ = \ \bruch{\pi}{4}+\wurzel{2}[/mm] .
Dies erhält man durch Einsetzen von [mm]\tfrac{\pi}{4}[/mm] in die gegebene Funktionsvorschrift [mm]f(x) \ = \ x+2*\cos(x)[/mm] .
Gruß
Loddar
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so jetzt hab ichs glaub ich endlich raus:
Tangente: f(x)=2,41*x+0,30
Normale: f(x)=(-0,41)*x+2,52
hoffentlich ist das jetzt richtig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Di 11.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo selina-anna!
Von den Rundungen mal abgesehen, scheint es nun zu passen.
Gruß
Loddar
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was genau setze ich jetzt für n von dem punkt ein?
л/4 oder л/4+ [mm] \wurzel{2}
[/mm]
danke schonmal
selina-anna
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Hallo, garnichts, n ist doch noch zu berechnen, Steffi
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