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| Aufgabe | Es sei :
f (x) = sin2x
wie lautet die Tangentengleichung an f bei x0=0 |
Hallo,
Eigentlich ist diese Aufgabe wahrscheinlich ziemlich simple.
Ist die Lösung eventuell : cos2x?
Da die Tangente bei x0=f(x)=0 ist kann ich mir nicht so richtig erklären, wonach wird hier eigentlich gefragt?
Kann mir mal bitte jemand den sinn dieser Aufgabe erklären?
Grüsse Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Du sollst eine lineare Gleichung der Form y=mx+n aufstellen.
Da die Tangente an der Stelle x=0 die Selbe Steigung wie der Graph von f hat, muss gelten:
f'(x)=m.
Nun nimmst du dir dann noch den Punkt P(0;f(0)), und damit kannst du dann n bestimmen.
LG
Kroni
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Sorry,
aber was bedeutet denn jetzt f'(x)=m und y=mx+n ?
Meiner Meinung nach soll ich doch nicht die Ableitung definieren sondern die Tangente,oder wo ist jetzt mein Denkfehler.
Grüsse Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Tangente an einen Graphen in einem Punkt hat doch die Eigenschaft, dass die Steigung der Tangente mit der Steigung des Graphen im Berührpunkt übereinstimmt.
Da die Tangente durch eine lineare Funktion der Form y=mx+n mit m: Steigung der Tangente (das solltest du aber eg. kennen) definiert ist, und der Berührpunkt durch (0;f(0)) vorgegeben ist, muss die Steigung der Tangente (also m) gleich f'(0) sein, da x=0 die Berührstelle ist.
f(x)=sin(x), dann gilt für f'(x) das und das. Dann 0 einsetzten, und du weist, welche Steigung die Tangente haben muss.
Wenn du dann den Punkt (0;f(0)) einsetzt kannst du n bestimmen (das kann man auch vorher schon, da n der y-Achsenabschnitt ist...und man schon eine Aussage durch den Berührpunkt darüber hat).
LG
Kroni
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Hey,
aber wenn n auch null ist was soll ich dann berechnen?
0=0
sorry aber ich versteh grade ein bisschen Bahnhof!
Grüsse Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich rechne dir das jetzt mal vor und dann versuchst du das zu verstehen, und dann rechne das bitte nochmal nach:
Gegeben: f(x)=sin(2x)
Gesucht: Tangentengleichung an f bei [mm] x_0=0.
[/mm]
Es gilt für die Tangente: y=mx+n
m ist die Steigung der Tangente. Die Steigung muss mit der Steigung des Graphen von f im Berührpunkt, also B(0;f(0)) übereinstimmen.
Für die Steigung des Graphen von f gilt an der Stelle [mm] x_0=0:
[/mm]
f'(x)=2cos(2x) (Kettenregel!)
f'(0)=2cos(0)=2
Also weist du, dass m=2 sein muss.
Dann kann man schonmal schrieben: y=2x+n
Nun weiß man, dass die Tangente durch B geht;
f(0)=0
Also hat man den Berührpunkt: B(0;0).
Diesen setzt man in y=2x+n ein:
[mm] 0=2\cdot0+n [/mm] <=> n=0
Also kannst du die Tangentengleichung aufschreiben:
y=2x+0=2x
Die Tangentengleichung an f bei [mm] x_0=0 [/mm] lautet also y=2x.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Markus!
Es gibt auch eine fertige Formel für die Tangentengleichung in einem belibigen Punkt $P \ [mm] \left( \ x_0 \ ; \ y_0 \ \right)$ [/mm] einer Funktionskurve von $f(x)_$ , welche aus der Punkt-Steigungsform entsteht:
$m \ = \ [mm] \bruch{y-y_1}{x-x_1}$
[/mm]
Mit $m \ = \ [mm] f'(x_0)$ [/mm] sowie [mm] $y_1 [/mm] \ = \ [mm] f(x_0)$ [/mm] erhalten wir mit Umstellen:
$y \ = \ [mm] f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)$
[/mm]
Nun hier also mal den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ einsetzen.
Gruß
Loddar
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