Tangentialebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] gegeben durch f(x,y) := [mm] sin(x)+e^{x^{2}y}+y³.
[/mm]
(a) Ermittle die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen der Funktion f im Punkt (0,2, f(0,2)).
(b) Gibt es Punkte [mm] (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) [/mm] des Graphen von f mit horizontaler Tangentialebene? |
Hab da eine Formel:
[mm] z=f(\xi_1,\xi_2)+
[/mm]
Also der Punkt [mm] \xi [/mm] ist (0,2,f(0,2))
Ist dann [mm] \xi_1 [/mm] (0,2) und [mm] \xi_2 [/mm] f(0,2) ?
Wie setze ich das dann ein?
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> Es sei f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] gegeben durch f(x,y) :=
> [mm]sin(x)+e^{x^{2}y}+y³.[/mm]
>
> (a) Ermittle die Gleichung der Tangentialebene an den
> Graphen der Funktion f im Punkt (0,2, f(0,2)).
>
> (b) Gibt es Punkte [mm](x_0,y_0,f(x_0,y_0))[/mm] des Graphen von f
> mit horizontaler Tangentialebene?
> Hab da eine Formel:
>
> [mm]z=f(\xi_1,\xi_2)+[/mm]
>
> Also der Punkt [mm]\xi[/mm] ist (0,2,f(0,2))
> Ist dann [mm]\xi_1[/mm] (0,2) und [mm]\xi_2[/mm] f(0,2) ?
Nein
>
> Wie setze ich das dann ein?
[mm] \xi_1=0 [/mm] und [mm] \xi_2=2, [/mm] also
$f(0,2)+<grad [mm] f(0,2),\vektor{x\\y-2}>
[/mm]
Jetzt musst du nur noch den Gradienten ausrechnen ...
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Also, der Gradient ist doch ein Vektor, der als Komponenten die ersten partiellen Ableitungen enthält, oder?
Das wäre dann in diesem Fall [mm] \vektor{cos(x)+e^{x{2}y}2xy\\e^{x^{2}y}x^{2}+3y^{2}}
[/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet habe
gefragt ist [mm] grad(\xi_1,\xi_2) [/mm] also setze ich für x und y [mm] \xi_1 [/mm] und [mm] \xi_2 [/mm] ein ?
Das ergibt dann [mm] \vektor{1\\12}
[/mm]
also: z= 9+ [mm] <\vektor{1\\12},\vektor{x\\y-2}>
[/mm]
Dann muss ich nur noch Skalarprodukt ausrechnen und ich bin fertig. Die Tangentialebene ist dann die Menge aller Punkte die diese Gleichung erfüllen, oder?
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> Also, der Gradient ist doch ein Vektor, der als Komponenten
> die ersten partiellen Ableitungen enthält, oder?
>
> Das wäre dann in diesem Fall
> [mm]\vektor{cos(x)+e^{x{2}y}2xy\\e^{x^{2}y}x^{2}+3y^{2}}[/mm]
>
> wenn ich mich nicht verrechnet habe
>
> gefragt ist [mm]grad(\xi_1,\xi_2)[/mm] also setze ich für x und y
> [mm]\xi_1[/mm] und [mm]\xi_2[/mm] ein ?
>
> Das ergibt dann [mm]\vektor{1\\12}[/mm]
>
>
> also: z= 9+ [mm]<\vektor{1\\12},\vektor{x\\y-2}>[/mm]
>
> Dann muss ich nur noch Skalarprodukt ausrechnen und ich bin
> fertig. Die Tangentialebene ist dann die Menge aller Punkte
> die diese Gleichung erfüllen, oder?
Ja, wenn du dich nicht verrechnet hast (hab ich nicht nachgeprüft). Der Ansatz stimmt jedenfalls.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Mi 16.11.2011 | | Autor: | steffi.24 |
Danke für die Hilfe, hab das jetzt verstanden 
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Bin gerade draufgekommen, dass es ja noch (b) gibt. Die Tangentialebene soll horizontal sein, also parallel zur xy-Ebene. Bedeutet das jetzt das z=0 gelten muss?
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> Bin gerade draufgekommen, dass es ja noch (b) gibt. Die
> Tangentialebene soll horizontal sein, also parallel zur
> xy-Ebene. Bedeutet das jetzt das z=0 gelten muss?
Nein. Die z-Koordinate muss unabhängig von x und y sein.
Und das ist der Fall, wenn der Gradient der Nullvektor ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mi 16.11.2011 | | Autor: | steffi.24 |
Danke
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