Tangentialebene an Kugel < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Mo 21.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Kugel K : [mm] x^2 +y^2 +z^2 [/mm] = 9 und die Gerade
g: = [mm] \vektor{3\\4\\5} [/mm] + [mm] t*\vektor{2\\3\\10}
[/mm]
Gesucht ist die Tangentialebenen an K, die die Gerade g enthalten? |
guten tag,
mein Ansatz:
1.Gerade g in Kreisgleichung k einsetzen und t ausrechen
2. Einsetzen von t in die Geradengleichung ergibt P1 und P2
3. Aufstellen der Tangentialebenen mit:
T1 : [mm] \vektor{2\\3\\10}*(x-(ausgerechneter [/mm] Punkt)) = 0
dies als Ebene aufstellen
|
|
| |
|
Hallo Lisa,
da hast Du einen Denkfehler.
Wenn die Gerade die Kugel in zwei Punkten schneiden würde, dann gäbe es keine Tangentialebene an die Kugel, die die Gerade enthält.
Wenn die Gerade die Kugel in einem Punkt berührt, gibt es genau eine Tangentialebene.
Wenn die Gerade die Kugel nicht berührt, gibt es zwei verschiedene Tangentialebenen.
Überleg doch mal, wie Du allgemein eine Ebene definierst, die die gegebene Gerade enthält. Dann suchst Du nach den max. zwei Ebenen, die die Kugel berühren.
Mit etwas Stereometrie - will heißen: räumlicher Vorstellung - kannst Du sogar noch zielgerichteter suchen, aber das ist nur dann noch eine weitere Vereinfachung, wenn Du Dir als Hilfsebene diejenige vorstellen kannst, die die Kugel mittendurch teilt und zugleich senkrecht zu der Geraden steht. Da gibt es nur eine Ebene, und die beiden Tangenten an den Kreis (!) bestimmen zusammen mit der gegebenen Geraden sofort die beiden Ebenen.
Also: Idee?
lg
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mo 21.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
Lege ich die Gerade senkrecht durch den Mittelpunkt?
dann wäre der Mittelpunkt (3,4-5)?
|
|
|
| |
|
Hi,
> Lege ich die Gerade senkrecht durch den Mittelpunkt?
Wieso solltest Du das tun? Kennst Du Tangenten, die durch den Mittelpunkt verlaufen?
> dann wäre der Mittelpunkt (3,4-5)?
Der Mittelpunkt der Kugel liegt im Ursprung.
Die Gerade hat keinen Mittelpunkt.
Was meinst Du also?
Überleg Dir nochmal, was die Aufgabe von Dir will. Nimm eine Orange o.ä. als Kugel und einen langen Stift als Gerade. Halte den Stift so neben die Orange, dass er sie nicht berührt. Wenn Du nun ein Blatt Papier nimmst (eine Ebene), wie kann die liegen, so dass sie die Orange berührt, und zugleich sozusagen auf den Stift aufgefädelt ist?
lg
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mo 21.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich muss eine Tangentialebene finden die die Gerade enthält da kann ich ja beliebige Punkte auf der Geraden wählen oder?
|
|
|
| |
|
Wenn Du die Ebene durch drei Punkte bestimmen willst, sollten zwei davon auf der Geraden liegen und können beliebig gewählt werden.
Nur: wie kommst Du jetzt zum dritten Punkt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mo 21.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
der dritte Punkt ist P (x/y/z) die andern sind MP ein Punkt
ein weiterer PQ1 wobei ich t beliebig wähle auf der Geraden z. B t= 0
dann ein weiterer PQ2 wobei ich t = 1 wähle
gut wie stelle ich dann die Tangentialebene auf?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Mo 21.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
dies sollte eine Frage sein
|
|
|
| |
|
Hallo Lisa,
das verstehe ich nicht ganz.
> der dritte Punkt ist P (x/y/z) die andern sind MP ein
> Punkt
ok, ein ganz allgemeiner Punkt. Auf der Geraden sollte er aber nicht liegen! Was heißt der Satzteil mit MP?
> ein weiterer PQ1 wobei ich t beliebig wähle auf der
> Geraden z. B t= 0
> dann ein weiterer PQ2 wobei ich t = 1 wähle
Schön, zwei Punkte auf der Geraden.
> gut wie stelle ich dann die Tangentialebene auf?
Tja, das ist doch die Frage. Der dritte Punkt ist ja nicht so beliebig. Es muss genau der Berührpunkt mit der Kugel sein. Da es sich um eine Tangentialebene handelt, muss sein Ortsvektor (der hier ja vom Mittelpunkt der Kugel, dem Ursprung, ausgeht), senkrecht zur gesuchten Ebene stehen.
Überleg dir doch mal, wie der Schnitt der folgenden Ebene mit Deinen beiden Objekten aussieht. In dieser Ebene kannst Du eigentlich die ganze Konstruktion ablesen:
[mm] E_H: \bruch{\wurzel{2}}{10}\vektor{3\\4\\5}\vec{x}=0
[/mm]
Den Bruch davor kannst Du auch weglassen, er normiert nur den Vektor, sonst nichts.
lg
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mo 21.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
tut mir leid so komme ich nicht weiter stehe ziemlich unter druck
|
|
|
| |
|
Hallo Lisa,
tja, und nun?
Wahrscheinlich kommst Du gerade deswegen nicht weiter, weil Du unter Druck stehst.
Dann werden Deine Anfragen bzw. die folgenden Diskussionen ja auch immer elendig lang.
Ich kann Deine Aufgabe lösen.
Dieses Forum ist aber nicht dafür da, die Aufgabe zu lösen, sondern Dir zu helfen, dass Du sie selber lösen kannst. Und damit eben auch weitere Aufgaben ähnlichen Typs.
Es gibt hier eine Reihe möglicher Lösungswege. Solange Du aber keine der geometrischen Beziehungen erkannt hast, die hier eine Rolle spielen, wirst Du keinen finden.
Mit den folgenden Beziehungen würde es z.B. klappen:
1) Der Normalenvektor jeder der gesuchten Tangentialebenen steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Gerade.
2) Jeder beliebige Punkt der Gerade liegt in der Tangentialebene. Tipp: es reicht womöglich, dafür nur einen einzigen Punkt zu betrachten.
3) Der Normalenvektor jeder der gesuchten Tangentialebenen, auf die Länge des Kugelradius' skaliert, ist genau der Ortsvektor des Berührpunktes der Ebene an die Kugel. Tipp: es kann sein, dass Du auch die Gegenrichtung betrachten musst.
Vielleicht hättest Du mit einem anderen Ansatz mehr Erfolg, aber dann müsste ich wissen, welchen Du verfolgen willst. Nur dann ist gezieltere Hilfestellung möglich.
lg
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 22.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
Mittelpunkt der Kugel ist M(0/0/0) wir wählen 2 Punkte auf g mit
t = 0 somit komme ich auf
q(3/4/-5)
und t = 1 somit komme ich auf Q(5/7/5)
sei P(x/y/z)
ich bilde MP= [mm] \vektor{x\\y\\c}
[/mm]
und PQ1 = [mm] \vektor{3-x\\4-y\\-5-z} [/mm] sowie PQ2 [mm] =\vektor{x-5\\y-7\\z-5}
[/mm]
dann bilde ich gleichungen mit
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 +z^2 [/mm] = 9
x(3-x)+y(4-y)+z(-5-z) = 0
x((x-5)+y(y-7)+z(z-5)= 0
ich bekomme
P1(-1.359/2.625/-0.516) und P2(2.927/-0.492/-0.438)
soweit so gut nun weiss ich nicht wie ich damit die Tangentialebene aufstellen soll....
gruss
lisa11
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Mo 28.12.2009 | | Autor: | lisa11 |
könnte jemand auf die untenstehende Frage eingehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mo 28.12.2009 | | Autor: | weduwe |
> Aufgabe wie oben
> Mittelpunkt der Kugel ist M(0/0/0) wir wählen 2 Punkte
> auf g mit
> t = 0 somit komme ich auf
> q(3/4/-5)
> und t = 1 somit komme ich auf Q(5/7/5)
> sei P(x/y/z)
> ich bilde MP= [mm]\vektor{x\\y\\c}[/mm]
> und PQ1 = [mm]\vektor{3-x\\4-y\\-5-z}[/mm] sowie PQ2
> [mm]=\vektor{x-5\\y-7\\z-5}[/mm]
> dann bilde ich gleichungen mit
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 +z^2[/mm] = 9
> x(3-x)+y(4-y)+z(-5-z) = 0
> x((x-5)+y(y-7)+z(z-5)= 0
>
> ich bekomme
>
> P1(-1.359/2.625/-0.516) und P2(2.927/-0.492/-0.438)
> soweit so gut nun weiss ich nicht wie ich damit die
> Tangentialebene aufstellen soll....
>
>
> gruss
> lisa11
du hast zwar richtig gerechnet (und ungenau gerundet  ), aber wenn deine 1. angabe stimmt, stimmen deine punkte nicht, die z-komponente von P ist doch +5 nicht -5.
mit P(3/4/5) und Q(1/1/-5) komme ich auf folgendes ergebnis
[mm] B_1(2/2/-1) [/mm] und [mm] x_{B2}=\frac{801}{513}
[/mm]
|
|
|
|
