Tangentialebene finden < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Do 02.08.2007 | | Autor: | kaber |
| Aufgabe | Finden Sie die Tangentialebene [mm]T[/mm] der Fläche K: [mm]x^2+4y^2+4z^2=4[/mm] mit
[mm]P_0=(4,0,0)\in T[/mm]
[mm]T[/mm] schneidet die z-Achse im [mm]A=(0,0,\bruch{2}{\wurzel{3}})[/mm] |
Da bald eine Matheklausur ansteht, benötige ich hier und da mal Hilfe bei alten Klausuraufgaben. Ich hoffe Ihr verzeiht meine ständigen Fragen hier.
Zu der Aufgabe habe ich so gut wie keine Ahnung wo ich anfangen kann/soll.
Wäre super, wenn mir jemand das näher beibringen würde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Do 02.08.2007 | | Autor: | maybe. |
forme doch erstmal nach z um dann hast du eine funktion z=f(x,y), also deine Fläche K ist dann die Bildmenge dieser Funktion f. dann kannst du z.b. die partiellen Ableitungen an deinem Punkt P bilden usw. ... hilft dir das weiter ?
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Du hast ja 2 Punkte ([mm]P_0[/mm] und [mm]A[/mm]) in [mm]T[/mm] gegeben, damit auch einen Vektor, der in der gesuchten Ebene liegt. Alle Vektoren der Tangentialebene sind senkrecht zur Normalen. Daraus ergibt sich eine Gleichung. Eine weitere ergibt sich aus der Definition von K. Damit solltest du 2 von 3 Unbekannten eliminieren können. Die letzte kann man dann aus den gegebenen Punkten schnell bestimmen (sind ja Achsabschnitte), wenn man zunächst die Tangentialebene bestimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Fr 03.08.2007 | | Autor: | kaber |
Also ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:
[mm]\vec OP=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] und [mm]\vec OA=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{3}} \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec PA=[/mm][mm]\vec OA[/mm]-[mm]\vec OP[/mm]=[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{3}} \end{pmatrix}[/mm]-[mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]=[mm]\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{3}} \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec PA * \vec n_T=0[/mm]
[mm]\vec n_T=gradF(x_0,y_0,z_0)=\begin{pmatrix} 2x_0 \\ 8y_0 \\ 8z_0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{3}} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2x_0 \\ 8y_0 \\ 8z_0 \end{pmatrix}=-8x_0+\bruch{16}{\wurzel{3}}z_0=0[/mm]
Das wäre meine erste Gleichung...
Die zweite ergibt sich aus der Definition der Kurve K?
Heißt das jetzt die Tangentialebene von der Kurve K oder die Kurve selber mit [mm] x_0,y_0,z_0 [/mm] ?
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> Also ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:
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> [mm]\vec OP=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] und [mm]\vec OA=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{3}} \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]\vec PA=[/mm][mm]\vec OA[/mm]-[mm]\vec OP[/mm]=[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{3}} \end{pmatrix}[/mm]-[mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]=[mm]\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{3}} \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]\vec PA * \vec n_T=0[/mm]
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> [mm]\vec n_T=gradF(x_0,y_0,z_0)=\begin{pmatrix} 2x_0 \\ 8y_0 \\ 8z_0 \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{3}} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2x_0 \\ 8y_0 \\ 8z_0 \end{pmatrix}=-8x_0+\bruch{16}{\wurzel{3}}z_0=0[/mm]
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> Das wäre meine erste Gleichung...
> Die zweite ergibt sich aus der Definition der Kurve K?
> Heißt das jetzt die Tangentialebene von der Kurve K oder
> die Kurve selber mit [mm]x_0,y_0,z_0[/mm] ?
Der Berührpunkt [mm] $(x_0,y_0,z_0)$ [/mm] erfüllt beide Gleichungen: diejenige der Tangentialebene $T$ und diejenige der Kurve $K$. Zögere nicht zu lange: schau einfach, was Dir diese beiden Gleichungen an Information über die noch unbekannten Grössen, z.B. [mm] $x_0,y_0,z_0$ [/mm] liefern.
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Wenn ich's recht bedenke, sind noch mehr Vektoren aus der Tangentialebene direkt bestimmbar, nämlich die Verbindungen zwischen dem Berührpunkt und den beiden Achsenabschnitten. Auch die müssen wieder senkrecht zur Normalen stehen. Damit sollte sich noch eine weitere Unbekannte eliminieren lassen.
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> Finden Sie die Tangentialebene [mm]T[/mm] der Fläche K:
> [mm]x^2+4y^2+4z^2=4[/mm] mit
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> [mm]P_0=(4,0,0)\in T[/mm]
>
> [mm]T[/mm] schneidet die z-Achse im [mm]A=(0,0,\bruch{2}{\wurzel{3}})[/mm]
Als ein (jedenfalls für mich selbst) bewährtes Mittel gegen Ziellosigkeit beim Lösen einer solchen Aufgabe empfiehlt es sich, gleich einen formalen Ansatz für das zu bestimmende Objekt, hier die Tangentialebene $T$, an den Anfang zu stellen, und dann systematisch alle gegebene Information nach Möglichkeiten abzuklappern, diesen Ansatz konkreter zu machen.
Hier könnte man also am Anfang einfach einmal sagen, dass
[mm]T:\; ax+by+cz+d=0[/mm]
für noch zu bestimmende [mm] $a,b,c,d\in\IR$. [/mm]
Der nächste Gedanke dürfte sein, den auf der Niveaufläche senkrecht stehenden Gradienten zur näheren Bestimmung von $a,b,c$ zu nutzen. Dies ergibt (nach Division des Gradienten durch $2$ und Einführen des Berührpunktes [mm] $B(x_B|y_B|z_B)$ [/mm] von $K$ und $T$) folgenden, präzisierten Ansatz:
[mm]T:\; x_B x+4y_B y+4z_B z+d = 0[/mm]
Nun müssen wir aber damit Ernst machen, dass $B$ in der Tat der Berührpunkt von $T$ und $K$ ist: aus [mm] $B\in [/mm] T$ folgt, durch Einsetzen in unseren Ansatz für $T$, dass
[mm]x_B^2+4y_B^2+4z_B^2+d=0[/mm]
und aus [mm] $B\in [/mm] K$ folgt:
[mm]x_B^2+4y_B^2+4z_B^2=4[/mm]
Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt: $d=-4$. Also lautet unser präzisierter Ansatz für $T$ nun
[mm]T:\; x_B x+4y_By+4z_Bz-4=0[/mm]
Aus [mm] $P_0(4|0|0)\in [/mm] T$ folgt daraus sogleich [mm] $x_B=1$ [/mm] und aus [mm] $A(0|0|2/\sqrt{3})$ [/mm] folgt [mm] $z_B=\sqrt{3}/2$.
[/mm]
Damit sind wir beinahe am Ziel: uns fehlt nur noch [mm] $y_B$. [/mm] Und [mm] $y_B$ [/mm] erhalten wir, indem wir nochmals die Gleichung von $K$ bemühen, die bereits bestimmten Werte von [mm] $x_B$ [/mm] und [mm] $z_B$ [/mm] einsetzen und nach [mm] $y_B$ [/mm] auflösen: ergibt (sofern ich bis hierher keinen Müll gerechnet habe) [mm] $y_B=0$.
[/mm]
Diese Werte in unseren Ansatz für $T$ eingesetzt ergibt
[mm]T:\; x+2\sqrt{3}z-4=0[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Fr 03.08.2007 | | Autor: | kaber |
Vielen Dank schonmal Somebody,
aber ich würde gerne mit meinem Weg weiterrechnen, weil wir das so in etwa kennen gelernt haben.
Wenn ich nun [mm]x_0,y_0,z_0[/mm] in Kurve K selbst einsetze, dann erhalte ich daraus mit der anderen Gleichung
[mm]x_0=\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]y_0=\pm\wurzel{1-\bruch{13}{12}z_0}[/mm]
und das erscheint mir etwas suspekt.....
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> Vielen Dank schonmal Somebody,
> aber ich würde gerne mit meinem Weg weiterrechnen, weil
> wir das so in etwa kennen gelernt haben.
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> Wenn ich nun [mm]x_0,y_0,z_0[/mm] in Kurve K selbst einsetze, dann
> erhalte ich daraus mit der anderen Gleichung
>
> [mm]x_0=\bruch{1}{\wurzel{3}}\Rightarrow y_0=\pm\wurzel{1-\bruch{13}{12}z_0}[/mm]
>
> und das erscheint mir etwas suspekt.....
Mir auch 
Du musst falsch gerechnet haben: Du hast also erhalten, dass gilt [mm] $x_0=\frac{2}{\sqrt{3}}z_0$, [/mm] nicht? Nun setzen wir dies in die Gleichung von $K$ ein. Dies ergibt folgendes:
[mm]\begin{array}{lcll}
\left(\frac{2}{\sqrt{3}}z_0\right)^2+4y_0^2+4z_0^2 &=& 4\\
\frac{4}{3}z_0^2+4y_0^2+4z_0^2 &=& 4 &|\; \div 4\\
\frac{1}{3}z_0^2+y_0^2+z_0^2 &=& 1 &|\; -\frac{4}{3}z_0^2\\
y_0^2 &=& 1-\frac{4}{3}z_0^2\\
y_0 &=& \pm \sqrt{1-\frac{4}{3}z_0^2}
\end{array}[/mm]
Dies stimmt auch mit meinem Ergebnis [mm] $y_0=0$ [/mm] überein, sofern man [mm] $z_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$ [/mm] einsetzt...
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