Tangentialebene mehrer Verän. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mo 22.06.2009 | | Autor: | OlafP |
| Aufgabe | Guten Tag,
Gegeben ist folgende Funktion. [math] f(x,y) = x^2 (2 - y) -y^3 +3y^2 +9y[/math]
1) Tangentialebene im Punkt (1,1)
2 Richtung des steilsten Anstiegs
3) Richtungsableitung für die Richtung [mm] r=(1,1)^T
[/mm]
4)Vektor der senkrecht auf der Tangentialebene steht
Mit freundlichen Grüßen
OlafP |
Nach nervenraubender Suche im Internet und meinem Mathebuch habe ich leider keinen brauchbaren Ansatz gefunden und schau jetzt seit gut ner Stunde dieses Aufgabenblatt an. Ich würde mich sehr über einen Ansatz oder wenigstens einen kleinen Tipp zu den Aufgabenstellungen freuen.
Mit freundlichen Grüßen
OlafP
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Guten Tag,
> Gegeben ist folgende Funktion. [math]f(x,y) = x^2 (2 - y) -y^3 +3y^2 +9y[/math]
>
> 1) Tangentialebene im Punkt (1,1)
> 2 Richtung des steilsten Anstiegs
> 3) Richtungsableitung für die Richtung [mm]r=(1,1)^T[/mm]
> 4)Vektor der senkrecht auf der Tangentialebene steht
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es ist sicher kein Fehler, wenn Du erstmal die partiellen Ableitungen der Funktion, [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y, [/mm] berechnest.
Hieraus erhältst Du den Gradienten
Bzgl. der Richtung des steilsten Anstieges könntest mal herausfinden, was das mit dem Gradienten zu tun hat.
Den Gradienten kannst Du anschließend auch für die Richtungsableitung gut gebrauchen.
Bzgl der Tangentialebene findest Du ![[]](/images/popup.gif) hier das Notwendige.
Schlag die Begriffe nach und zeig dann mal, wie weit Du kommst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mo 22.06.2009 | | Autor: | OlafP |
partielle Ableitung
fx(x)=[math] 4x-2yx[/math]
fy(x)= [mm] -x^2-3y^3+6y+9
[/mm]
grad f(x,y)=[math](4x-2yx[/math]; [mm] -x^2-3y^2+6y+9)^T
[/mm]
x0=(1,1)
grad [mm] f(1,1)=(2;11)^T
[/mm]
[math]z=12+2(x-1)+11(y-1)[/math] =[math] 2x+11y-1[/math]
soweit richtig oder nen Fehler drin?
Richtung des steilsten Anstiegs
Entspricht die Richtung des steilsten Anstiegs dem Gradienten in dem Punkt, also in diesem fall bei p=(1,1) ?
a(? als was bezeichnet man das?) = [mm] (2,11)^T
[/mm]
Richtungsableitung
hier bin ich mir nicht sicher, scheint ja wieder was mit dem Gradient zu sein. ich habe bisher
grad f(1,1) = (2,11) => xo(vektor) = (2,11)*?(1,1)=?
Gruß
Olaf
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> partielle Ableitung
>
> fx(x)=[math] 4x-2yx[/math]
> fy(x)= [mm]-x^2-3y^3+6y+9[/mm]
Hallo,
richtig.
>
> grad f(x,y)=[math](4x-2yx[/math]; [mm]-x^2-3y^2+6y+9)^T[/mm]
Genau, einfach die partielle Ableitungen in einen Vektor stapeln.
>
> x0=(1,1)
>
> grad [mm]f(1,1)=(2;11)^T[/mm]
Ja.
>
> [math]z=12+2(x-1)+11(y-1)[/math] =[math] 2x+11y-1[/math]
Genau, das ist die Gleichung der Tangentialebene, welche man natürlich in verschiedener Schreibweise angeben kann.
In Koordinatenform hat man 2x+11x -z=1,
woraus man die Normalenform [mm] \vektor{2\\11\\-1}\vex{x}=1 [/mm] erhält und sofort einen zur Tangentialebene senkrechten Vektor sieht, in welchem auch wieder der Gradient mit drinsteckt.
> soweit richtig oder nen Fehler drin?
Kein Fehler.
>
> Richtung des steilsten Anstiegs
>
> Entspricht die Richtung des steilsten Anstiegs dem
> Gradienten in dem Punkt, also in diesem fall bei p=(1,1) ?
Genau.
> a(? als was bezeichnet man das?) = [mm](2,11)^T[/mm]
Eine besondere Bezeichung weiß ich da nicht.
> Richtungsableitung
>
> hier bin ich mir nicht sicher, scheint ja wieder was mit
> dem Gradient zu sein. ich habe bisher
>
> grad f(1,1) = (2,11) => xo(vektor) = (2,11)*?(1,1)=?
Ja, die Richtungsableitung in Richtung [mm] \vektor{1\\1} [/mm] ist
[mm] D_{ \vec{v}}f [/mm] = [mm] gradf(1,1)*\vektor{1\\1}=\vektor{2\\1}*\vektor{1\\1}=3.
[/mm]
Hier mußt Du aber nochmal mit Deiner Mitschrift vergleichen, oft ist es nämlich so, daß für die Richtungsableitung der Vektor [mm] \vec{v} [/mm] normiert sein muß, also mit [mm] \vec{v_0} [/mm] gerechnet wird.
Dann hat man [mm] \vec{v_0}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\1} [/mm] und rechnet [mm] D_{\vec{v}}f= gradf(1,1)*\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mo 22.06.2009 | | Autor: | OlafP |
Danke für die schnelle und kompetente Hilfe :)
Gruß Olaf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Di 23.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
Hallo,
ich hätte mal noch ein, zwei Fragen zu der Aufgabe.
Wie bist du auf die Tangentialebene gekommen?!? ich hatte da 12x+11y-11 raus!
und wie kommt man auf die koordinatenform?
dann heißt es ja das man die Normalenform erhält, warum schreibt man dann x=1? und ist das jetzt der senkrechte Vektor?
wie kommst du auf 3 bei der Richtungsableitung?!?
wenn man (2,11)*(1,1) nimmt bekomm ich da 13 raus und nicht 3.
wär toll ne Rückantwort zu bekommen =) danke!
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> Hallo,
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> ich hätte mal noch ein, zwei Fragen zu der Aufgabe.
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> Wie bist du auf die Tangentialebene gekommen?!? ich hatte
> da 12x+11y-11 raus!
Hallo,
das kann ja nicht sein. Zumindest ein "=irgendwas" müßte noch kommen. Man will ja die Ebenen[b]gleichung[/url].
Ich hatte ja die Seite aus dem Papula verlinkt.
Wenn wir das als Gesprächsbasis nehmen, würde ich sagen, daß Du das [mm] z_0 [/mm] unterschlagen hast.
> und wie kommt man auf die koordinatenform?
???
Wenn Du noch 'ne Gleichung draus machst, hast Du doch auch die Koordinatenform.
> dann heißt es ja das man die Normalenform erhält, warum
> schreibt man dann x=1?
???
Wer schreibt denn x=1?
$ [mm] \vektor{2\\11\\-1}*\vec{x}=1 [/mm] $ ist die Normalenform der Tangetialebene.
(Ich hab' eben gesehen, daß in meinem anderen Post der Vektorpfeil fehlte.)
> und ist das jetzt der senkrechte
> Vektor?
Ja.
>
> wie kommst du auf 3 bei der Richtungsableitung?!?
> wenn man (2,11)*(1,1) nimmt bekomm ich da 13 raus und
> nicht 3.
Wenn Du mal genau hinschaust, hatte ich versehentlich [mm] \vektor{2\\1} [/mm] geschrieben statt [mm] \vektor{2\\11}.
[/mm]
Dein Ergebnis stimmt - es sei denn Ihr habt das so definiert, daß Ihr den Richtungsvektor noch normieren müßt.
Gruß v. Angela
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>
> wär toll ne Rückantwort zu bekommen =) danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
> das kann ja nicht sein. Zumindest ein "=irgendwas" müßte
> noch kommen. Man will ja die Ebenengleichung[/url].
>
> Ich hatte ja die Seite aus dem Papula verlinkt.
> Wenn wir das als Gesprächsbasis nehmen, würde ich sagen,
> daß Du das [mm]z_0[/mm] unterschlagen hast.
Ja ich hab mir den Link angeguckt gehabt, aber leider werd ich da nicht richtig schlau draus.
ich hab denn da z=-97+7y+x
da hatte ich dann aber vorher ein x ausgeklammert.
Kannst du mir da vielelicht nochmal helfen? Ich wird das gern verstehen kanns mir aber selber irgendwie nich richtig herleiten...
> [mm]\vektor{2\\11\\-1}*\vec{x}=1[/mm] ist die Normalenform der
> Tangetialebene.
> > und ist das jetzt der senkrechte
> > Vektor?
>
> Ja.
aber muss ich da nicht noch irgendwas ausrechnen? Oder lass ich die Normalenform so stehen und sage das der Vektor [mm] (2,11,-1)^T [/mm] der senkrechte Vektor ist????
danke
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> Ja ich hab mir den Link angeguckt gehabt, aber leider werd
> ich da nicht richtig schlau draus.
Hallo,
jetzt gucken wir mal zusammen.
Da steht, daß die Gleichung der Tangentialebene im Flächenpunkt [mm] P(x_0,y_0,z_0) [/mm] lautet
[mm] z=f_x(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y(x_0, y_0)(y-y_0) [/mm] + [mm] z_0.
[/mm]
(Es ist zwar läppisch, aber vielleicht kannst Du es Dir so besser merken: [mm] z-z_0=f_x(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y(x_0, y_0)(y-y_0) [/mm] )
Es ist nun gefargt nach der Tangentialebene im Punkt [mm] (x_0,y_0)= [/mm] (1,1).
Wie Du oben siehst, brauchen wir noch das zugehörige [mm] z_0, [/mm] also [mm] z_0=f(x_0,y_0)=f(1,1)=12.
[/mm]
Die partielle Ableitungen im Punkt (1,1) waren [mm] f_x(1,1)=2, f_y(1,1)=11, [/mm] und somit bekommen wir
z=2(x-1)+11(y-1)+12= 2x+ 11y-1,
oder, anders aufgeschreiben 1=2x+11y-z. So sehen Ebenengleichungen des [mm] \IR^3 [/mm] in der Koordinatendarstellung aus.
Die rechte Seite kannst Du als ausgeführtes Skalarprodukt betrachten, und so kommt man zur Normalform der Ebenengleichung:
[mm] \vektor{2\\11\\-1}*\vektor{x\\y\\z}=1.
[/mm]
> > [mm]\vektor{2\\11\\-1}*\vec{x}=1[/mm] ist die Normalenform der
> > Tangetialebene.
> > > und ist das jetzt der senkrechte
> > > Vektor?
> >
> > Ja.
>
> aber muss ich da nicht noch irgendwas ausrechnen? Oder lass
> ich die Normalenform so stehen und sage das der Vektor
> [mm](2,11,-1)^T[/mm] der senkrechte Vektor ist????
Ja. Du brauchst noch nichtmal die Normalenform hinzuschreiben, sondern Du kannst auch einfach die Koeffizienten vor x,y und z in einen Vektor stellen und mitteilen, daß das der Normalenvektor der Ebene ist (bzw. ein Normalenvektor). Das ist nicht erklärungsbedürftig, das ist Allgemeingut, das weiß "man".
Manchmal brauch man den Vktor [mm] \vex{n_0}, [/mm] den Normaleneinheitsvektor. Dazu müßtest Du den Normalenvektor noch normieren, als durch seine Länge dividieren.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Do 25.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
danke dir hast mir sehr geholfen =)
gruß Moni
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