Tangentialraum, UMF < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:52 So 12.10.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $N=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|(\sqrt{x^2+y^2}-6)^2+z^2=25\}$
[/mm]
Beweisen Sie, dass N eine Untermannigfaltigkeit des [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] ist.
Berechnen Sie den Tangentialraum $T_pN$ am Punkt $p=(6,8,3)$ |
Hi,
ich wollte fragen, ob ich bei dieser Aufgabe richtig vorgegangen bin.
Bei der Berechnung des Tangentialraumes an dem Punkt p bräuchte ich unter Umständen etwas Hilfe:
Ich wende den Satz vom regulären Wert an. Dazu wähle ich die Funktion
[mm] $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$
[/mm]
[mm] $(x,y,z)\mapsto (\sqrt{x^2+y^2}-6)^2+z^2-25$
[/mm]
Offensichtlich ist [mm] $f^{-1}(0)=N$
[/mm]
Somit wäre N eine zwei-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] $\mathbb{R}^3$
[/mm]
Ich muss nur noch zeigen, dass die Jacobi-Matrix surjektiv ist, also ungleich Null.
Die Jacobimatrix sollte:
[mm] $Df(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}(\sqrt{x^2+y^2}-6)\\\frac{4y}{\sqrt{x^2+y^2}}(\sqrt{x^2+y^2}-6)\\2z\end{pmatrix}$
[/mm]
lauten.
Damit dies Null wird muss auf jeden Fall schon mal z=0 gelten.
Außerdem kann x und y nicht gleichzeitig Null sein, weil wir sonst durch Null teilen würden.
Dann ist $x=0 [mm] \vee \sqrt{x^2+y^2}-6=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{6-y^2}$
[/mm]
Analog auch einmal für y.
Rechnet man mit diesen ganzen Fällen weiter kommt man darauf, dass diese Punkte nicht in N liegen. Also ist die Jacobimatrix immer ungleich Null und somit surjektiv.
Also ist N tatsächlich eine zwei dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Kann dies jemand bestätigen?
Dabei ist mir wichtig, dass ich die Abbildung f geeignet gewählt habe. Die Fallunterscheidung und co. müsst ihr nicht nachrechnen, wenn ihr nicht wollt.
Nun zum Tangentialraum.
Dafür hätte ich den Punkt p in die Jacobimatrix eingesetzt
[mm] $Df(p)=\begin{pmatrix}\frac{48}{5}\\\frac{64}{5}\\6\end{pmatrix}$
[/mm]
Und nun weiß ich leider nicht mehr wirklich weiter.
Wäre es bis hier hin korrekt?
Über Hilfe würde ich mich freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 So 12.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo YuSul,
du hast, soweit ich es überblickt habe, schön gezeigt, dass $N$ 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit vom [mm] \IR^3 [/mm] ist. Du solltest nur etwas ausführlicher schreiben, dass du $Rang(Df)=3-2=1$ prüfst, damit der Bezug zum Rang offensichtlicher wird. Ich habe deine Angaben allerdings nicht nachgerechnet, insbesondere, ob die Punkte nicht in $N$ liegen.
Außerdem sollte
$$ [mm] Df(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}(\sqrt{x^2+y^2}-6)&\frac{4y}{\sqrt{x^2+y^2}}(\sqrt{x^2+y^2}-6)&2z\end{pmatrix} [/mm] $$ lauten, da die ![[]](/images/popup.gif) Jacobi-Matrix geradeso definiert ist.
Dann macht auch der Satz Sinn, dass eine lin. Abb. genau dann surjektiv ist, wenn die zugehörige Matrix vollen Zeilenrang besitzt.
Es sollte vielleicht auch erwähnt werden, dass $f$ [mm] $C^1$-Funktion [/mm] ist.
Zum Tangentialraum:
Es gilt: Ist [mm] $\phi:\IR^k\supseteq V\to [/mm] M$ lokale reguläre Parametrisierung von M mit [mm] \phi(z)=a [/mm] für ein [mm] $z\in [/mm] V$, so ist [mm] \{\partial_1\phi(z),...,\partial_k\phi(z)\} [/mm] Basis von [mm] $T_a [/mm] M$.
Das könntest du z.B. nutzen, zusammen mit der Def.
[mm] $$T_aM:=\{v\in\IR^n:v\mbox{ ist Tangentialvektor zu M in a}\}.$$ [/mm] Es ist sicherlich offensichtlich, wie die Parametrisierung gewählt werden sollte.
Alternativ kannst du auch einfach die Normalenvektoren berechnen mit folgenden Satz:
Ist $M$ lokal bei $a$ implizit durch Gleichungen [mm] g:\IR^n\to\IR^{n-k}, [/mm] $g(x)=0$ gegeben (im vorliegenden Fall offensichtlich $ [mm] f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} [/mm] $, $ [mm] (x,y,z)\mapsto (\sqrt{x^2+y^2}-6)^2+z^2-25 [/mm] $) und gilt $Rang(Dg(a))=n-k$ (du musst also $ [mm] Rang(Df(p))=Rang\begin{pmatrix}\frac{48}{5}&\frac{64}{5}&6\end{pmatrix}=1 [/mm] $ zeigen), dann bilden [mm] \nabla g_1(a),...,\nabla g_{n-k}(a) [/mm] eine Basis des Normalenraums.
Also bildet [mm] $\nabla [/mm] f(p)$ im vorliegenden Fall eine Basis. Jetzt sucht man zwei lin. unabh. Vektoren (siehe obige Ausführung zur Parametrisierung) [mm] v_1, v_2, [/mm] für die [mm] $<\nabla [/mm] f(p), [mm] v_1>=0$ [/mm] sowie [mm] $<\nabla [/mm] f(p), [mm] v_2>=0$. [/mm] Sie sollten eine Basis des Tangentialraums bilden.
MfG
Ladon
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 So 12.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hi,
>
> ich wollte fragen, ob ich bei dieser Aufgabe richtig
> vorgegangen bin.
> Bei der Berechnung des Tangentialraumes an dem Punkt p
> bräuchte ich unter Umständen etwas Hilfe:
>
> Ich wende den Satz vom regulären Wert an. Dazu wähle ich
> die Funktion
>
> [mm]f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}[/mm]
>
> [mm](x,y,z)\mapsto (\sqrt{x^2+y^2}-6)^2+z^2-25[/mm]
>
> Offensichtlich ist [mm]f^{-1}(0)=N[/mm]
Nimm besser die Punkte (0,0,z), $z [mm] \in \IR$ [/mm] aus dem Definitionsbereich von f heraus, dann ist die Funktion auch differenzierbar und [mm]f^{-1}(0)=N[/mm] gilt immer noch.
> Somit wäre N eine zwei-dimensionale Untermannigfaltigkeit
> des [mm]\mathbb{R}^3[/mm]
An dieser Stelle wissen wir das aber noch nicht.
> Ich muss nur noch zeigen, dass die Jacobi-Matrix surjektiv
> ist, also ungleich Null.
>
> Die Jacobimatrix sollte:
>
> [mm]Df(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}(\sqrt{x^2+y^2}-6)\\\frac{4y}{\sqrt{x^2+y^2}}(\sqrt{x^2+y^2}-6)\\2z\end{pmatrix}[/mm]
>
> lauten.
Ich denke, dass du dich da vertan hast. Die ersten beiden Zeilen solltest du noch durch 2 dividieren. Außerdem ist die Jacobimatrix hier ein Zeilenvektor.
>
> Damit dies Null wird muss auf jeden Fall schon mal z=0
> gelten.
Ja
> Außerdem kann x und y nicht gleichzeitig Null sein, weil
> wir sonst durch Null teilen würden.
Bzw. weil die Funktion dort nicht definiert ist.
> Dann ist [mm]x=0 \vee \sqrt{x^2+y^2}-6=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{6-y^2}[/mm]
Die Implikation ist falsch, die brauchst du aber auch nicht: Man sieht doch auch so, dass wenn z=0 und [mm] \sqrt{x^2+y^2}-6=0 [/mm] gilt: $(x,y,z) [mm] \notin [/mm] N$
>
> Analog auch einmal für y.
>
> Rechnet man mit diesen ganzen Fällen weiter kommt man
> darauf, dass diese Punkte nicht in N liegen. Also ist die
> Jacobimatrix immer ungleich Null und somit surjektiv.
>
> Also ist N tatsächlich eine zwei dimensionale
> Untermannigfaltigkeit.
>
> Kann dies jemand bestätigen?
> Dabei ist mir wichtig, dass ich die Abbildung f geeignet
> gewählt habe. Die Fallunterscheidung und co. müsst ihr
> nicht nachrechnen, wenn ihr nicht wollt.
>
> Nun zum Tangentialraum.
>
> Dafür hätte ich den Punkt p in die Jacobimatrix
> eingesetzt
>
> [mm]Df(p)=\begin{pmatrix}\frac{48}{5}\\\frac{64}{5}\\6\end{pmatrix}[/mm]
Das ist ein Folgefehler.
> Und nun weiß ich leider nicht mehr wirklich weiter.
Der Tangentialraum ist die Ebene [mm] $T_pM=\{x \in \IR^3| df_px=0\}
[/mm]
>
> Wäre es bis hier hin korrekt?
> Über Hilfe würde ich mich freuen.
Liebe Grüße
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Do 16.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke für eure Antworten.
Leider habe ich derzeit keine Zeit mich mit dieser Aufgabe weiterhin zu beschäftigen.
Ich werde aber am Wochenende voraussichtlich darauf zurückkommen.
Entschuldigt, dass ich mich so lange nicht gemeldet habe. Ich hatte die letzten Tage viel zu tun.
:)
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