Tausch sup und Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Unter welchen Voraussetzungen gilt:
1.) [mm] \sup_{x}\integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\sup_{x}f(x) dx} [/mm] oder
2.) [mm] \sup_{x}\integral_{}^{}{f(x) dx} \le \integral_{}^{}{\sup_{x}f(x) dx} [/mm] |
Hallo Leute,
ich hoffe Ihr könnt mir hierbei helfen.
Ich habe mich gefragt, ob es allgemeine Voraussetzungen gibt (Bsp. für die Funktion f), dass ich das sup und Integral tauschen kann?
Oder gibt es auch Sätze dazu die das belegen?
Vielen lieben Dank im Voraus.
LG
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Hi,
> Unter welchen Voraussetzungen gilt:
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> 1.) [mm]\sup_{x}\integral_{}^{}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\sup_{x}f(x) dx}[/mm]
f sei nun also eine reellweertige Funktion. Außerdem nehmen wir an, dass Suprema und Integrale stets existieren.
Dann ist [mm] c:=\sup{f(x)}\in\IR.
[/mm]
Integrierst du das nun über x so, bekommst du erneut eine Abhängigkeit von x.
Anders aber, wenn du zuerst integrierst und dann das Supremum bestimmst.
Wir haben also:
LHS: Element von [mm] \IR
[/mm]
RHS: lineare Funktion.
Die Gleichheit passt also nicht.
> oder
> 2.) [mm]\sup_{x}\integral_{}^{}{f(x) dx} \le \integral_{}^{}{\sup_{x}f(x) dx}[/mm]
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> Hallo Leute,
>
> ich hoffe Ihr könnt mir hierbei helfen.
>
> Ich habe mich gefragt, ob es allgemeine Voraussetzungen
> gibt (Bsp. für die Funktion f), dass ich das sup und
> Integral tauschen kann?
>
> Oder gibt es auch Sätze dazu die das belegen?
>
> Vielen lieben Dank im Voraus.
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Unter welchen Voraussetzungen gilt:
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> 1.) [mm]\sup_{x}\integral_{}^{}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\sup_{x}f(x) dx}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
oder
wieso fragst Du Dich sowas? Wenn $\sup_x f(x)$ existiert, ist das ein fester Wert.
Ist $S:=\sup_x f(x)\,,$ so folgt
$\int \sup_x f(x)dx=S*x$ ($+c$)
Und bei
$\sup_x \int f(x)dx$
haben wir das Problem, dass Stammfunktionen nur bis auf eine additive
Konstante eindeutig sind. Insofern steht da - soweit ich das sehe - nichts
eindeutiges. Der Ausdruck, der wohl als
$\sup_x \left.\int f(t)dt\right|_{t=x}$
gemeint ist, ist "sinnfrei".
(Denn: Ist $M \subseteq \IR$ nach oben beschränkt mit $R:=\sup M\,,$ so folgt
$\sup\{m+c:\;\; m \in M\}=R+c\,.$)
Achja, zur Notation: Ist $F\,$ irgendeine Stammfunktion von $f\,,$ so meint
$\left.\int f(t)dt\right|_{t=x}$
nichts anderes als $F(x)\,.$ Da steht natürlich schon Quatsch, weil ich ich gar
nicht von allen Stammfunktionen eine "auszeichne". Eventuell kann man
mehr machen, wenn Du sagst, wie bei Euch
$\int f(x)dx$
definiert wurde. (Zum Beispiel könnte man, wenn $f\,$ auf $\IR$ definiert ist
und eine Stammfunktion hat, auch
$\int f(t)dt=F\,$
setzen, wobei $F(x):=G(x)-G(0)\,$ für eine Stammfunktion $G\,$ von $f\,$ sein
soll.)
Gruß,
Marcel
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