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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mi 08.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien p,q,r beliebige Aussagen. Zeigen Sie, dass das folgende Argument gültig ist mittels Umformungen.
[mm] 1)(p\wedge q)\gdw [/mm] r folgt aus [mm] p\wedge(q\gdw [/mm] r) |
Hallo,
1)
[mm] [p\wedge(q\gdw r)]\gdw[(p\wedge q)\gdw [/mm] r]
[mm] =[\neg(p\wedge(q\gdw r))]\vee[(p\wedge q)\gdw [/mm] r]
[mm] =[\neg p\vee\neg(q\gdw r)]\vee[\neg(p\wedge q)\wedge\neg r)\vee(p\wedge q\wedge [/mm] r)]
[mm] =[\neg p\vee(\neg(\neg [/mm] q [mm] \wedge \neg [/mm] r) [mm] \wedge \neg(q\wedge r)]\vee[((\neg p\vee\neg q)\wedge\neg r)\vee(p\wedge [/mm] q [mm] \wedge [/mm] r)]
= [mm] [\neg [/mm] p [mm] \vee((q \vee r)\wedge(\neg [/mm] q [mm] \vee \neg r))]\vee[((\neg p\vee\neg q)\wedge\neg r)\vee(p\wedge [/mm] q [mm] \wedge [/mm] r)]
Ich kriegs nich hin auf 1 zu kommen.
Lg,
sissi
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Hiho,
du fängst schon falsch an, denn:
[mm] (p\wedge q)\gdw[/mm] [/mm] r folgt aus [mm]p\wedge(q\gdw[/mm] r)
ist nicht:
> [mm][p\wedge(q\gdw r)]\gdw[(p\wedge q)\gdw[/mm] r]
überlege nochmal, was "folgt aus" bedeutet.
Desweiteren gehört zwischen logisch äquivalenten Formeln kein "=", sondern im logischen Sinne ein [mm] $\leftrightarrow$ .
Gruß,
Gono
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Do 09.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo
> du fängst schon falsch an, denn:
>
> [mm](p\wedge q)\gdw[/mm][/mm] r folgt aus [mm]p\wedge(q\gdw[/mm] r)
>
> ist nicht:
>
> > [mm][p\wedge(q\gdw r)]\gdw[(p\wedge q)\gdw[/mm] r]
>
> überlege nochmal, was "folgt aus" bedeutet.
Hab ich nur hier falsch aufgeschrieben, die Rechnung ist sonst mit Implikation umgeformt.
[mm] [p\wedge(q\gdw [/mm] r)] [mm] \Rightarrow[(p\wedge q)\gdw [/mm] r]
[mm]\leftrightarrow[/mm][mm] [\neg(p\wedge(q\gdw r))]\vee[(p\wedge q)\gdw [/mm] r]
[mm]\leftrightarrow[/mm][mm] [\neg(p\wedge(q\gdw r))]\vee[(\neg p\vee \neg q)\wedge \neg [/mm] r) [mm] \vee(p\wedge [/mm] q [mm] \wedge [/mm] r)]
[mm]\leftrightarrow[/mm][mm] [\neg [/mm] p [mm] \vee \neg(q \gdw r)]\vee[(\neg p\vee \neg q)\wedge \neg [/mm] r) [mm] \vee(p\wedge [/mm] q [mm] \wedge [/mm] r)]
[mm]\leftrightarrow[/mm][mm] [\neg [/mm] p [mm] \vee ((q\vee [/mm] r) [mm] \wedge (\neg [/mm] q [mm] \vee \neg r))]\vee[(\neg p\vee \neg q)\wedge \neg [/mm] r) [mm] \vee(p\wedge [/mm] q [mm] \wedge [/mm] r)]
Mhm, da hackts noch immer.
> Desweiteren gehört zwischen logisch äquivalenten Formeln
> kein "=", sondern im logischen Sinne ein [mm]\leftrightarrow[/mm] .
Und wie wird [mm]\leftrightarrow[/mm] bezeichnet(also bei einen mündlichen Vortrag, wie ich das Zeichen benenne?) Sag ich da logisch äquivalent dazu?
Liebe Grüße,
sissi
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Hiho,
ich glaube, du machst auch immer zu viele Schritte auf einmal.
Desweiteren ist es in meinen Augen immer sinnvoll so etwas weitestgehend in Normalformen umzuformen. Da sieht man meiner Meinung nach besser, was sich erstmal rauswirft und wie man dann weitermachen kann. Fangen wir doch erstmal links an:
[mm] $.\quad [/mm] p [mm] \wedge [/mm] (q [mm] \gdw [/mm] r)$
[mm] $\leftrightarrow p \wedge (q \Rightarrow r) \wedge (r \Rightarrow q)$
$\leftrightarrow p \wedge (\neg q \vee r) \wedge (\neg r \vee q)$
$\leftrightarrow p \wedge (\neg(q \vee r) \vee (r\wedge \neg r) \vee (\neg q \wedge q) \vee (r \wegde q))$
$\leftrightarrow p \wedge ((\neg q \wedge \neg r) \vee 0 \vee 0 \vee (r\wedge q))$
$\leftrightarrow (\neg q \wedge \neg r \wedge p) \vee (p \wedge r \wedge q)$
Nun betrachten wir mal die rechte Seite:
$.\quad (p \wedge q) \gdw r)$
$\leftrightarrow \left((p \wedge q) \Rightarrow r\right) \wedge \left(r \Rightarrow (p \wedge q)\right)$
$\leftrightarrow \left(\neg(p \wedge q) \vee r\right) \wedge \left(\neg r \vee (p \wedge q)\right)$
$\leftrightarrow (\neg(p \wedge q) \wedge \neg r) \vee (\neg(p \wedge q) \wedge (p \wedge q)) \vee (r \wedge \neg r) \vee (r \wedge p \wedge q)$
$\leftrightarrow ((\neg p\vee \neg q) \wedge \neg r) \vee 0 \vee 0 \vee (r\wedge p \wedge q)$
$\leftrightarrow (\neg p \wedge \neg r) \vee (\neg q \wedge \neg r) \vee (p \wedge r \wedge q)$
Ein kleiner Trick am Rande:
Mach dir mal klar, dass gilt: $a = (a \wedge b) \vee (a\wedge \neg b)$
Und damit können wir noch weiter umformen:
$\leftrightarrow (\neg p \wedge \neg r) \vee (\neg q \wedge \neg r \wedge \neg p) \vee (\neg q \wedge \neg r \wedge p) \vee (p \wedge r \wedge q)$
Jetzt gilt also zusammengefasst:
Linke Seite:
$.\quad p \wedge (q \gdw r)$
$\leftrightarrow (\neg q \wedge \neg r \wedge p) \vee (p \wedge r \wedge q)$
Rechte Seite:
$.\quad (p \wedge q) \gdw r)$
$\leftrightarrow (\neg q \wedge \neg r \wedge p) \vee (p \wedge r \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg r) \vee (\neg q \wedge \neg r \wedge \neg p)$
Was fällt dir auf?
Gruß,
Gono
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Fr 10.10.2014 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank,
das muss man nunmal erst hinbekommen zu sehen wie man am besten umformt in jeder Situation.
LG,
sissi
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