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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 So 02.11.2014 | | Autor: | Ceriana |
| Aufgabe | Zeige, dass folgender logischer Ausdruck eine Tautologie ist.
[mm] \neg(A \vee{B}) \gdw \neg{A} \wedge \neg{B} [/mm] |
Hallo,
eigentlich bereitet mir die Aufgabe keine Probleme. Im Gegenteil, meine Lösung scheint mir zu simpel als dass sie wahr sein könnte ;)
Nach dem Gesetz von de Morgan wissen wir dass [mm] \neg(A \vee{B}) \gdw \neg{A} \wedge \neg{B}. [/mm] Damit sind beide Seiten gleich und die Äquivalenz nachgewiesen, oder nicht?
Mit der Wahrheitstabelle komme ich zum selben Ergebnis, aber ich bin mir nicht sicher ob die Teil eines Beweises ist.
Habe ich mit der Umformung nach de Morgan bereits alles zu zeigende gezeigt oder habe ich da einen Denkfehler gemacht und was vergessen?
Vielen Dank,
Ceriana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 So 02.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Ceriana,
> Zeige, dass folgender logischer Ausdruck eine Tautologie
> ist.
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> [mm]\neg(A \vee{B}) \gdw \neg{A} \wedge \neg{B}[/mm]
> Hallo,
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> eigentlich bereitet mir die Aufgabe keine Probleme. Im
> Gegenteil, meine Lösung scheint mir zu simpel als dass sie
> wahr sein könnte ;)
>
> Nach dem Gesetz von de Morgan wissen wir dass [mm]\neg(A \vee{B}) \gdw \neg{A} \wedge \neg{B}.[/mm]
> Damit sind beide Seiten gleich und die Äquivalenz
> nachgewiesen, oder nicht?
Nein. Die Behauptung ist zwar eine Folgerung der De Morganschen
Gesetze, aber das ist kein Beweis.
> Mit der Wahrheitstabelle komme ich zum selben Ergebnis,
> aber ich bin mir nicht sicher ob die Teil eines Beweises
> ist.
Das ist genau richtig. Auf beiden Seite der "Spalte" muss dann
das "Gleiche" stehen. In diesem Fall steht auf beiden Spalten:
$f, f, f, [mm] w\$
[/mm]
(Ich hoffe, du weißt was ich meine, ansonsten frag nochmal.)
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 02.11.2014 | | Autor: | Ceriana |
Alles klar, ich hätte ich jetzt nicht gedacht dass eine Wahrheitstabelle als "Beweis" gilt. Aus der Umformung entstehen logischerweise zwei identische Spalten (vor der Umformung natürlich auch, aber danach ist es simpler), woraus dann die Tautologie folgt.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 So 02.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Alles klar, ich hätte ich jetzt nicht gedacht dass eine
> Wahrheitstabelle als "Beweis" gilt. Aus der Umformung
> entstehen logischerweise zwei identische Spalten (vor der
> Umformung natürlich auch, aber danach ist es simpler),
> woraus dann die Tautologie folgt.
Ich kopiere mal aus Wikipedia:
Eine Wahrheitstabelle oder Wahrheitstafel, auch Wahrheitswert-Tabelle oder Wahrheitsmatrix genannt, ist eine tabellarische Aufstellung des Wahrheitswertverlaufs einer logischen Aussage. Die Wahrheitstabelle zeigt für alle möglichen Zuordnungen von endlich vielen (häufig zwei) Wahrheitswerten zu den aussagenlogisch nicht weiter zerlegbaren Teilaussagen, aus denen die Gesamtaussage zusammengesetzt ist, welchen Wahrheitswert die Gesamtaussage unter der jeweiligen Zuordnung annimmt. Die Wahrheitstabelle wird genutzt, um Wahrheitswertefunktionen beziehungsweise boolesche Funktionen darzustellen oder zu definieren und um einfache aussagenlogische Nachweise zu führen. Beispielsweise werden Wahrheitstabellen verwendet, um die Bedeutung von Junktoren festzulegen.
> Danke!
Gerne.
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