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Hallo
ich habe wieder mal eine Verständnisfrage zum Thema Taylorreihen.
Es geht um die Herleitung von
ln(1+x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} x^k, [/mm] für |x| < 1
Laut meinem Buch folgt das aus folgenden zwei Dingen:
1) Zum Einen aus der Regel:
"Ist die Taylorreihe der Ableitung gefunden,
f'(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} b_k [/mm] (x - [mm] x_0)^k
[/mm]
so ist die Taylorreihe von f gegeben durch
f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{b_k}{k + 1} [/mm] (x - [mm] x_0)^{k + 1}"
[/mm]
2) Und zum Zweiten aus
[mm] \bruch{1}{1 - x} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^k, [/mm] für |x| < 1
Jetzt ist aber die Ableitung
ln(1 + x)' [mm] \not= [/mm] 1 - x
sondern
ln(1 + x)' = 1 + x
Wie kommt man also auf die Geschichte mit den abwechselnden Vorzeichen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 So 14.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> ich habe wieder mal eine Verständnisfrage zum Thema
> Taylorreihen.
> Es geht um die Herleitung von
>
> ln(1+x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} x^k,[/mm]
> für |x| < 1
>
> Laut meinem Buch folgt das aus folgenden zwei Dingen:
>
> 1) Zum Einen aus der Regel:
>
> "Ist die Taylorreihe der Ableitung gefunden,
>
> f'(x) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_k[/mm] (x - [mm]x_0)^k[/mm]
>
> so ist die Taylorreihe von f gegeben durch
>
> f(x) = [mm]f(x_0)[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{b_k}{k + 1}[/mm] (x
> - [mm]x_0)^{k + 1}"[/mm]
>
> 2) Und zum Zweiten aus
>
> [mm]\bruch{1}{1 - x}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} x^k,[/mm] für |x| < 1
>
> Jetzt ist aber die Ableitung
>
> ln(1 + x)' [mm]\not=[/mm] 1 - x
>
> sondern
>
> ln(1 + x)' = 1 + x
>
> Wie kommt man also auf die Geschichte mit den abwechselnden
> Vorzeichen?
Setze in die geometrische Reihe, die in 2) steht , statt x mal -x ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 So 14.10.2018 | | Autor: | sancho1980 |
Jupp, wollte grad schreiben, dass ich grad von allein drauf gekommen bin :-D
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