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| Aufgabe | Sei für [mm] \alpha \in \IR [/mm] die Funktion f auf dem offenen Intervall (0,1) definiert durch f(x) = [mm] (1+x)^{\alpha}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass für die Taylorreihe im Punkt Null gilt:
T(f,0)(x)= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{\alpha \\ k} x^{k}
[/mm]
b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorreihe
c) Zeigen Sie, dass die Taylorreihe auf ganz (-1,1) gegen f konvergiert
d) Berechnen Sie anhand der hergeleiteten Formel das Taylorpolynom 4.Ordnung der funktion E(v) = [mm] mc^{2}[\bruch{1}{\wurzel{1-(v/c)^{2}}}-1] [/mm] |
So die a) hab ich bewiesen
Bei der b) vermute ich dass der Konvergenzradius 1 ist da ich ja in der c) zeigen soll, dass die Funktion auf (-1,1) gegen f konvergiert aber ich weiss bei beidem nicht so richtig wie ich das zeigen soll.
Bei der d) hab ich das Problem, dass die Funktion ja gar nicht in der geforderten Form ist und ich somit gar nicht weiss wie ich meine Formel anwenden soll
Hoffe ihr könnt mir einen Ansatz geben
lg eddie
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Hallo eddiebingel,
eine Teilantwort zu b), bin auf dem Sprung ..
> Sei für [mm]\alpha \in \IR[/mm] die Funktion f auf dem offenen
> Intervall (0,1) definiert durch f(x) = [mm](1+x)^{\alpha}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass für die Taylorreihe im Punkt Null
> gilt:
> T(f,0)(x)= [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{\alpha \\
k} x^{k}[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorreihe
>
> c) Zeigen Sie, dass die Taylorreihe auf ganz (-1,1) gegen f
> konvergiert
>
> d) Berechnen Sie anhand der hergeleiteten Formel das
> Taylorpolynom 4.Ordnung der funktion E(v) =
> [mm]mc^{2}[\bruch{1}{\wurzel{1-(v/c)^{2}}}-1][/mm]
> So die a) hab ich bewiesen
>
> Bei der b) vermute ich dass der Konvergenzradius 1 ist da
> ich ja in der c) zeigen soll, dass die Funktion auf (-1,1)
> gegen f konvergiert aber ich weiss bei beidem nicht so
> richtig wie ich das zeigen soll.
>
> Bei der d) hab ich das Problem, dass die Funktion ja gar
> nicht in der geforderten Form ist und ich somit gar nicht
> weiss wie ich meine Formel anwenden soll
>
> Hoffe ihr könnt mir einen Ansatz geben
b) Konvergenzkriterien für Potenzreihen:
Berechne [mm]\rho=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|[/mm] mit [mm]a_k=\vektor{\alpha\\
k}[/mm]
Nutze die Def. des Binomialkoeffizienten und du kommst schnell auf [mm]\rho=1[/mm]
Damit hast du (absolute) Konvergenz für [mm]|x|<\rho[/mm] und Divergenz für [mm]|x|>\rho[/mm]
>
> lg eddie
Gruß
schachuzipus
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> Sei für [mm]\alpha \in \IR[/mm] die Funktion f auf dem offenen
> Intervall (0,1) definiert durch f(x) = [mm](1+x)^{\alpha}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass für die Taylorreihe im Punkt Null
> gilt:
> T(f,0)(x)= [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{\alpha \\ k} x^{k}[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorreihe
>
> c) Zeigen Sie, dass die Taylorreihe auf ganz (-1,1) gegen f
> konvergiert
>
> d) Berechnen Sie anhand der hergeleiteten Formel das
> Taylorpolynom 4.Ordnung der funktion E(v) =
> [mm]mc^{2}[\bruch{1}{\wurzel{1-(v/c)^{2}}}-1][/mm]
> So die a) hab ich bewiesen
>
> Bei der b) vermute ich dass der Konvergenzradius 1 ist da
> ich ja in der c) zeigen soll, dass die Funktion auf (-1,1)
> gegen f konvergiert aber ich weiss bei beidem nicht so
> richtig wie ich das zeigen soll.
Wie schachuzipus schon schrieb, du brauchst aber noch eine Fallunterscheidung für den Fall [mm] \alpha\in\IN
[/mm]
>
> Bei der d) hab ich das Problem, dass die Funktion ja gar
> nicht in der geforderten Form ist und ich somit gar nicht
> weiss wie ich meine Formel anwenden soll
Mit x = [mm] -(v/c)^2 [/mm] kannst du den Ausdruck [mm] 1/\sqrt{...} [/mm] in eine Taylorreihe entwickeln.
>
> Hoffe ihr könnt mir einen Ansatz geben
>
> lg eddie
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Ok a) und b) hab ich jetzt bearbeitet und hab gesehen das für [mm] \alpha \in \IN [/mm] die Reihe abbricht denn [mm] \vektor{\alpha \\ k} [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n} \bruch{\alpha-k+1}{k} [/mm] = 0
Bei der c) muss ich ja jetzt zeigen, dass für |x|< 1 das Restglied gegen 0 geht (wir hatten als Darstellung bis jetzt Lagrange- und Cauchydarstellung)
Ich habe es mit Lagrange probiert und so angefangen
[mm] R_{k}(x_{0}) [/mm] = [mm] \bruch{(b-a)^{k}}{k!}*f^{(k)}(x_{0})
[/mm]
jetzt für b = 1 a = -1 [mm] x_{0} [/mm] = 0
folgt [mm] R_{k}(0) [/mm] = [mm] \bruch{2^{k}}{k!}*f^{(k)}(0)
[/mm]
= [mm] \bruch{2^{k}}{k!}*\alpha*(\alpha-1)*...*(\alpha-k+1)
[/mm]
=T(f,0)(2)
aber dass konvergiert ja nicht also wo ist mein Fehler oder besser wie zeige ich das?
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> Ok a) und b) hab ich jetzt bearbeitet und hab gesehen das
> für [mm]\alpha \in \IN[/mm] die Reihe abbricht denn [mm]\vektor{\alpha \\ k}[/mm]
> = [mm]\produkt_{k=1}^{n} \bruch{\alpha-k+1}{k}[/mm] = 0
>
> Bei der c) muss ich ja jetzt zeigen, dass für |x|< 1 das
> Restglied gegen 0 geht (wir hatten als Darstellung bis
> jetzt Lagrange- und Cauchydarstellung)
>
> Ich habe es mit Lagrange probiert und so angefangen
> [mm]R_{k}(x_{0})[/mm] = [mm]\bruch{(b-a)^{k}}{k!}*f^{(k)}(x_{0})[/mm]
>
> jetzt für b = 1 a = -1 [mm]x_{0}[/mm] = 0
> folgt [mm]R_{k}(0)[/mm] = [mm]\bruch{2^{k}}{k!}*f^{(k)}(0)[/mm]
> = [mm]\bruch{2^{k}}{k!}*\alpha*(\alpha-1)*...*(\alpha-k+1)[/mm]
> =T(f,0)(2)
>
> aber dass konvergiert ja nicht also wo ist mein Fehler oder
> besser wie zeige ich das?
Das Lagrenge-Restglied ist
[mm] R_k(x)=\bruch{x^{k+1}}{(k+1)!}*f^{(k+1)}(\xi)
[/mm]
mit einem [mm] \xi [/mm] zwischen 0 und x
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> > Ok a) und b) hab ich jetzt bearbeitet und hab gesehen das
> > für [mm]\alpha \in \IN[/mm] die Reihe abbricht denn [mm]\vektor{\alpha \\ k}[/mm]
> > = [mm]\produkt_{k=1}^{n} \bruch{\alpha-k+1}{k}[/mm] = 0
> >
> > Bei der c) muss ich ja jetzt zeigen, dass für |x|< 1 das
> > Restglied gegen 0 geht (wir hatten als Darstellung bis
> > jetzt Lagrange- und Cauchydarstellung)
> >
> > Ich habe es mit Lagrange probiert und so angefangen
> > [mm]R_{k}(x_{0})[/mm] = [mm]\bruch{(b-a)^{k}}{k!}*f^{(k)}(x_{0})[/mm]
> >
> > jetzt für b = 1 a = -1 [mm]x_{0}[/mm] = 0
> > folgt [mm]R_{k}(0)[/mm] = [mm]\bruch{2^{k}}{k!}*f^{(k)}(0)[/mm]
> > = [mm]\bruch{2^{k}}{k!}*\alpha*(\alpha-1)*...*(\alpha-k+1)[/mm]
> > =T(f,0)(2)
> >
> > aber dass konvergiert ja nicht also wo ist mein Fehler oder
> > besser wie zeige ich das?
> Das Lagrenge-Restglied ist
> [mm]R_k(x)=\bruch{x^{k+1}}{(k+1)!}*f^{(k+1)}(\xi)[/mm]
> mit einem [mm]\xi[/mm] zwischen 0 und x
Können wir nun nicht sagen dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}R_k(x)=\bruch{x^{k+1}}{(k+1)!}*f^{(k+1)}(\xi) [/mm] = 0 ist weil |x|< 1 oder geht das zu schnell ?
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> > > Ok a) und b) hab ich jetzt bearbeitet und hab gesehen das
> > > für [mm]\alpha \in \IN[/mm] die Reihe abbricht denn [mm]\vektor{\alpha \\ k}[/mm]
> > > = [mm]\produkt_{k=1}^{n} \bruch{\alpha-k+1}{k}[/mm] = 0
> > >
> > > Bei der c) muss ich ja jetzt zeigen, dass für |x|< 1 das
> > > Restglied gegen 0 geht (wir hatten als Darstellung bis
> > > jetzt Lagrange- und Cauchydarstellung)
> > >
> > > Ich habe es mit Lagrange probiert und so angefangen
> > > [mm]R_{k}(x_{0})[/mm] = [mm]\bruch{(b-a)^{k}}{k!}*f^{(k)}(x_{0})[/mm]
> > >
> > > jetzt für b = 1 a = -1 [mm]x_{0}[/mm] = 0
> > > folgt [mm]R_{k}(0)[/mm] = [mm]\bruch{2^{k}}{k!}*f^{(k)}(0)[/mm]
> > > =
> [mm]\bruch{2^{k}}{k!}*\alpha*(\alpha-1)*...*(\alpha-k+1)[/mm]
> > > =T(f,0)(2)
> > >
> > > aber dass konvergiert ja nicht also wo ist mein Fehler oder
> > > besser wie zeige ich das?
> > Das Lagrenge-Restglied ist
> > [mm]R_k(x)=\bruch{x^{k+1}}{(k+1)!}*f^{(k+1)}(\xi)[/mm]
> > mit einem [mm]\xi[/mm] zwischen 0 und x
> Können wir nun nicht sagen dass
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}R_k(x)=\bruch{x^{k+1}}{(k+1)!}*f^{(k+1)}(\xi)[/mm]
> = 0 ist weil |x|< 1 oder geht das zu schnell ?
Nein, das ist nicht klar, da [mm] f^{(k+1)}(\xi) [/mm] stark wachsen kann. Vermutlich brauch man die Cauchy-Form für das Restglied, ich sehe allerdings im Moment auch nicht so recht, wie der Beweis am einfachsten geht.
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Nach Wälzen von Literatur hab ich heraus gefunden dass man mit der Lagrange Restgliedsdarstellung nicht weiter kommt in der Literatur benutzt man die Integral-Darstellung, die wir allerdings noch nicht hatten also probier ich mein Glück mal mit cauchy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Do 10.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Na ich muß schon sagen, wenn man das Cauchy-Restglied nicht verwenden darf (kann) , dann ist der Beweis schon happig und , so jedenfalls meine Meinung, untauglich als Übungsaufgabe.
Deswegen schreibe ich hier eine Lösung rein ( der Leser muß noch einiges selbst beweisen)
Für das Lagrange_ Restglied gilt:
[mm] R_n(x)=\vektor{\alpha\\ n}x^n\xi^{\alpha-n} ~~~(\xi [/mm] zw. 0 und x)
Edit:
Es muß natürlich lauten:
$ [mm] R_n(x)=\vektor{\alpha\\ n}x^n(1+\xi)^{\alpha-n} ~~~(\xi [/mm] $ zw. 0 und x)
Wir halten x [mm] \in [/mm] (0,1) fest und setzen [mm] a_n:=\vektor{\alpha\\ n}x^n
[/mm]
Zeige: [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} \to [/mm] -x$ für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Damit konv. die Reihe [mm] \sum a_n. [/mm] Somit ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge.
Weiter ist 0 [mm] \le \xi^{\alpha-n} \le [/mm] 1 für n> [mm] \alpha.
[/mm]
Fazit: [mm] R_n(x) \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Damit haben wir: $f(x)= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{\alpha \\ k} x^{k} [/mm] $ für 0<x<1 und das gilt natürlich auch für x=0.
Im Folgenden können wir [mm] \alpha \ne [/mm] 0 annehmen.
Für |x|<1 setzen wir: $g(x): [mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{\alpha \\ k} x^{k} [/mm] $
und wir wissen:
(*) f(x)=g(x) für x [mm] \in [/mm] [0,1)
zeige der Reihe nach:
1. $(1+x)g'(x)= [mm] \alpha [/mm] g(x)$ für |x|<1
2. $(1+x)f'(x)= [mm] \alpha [/mm] f(x)$ für |x|<1
3. [mm] (\bruch{f}{g})'=0 [/mm] auf (-1,1)
Es folgt: es gibt ein c [mm] \in \IR [/mm] mit:
f=cg auf (-1,1).
Wegen (*) ist c=1.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Fr 11.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo fred97,
ich wollte gerade wieder von einem deiner ideenreichen Artikel lernen,
> Weiter ist 0 [mm]\le \xi^{\alpha-n} \le[/mm] 1 für n> [mm]\alpha.[/mm]
doch jetzt wundere ich mich gerade:
Zum Beispiel für [mm] \xi=\frac{1}{2} [/mm] ist doch [mm] (1/2)^{\alpha-n} [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] nicht nach oben beschränkt (es gilt [mm] 0<\xi
Stimmt da eventuell was nicht?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 Sa 12.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
>
> ich wollte gerade wieder von einem deiner ideenreichen
> Artikeln lernen,
> > Weiter ist 0 [mm]\le \xi^{\alpha-n} \le[/mm] 1 für n> [mm]\alpha.[/mm]
> doch jetzt wundere ich mich gerade:
> Zum Beispiel für [mm]\xi=\frac{1}{2}[/mm] ist doch
> [mm](1/2)^{\alpha-n}[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] nicht nach oben
> beschränkt (es gilt [mm]0<\xi
> Stimmt da eventuell was nicht?
Hallo kamaleonti,
beim Restglied hatte ich mich vertippt, es muß lauten:
$ [mm] R_n(x)=\vektor{\alpha\\ n}x^n(1+\xi)^{\alpha-n} ~~~(\xi [/mm] $ zw. 0 und x)
Danke fürs Aufpassen.
FRED
>
> LG
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wie hast du denn die d) gelöst?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 11.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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