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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Sa 21.04.2012 | | Autor: | dudu93 |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Funktion [mm] \bruch{3x-7}{x^2-5x+6} [/mm] im Punkt [mm] x_0 [/mm] = 1 in eine Taylor-Reihe. Geben Sie die ersten 5 Reihenglieder explizit an und bestimmen Sie den Konvergenzbereich. |
Hallo!
Ich habe zuerst die Ableitungen gebildet und dann jeweils den Enticklungspunkt eingesetzt.
Bei der zweiten Ableitung gibt es ein Problem. Da komme ich nicht auf den Wert in der Musterlösung.
f'(x) = [mm] \bruch{-3x^2 + 14x - 17}{(x^2 - 5x + 6)^2} [/mm]
f'(1)= = -2
_________________________________
f''(x) = [mm] \bruch{(-6x + 14)(x^2 - 5x + 6)^2 - (-3x^2 + 14x - 17) [2(x^2 - 5x + 6)*(2x - 5)]}{(x^2 - 5x + 6)^4} [/mm]
Wenn ich hier für x 1 einsetze, komme ich allerdings auf -28,5.
Setze ich das in die allgemeine Form der Taylor-Reihe ein...:
[mm] T(x:x_0) [/mm] = [mm] \bruch{-28,5}{2!}(x-1)^2
[/mm]
dann komme ich auf [mm] -14,25(x-1)^2
[/mm]
In der Musterlösung steht allerdings [mm] -\bruch{5}{4}(x-1)^2
[/mm]
Weiß jemand, wo der Fehler liegt?
LG
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Hallo dudu93,
> Entwickeln Sie die Funktion [mm]\bruch{3x-7}{x^2-5x+6}[/mm] im Punkt
> [mm]x_0[/mm] = 1 in eine Taylor-Reihe. Geben Sie die ersten 5
> Reihenglieder explizit an und bestimmen Sie den
> Konvergenzbereich.
> Hallo!
>
> Ich habe zuerst die Ableitungen gebildet und dann jeweils
> den Enticklungspunkt eingesetzt.
>
> Bei der zweiten Ableitung gibt es ein Problem. Da komme ich
> nicht auf den Wert in der Musterlösung.
>
> f'(x) = [mm]\bruch{-3x^2 + 14x - 17}{(x^2 - 5x + 6)^2}[/mm]
>
> f'(1)= = -2
> _________________________________
>
> f''(x) = [mm]\bruch{(-6x + 14)(x^2 - 5x + 6)^2 - (-3x^2 + 14x - 17) [2(x^2 - 5x + 6)*(2x - 5)]}{(x^2 - 5x + 6)^4}[/mm]
>
> Wenn ich hier für x 1 einsetze, komme ich allerdings auf
> -28,5.
>
> Setze ich das in die allgemeine Form der Taylor-Reihe
> ein...:
>
> [mm]T(x:x_0)[/mm] = [mm]\bruch{-28,5}{2!}(x-1)^2[/mm]
>
> dann komme ich auf [mm]-14,25(x-1)^2[/mm]
>
> In der Musterlösung steht allerdings [mm]-\bruch{5}{4}(x-1)^2[/mm]
>
> Weiß jemand, wo der Fehler liegt?
>
Der Fehler ist beim Einsetzen passiert.
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Sa 21.04.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke für die Antwort.
Das bedeutet? Ich habe doch einfach nur ganz normal den Entwicklungspunkt in die zweite Ableitung eingesetzt und dann diese Funktion ausgerechnet. Da komme ich auf -28,5.
Und diesen Wert setzt man dann doch einfach in die allg. Form d. Taylor-Polynoms ein.
LG
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Hallo dudu93,
> Danke für die Antwort.
> Das bedeutet? Ich habe doch einfach nur ganz normal den
Wahrscheinlich hast Du beim Einsetzen irgendein Vorzeichen verdreht.
> Entwicklungspunkt in die zweite Ableitung eingesetzt und
> dann diese Funktion ausgerechnet. Da komme ich auf -28,5.
> Und diesen Wert setzt man dann doch einfach in die allg.
> Form d. Taylor-Polynoms ein.
>
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Sa 21.04.2012 | | Autor: | dudu93 |
Ich habe seit gestern dran rumprobiert und alles genau durchgeschaut. Ich komme stets auf das gleiche Ergebnis. Ich denke, dass ich alle Vorzeichen beachtet habe.
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Hallo dudu93,
> Ich habe seit gestern dran rumprobiert und alles genau
> durchgeschaut. Ich komme stets auf das gleiche Ergebnis.
> Ich denke, dass ich alle Vorzeichen beachtet habe.
Dann solltest du hier vorrechnen.
Ich habe mir nur die 1.Anbleitung angesehen, die ist korrekt, aber [mm]f'(1)\neq -2[/mm] sondern [mm]-3/2[/mm]
Also zeige deine Rechenschritte!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Sa 21.04.2012 | | Autor: | dudu93 |
f(1) = -2
f'(x) = [mm] \bruch{-3x^2 + 14x - 17}{(x^2 - 5x + 6)^2} [/mm]
f'(1)= = -3/2
_________________________________
f''(x) = [mm] \bruch{(-6x + 14)(x^2 - 5x + 6)^2 - (-3x^2 + 14x - 17) [2(x^2 - 5x + 6)*(2x - 5)]}{(x^2 - 5x + 6)^4} [/mm]
f''(1) = [mm] \bruch{38*(-12)}{16} [/mm] = [mm] \bruch{-456}{16} [/mm] = -28,5
T = -2 - [mm] \bruch{3}{2}(x [/mm] - 1) - 14,25 (x - [mm] 1)^2
[/mm]
-14,25 bekomme ich durch Teilen mit 2! bzw. 2
Und rauskommen müsste [mm] -\bruch{5}{4} [/mm] statt -14,25
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Hallo dudu93,
> f(1) = -2
>
> f'(x) = [mm]\bruch{-3x^2 + 14x - 17}{(x^2 - 5x + 6)^2}[/mm]
>
> f'(1)= = -3/2
> _________________________________
>
> f''(x) = [mm]\bruch{(-6x + 14)(x^2 - 5x + 6)^2 - (-3x^2 + 14x - 17) [2(x^2 - 5x + 6)*(2x - 5)]}{(x^2 - 5x + 6)^4}[/mm]
>
> f''(1) = [mm]\bruch{38*(-12)}{16}[/mm] = [mm]\bruch{-456}{16}[/mm] = -28,5
>
Hier muss doch stehen:
[mm]f''\left(1\right)=\bruch{\left(-6*1+14\right)*\left(1*1-2*1+6\right)^{2}-\left(\left(-3\right)*1+14*1-17\right)*2*\left(1-5*1+6\right)*\left(2*1-5\right)}{\left(1-5*1+6\right)^{2}}[/mm]
[mm]=\bruch{8*2^{2}-\left(-6\right)*2*2*\left(-3\right)}{2^{4}[/mm]
> T = -2 - [mm]\bruch{3}{2}(x[/mm] - 1) - 14,25 (x - [mm]1)^2[/mm]
>
> -14,25 bekomme ich durch Teilen mit 2! bzw. 2
>
> Und rauskommen müsste [mm]-\bruch{5}{4}[/mm] statt -14,25
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Sa 21.04.2012 | | Autor: | dudu93 |
Vielen Dank!
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