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Taylor-Reihen: Konvergenzbereich
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Sa 23.04.2011
Autor: Dante19

Aufgabe
Entwickeln Sie die Funktion f(x) [mm] =\bruch{3x-7}{x^2-5x+6} [/mm]
im Punkt x0 = 1 in eine Taylor-Reihe.
Geben Sie die ersten fünf Reihenglieder explizit an und bestimmen Sie den Konvergenzbereich




hi

Also ich habe die PBZ von f(x) [mm] =\bruch{3x-7}{x^2-5x+6} [/mm]

und da kommt f(x) [mm] =\bruch{3x-7}{x^2-5x+6}=\bruch{2}{x-3}+\bruch{1}{x-2} [/mm]

raus

Was mir Schwierigkeiten bereitet ist [mm] \bruch{2}{x-3} [/mm]

[mm] =\bruch{2}{-5+x+2} [/mm] hier weiß ich nicht ob die 2/5 oder 1/5 rausholen muss, ich habe es mal mit den 1/5 gerechnet

[mm] \bruch{-1}{5}*\bruch{2}{1-x+\bruch{2}{5}}=\bruch{-1}{5}(1+\bruch{x+2}{5}+\bruch{(x+2)^2}{(5)^2}+....)= [/mm]

[mm] \bruch{-1}{5}-\bruch{x+2}{5^2}-\bruch{(x+2)^2}{5^3}...=-\summe_{\infty}^{k=0} \bruch{1}{5}^k+1 (x+2)^k [/mm]

Konvergenzbereich

[mm] |\bruch{x+2}{5}|<1 \Rightarrow -1<|\bruch{x+2}{5}|<1 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] -5<|x+2|<5 [mm] \Rightarrow [/mm] -7<|x|<3

konvergenz fuer [mm] x\in [/mm] (-7,3)


        
Bezug
Taylor-Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Sa 23.04.2011
Autor: MathePower

Hallo Dante19,

> Entwickeln Sie die Funktion f(x) [mm]=\bruch{3x-7}{x^2-5x+6}[/mm]
>  im Punkt x0 = 1 in eine Taylor-Reihe.
>  Geben Sie die ersten fünf Reihenglieder explizit an und
> bestimmen Sie den Konvergenzbereich
>  
>
>
> hi
>  
> Also ich habe die PBZ von f(x) [mm]=\bruch{3x-7}{x^2-5x+6}[/mm]
>  
> und da kommt f(x)
> [mm]=\bruch{3x-7}{x^2-5x+6}=\bruch{2}{x-3}+\bruch{1}{x-2}[/mm]
>  
> raus
>  
> Was mir Schwierigkeiten bereitet ist [mm]\bruch{2}{x-3}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{2}{-5+x+2}[/mm] hier weiß ich nicht ob die 2/5 oder 1/5
> rausholen muss, ich habe es mal mit den 1/5 gerechnet
>  
> [mm]\bruch{-1}{5}*\bruch{2}{1-x+\bruch{2}{5}}=\bruch{-1}{5}(1+\bruch{x+2}{5}+\bruch{(x+2)^2}{(5)^2}+....)=[/mm]
>  
> [mm]\bruch{-1}{5}-\bruch{x+2}{5^2}-\bruch{(x+2)^2}{5^3}...=-\summe_{\infty}^{k=0} \bruch{1}{5}^k+1 (x+2)^k[/mm]


Der Entwicklungspunkt ist doch [mm]x_{0}=1[/mm]

Daher mußt Du schreiben:

[mm]\bruch{2}{x-3}=\bruch{2}{\left(x-1\right)-2}[/mm]

bzw.

[mm]\bruch{1}{x-2}=\bruch{1}{\left(x-1\right)-1}[/mm]

Und das kannst Du dann in eine geometrische Reihe umwandeln.


>  
> Konvergenzbereich
>  
> [mm]|\bruch{x+2}{5}|<1 \Rightarrow -1<|\bruch{x+2}{5}|<1[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] -5<|x+2|<5 [mm]\Rightarrow[/mm] -7<|x|<3
>  
> konvergenz fuer [mm]x\in[/mm] (-7,3)

>


Gruss
MathePower  

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