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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Do 12.04.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | | Eine Funktion f sei auf [mm] (0,\infty) [/mm] dreimal differenzierbar und es gelte [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x)=a und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f'''(x)=0. Es ist zu zeigen, dass auch [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f''(x)=0 und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f'(x)=0. |
Hi,
ich habe hier die Lösung vorliegen, kann aber relativ wenig damit anfangen, vielleicht kann mir jemand helfen.
Sei x>1. Da Taylorformel, [mm] \exists \varepsilon_{1}\in(x,x+1), \varepsilon_{2}\in(x-1,x).
[/mm]
1. Frage: [mm] \varepsilon [/mm] ist doch immer [mm] \in [/mm] (x,a) , wobei a der Entwicklungspunkt ist. Wie kommt man auf [mm] \exists \varepsilon_{1}\in(x,x+1), \varepsilon_{2}\in(x-1,x)???
[/mm]
Weiter: [mm] f(x+1)=f(x)+f'(x)+\bruch{f''(x)}{2}+\bruch{f'''(\varepsilon_{1})}{6}
[/mm]
und [mm] f(x-1)=f(x)-f'(x)+\bruch{f''(x)}{2}-\bruch{f'''(\varepsilon)_{2}}{6}
[/mm]
2.Frage: Wo ist der Entwicklungspunkt geblieben? Wie kommen die Vorzeichen (vor allem beim 2.) zustande?
Jetzt werden beide addiert, also f(x-1)+f(x+1) und nach f'(x) und f''(x) umgestellt, weil man ja zeigen will, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f'(x)=0 bzw. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f''(x)=0.
[mm] f''(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)-\bruch{1}{6}(f'''(\varepsilon_{1})-f'''(\varepsilon_{2}) [/mm]
und
[mm] 2f'(x)=f(x+1)-f(x-1)-\bruch{1}{6}(f'''(\varepsilon_{1})+f'''(\varepsilon_{2}))
[/mm]
und daraus wird gefolgert: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f'(x)=0 und
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f''(x)=0.
Warum? Warum diese Vorgehensweise? Wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen kann!
Danke
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo barsch
> Eine Funktion f sei auf [mm](0,\infty)[/mm] dreimal differenzierbar
> und es gelte [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x)=a und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f'''(x)=0. Es ist zu zeigen,
> dass auch [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f''(x)=0 und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f'(x)=0.
> Hi,
>
> ich habe hier die Lösung vorliegen, kann aber relativ wenig
> damit anfangen, vielleicht kann mir jemand helfen.
>
> Sei x>1. Da Taylorformel, [mm]\exists \varepsilon_{1}\in(x,x+1), \varepsilon_{2}\in(x-1,x).[/mm]
>
> 1. Frage: [mm]\varepsilon[/mm] ist doch immer [mm]\in[/mm] (x,a) , wobei a
> der Entwicklungspunkt ist. Wie kommt man auf [mm]\exists \varepsilon_{1}\in(x,x+1), \varepsilon_{2}\in(x-1,x)???[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] liegt immer im Intervall zwischen Entwicklungspkt und Punkt, also zwischen [mm] x_0 [/mm] und x, was dein a ist weiss ich nicht.
Entwicklungspkt hier s.u.
> Weiter:
> [mm]f(x+1)=f(x)+f'(x)+\bruch{f''(x)}{2}+\bruch{f'''(\varepsilon_{1})}{6}[/mm]
> und
> [mm]f(x-1)=f(x)-f'(x)+\bruch{f''(x)}{2}-\bruch{f'''(\varepsilon)_{2}}{6}[/mm]
>
> 2.Frage: Wo ist der Entwicklungspunkt geblieben? Wie kommen
> die Vorzeichen (vor allem beim 2.) zustande?
Der Entwicklungspkt ist x, wenn du statt x ueberall [mm] x_0 [/mm] schreibst, siehst du vielleicht klarer. Wert bei [mm] x_0+1 [/mm] und [mm] x_0-1 [/mm] so dass du Potenzen von [mm] (x_0+1-x_0)=1 [/mm] und von [mm] (x_0 -1-x_0=(-1) [/mm] hast. daher die Vorzeichen!
> Jetzt werden beide addiert, also f(x-1)+f(x+1) und nach
> f'(x) und f''(x) umgestellt, weil man ja zeigen will, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f'(x)=0 bzw.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f''(x)=0.
>
> [mm]f''(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)-\bruch{1}{6}(f'''(\varepsilon_{1})-f'''(\varepsilon_{2})[/mm]
> und
>
> [mm]2f'(x)=f(x+1)-f(x-1)-\bruch{1}{6}(f'''(\varepsilon_{1})+f'''(\varepsilon_{2}))[/mm]
>
> und daraus wird gefolgert: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm]
> f'(x)=0 und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f''(x)=0.
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x+1)=\limes_{x\rightarrow\infty}f(x-1)=\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=0[/mm]
ebenso die f''' gegen 0.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Do 12.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi leduart,
danke für die schnelle und gute Antwort. Habe es jetzt nachvollziehen können.
Eine Frage habe ich jedoch noch:
>[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x+1)=\limes_{x\rightarrow\infty}f(x-1)=\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=0[/mm]
> ebenso die f''' gegen 0.
Es ist aber:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=a [/mm] folgt daraus:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x+1)=\limes_{x\rightarrow\infty}f(x-1)=\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=a[/mm] ?
Soweit ich das verstanden habe, müsste das rauskommen.
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:42 Fr 13.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo barsch
Du hast natuerlich recht, beides geht gegen a, die differenz dann gegen 0
es gilt allgemein fuer
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x+a)=\limes_{x\rightarrow\infty}f(x-a)=\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)
[/mm]
Gruss leduart
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