Taylor < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mo 11.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, an alle!
Ich steh bei dieser Aufgabe vor einem "kleinen" Problem. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Aufgabe:
Es sei f: ]- [mm] \bruch{1}{e};e[ \to [/mm] ]-1;1[ die Umkehrfunktion von
g: ]-1;1[ [mm] \to \IR [/mm] ; g(t) = t exp(t)
Bestimme die Taylorentwicklung von f bis zur 3. Ordnung an der Stelle t = 0 mit Restglied [mm] o(t^{3}).
[/mm]
Mein Problem:
An sich weiß ich ja, wie man die Taylorentwicklung bestimmt, und zwar:
f(y) = f(x) + f´(x) (y-x) + [mm] \bruch{f''(x)}{2!} (y-x)^{2} [/mm] + ...
Allerdings kann ich nicht f bestimmen.
f ist ja Umkehrfunktion von g, also f = [mm] g^{-1}.
[/mm]
Es gilt:
g(t) = t exp(t)
y = t exp(t)
Nun habe ich versucht, diese Gleichung nach t aufzulösen und bin soweit gekommen:
log y = log (t exp(t)) = t + log t
Hier ist mein Problem. Wie kann ich nun diese Gleichung weiter nach t auflösen? ich weiß nicht, wie ich t alleine auf eine Seite bringen kann.
Könnt ihr mir bitte zeigen, wie ich die Umkehrfunktion bestimme? Vielen Dank!
ciao!
VHN
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo VHN,
du brauchst ja nur die Ableitungen von $f$, da du aber die Ableitung der Umkehrfunktion $g$ kennst, kannst du auch die Ableitung von $g$ bestimmen. [mm] $f'(g(x_0))=\frac{1}{g'(x_0)}$ [/mm] Damit müsstest du dann alle Ableitungen bestimmen können...
Gruß Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mo 11.04.2005 | | Autor: | VHN |
hallo, max!
Danke für deinen Tipp! ich hab ihn jetzt befolgt, und bin auch schon weiter gekommen. hier ist mein ansatz, allerdings weiß ich nicht, ob er stimmt.
könntest du bitte schauen, ob meine Rechnungen bzw. überlegungen richtig sind? Vielen Dank!
Ich habe deine Formel verwendet und bin auf folgende ergebnisse gekommen:
f'(g(t)) = [mm] \bruch{1}{g'(t)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^{t} (t+1)}
[/mm]
f'(g(0)) = 1
f'' (g(t)) = - [mm] \bruch{t+2}{e^{t} (t+1)^{2}}
[/mm]
f'' (g(0)) = -2
f''' (g(t)) = [mm] \bruch{t^{2}+4t+5}{e^{t} (t+1)^{3}} [/mm] (nach ewigem Rechnen!)
f''' (g(0)) = 5
Taylorentwicklung:
f(t) = f(0) + t - [mm] t^{2} [/mm] + [mm] \bruch{5}{6} t^{3} [/mm] + [mm] o(t^{3})
[/mm]
Ich hab aber noch ein kleines Problem:
Ich weiß nicht, was f(0) ist. Jetzt müsste ich schon die Umkehrfunktion von f bestimmen, aber wie?
Kannst du mir bitte sagen, ob ich bis hierhin richtig gerechnet habe, und wie ich auf f(0) komme?
Danke!
VHN
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Max |
> hallo, max!
>
> Danke für deinen Tipp! ich hab ihn jetzt befolgt, und bin
> auch schon weiter gekommen. hier ist mein ansatz,
> allerdings weiß ich nicht, ob er stimmt.
> könntest du bitte schauen, ob meine Rechnungen bzw.
> überlegungen richtig sind? Vielen Dank!
>
> Ich habe deine Formel verwendet und bin auf folgende
> ergebnisse gekommen:
>
> f'(g(t)) = [mm]\bruch{1}{g'(t)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{e^{t} (t+1)}[/mm]
Aber müsstest du nicht $f'(y)$ als Funktion von $y=g(t)$ angeben? D.h. du müsstest eh noch irgendwie das $t$ ersetzen um $y=g(t)$ einzusetzen...
Ich bin mir nicht so sicher....
Wenn du dann $f'(y)$ kennst, kannst du dann ja auch $f''(y)$ und $f'''(y)$ berechnen.
>
> f'(g(0)) = 1
>
> f'' (g(t)) = - [mm]\bruch{t+2}{e^{t} (t+1)^{2}}[/mm]
> f'' (g(0)) =
> -2
>
> f''' (g(t)) = [mm]\bruch{t^{2}+4t+5}{e^{t} (t+1)^{3}}[/mm] (nach
> ewigem Rechnen!)
> f''' (g(0)) = 5
>
> Taylorentwicklung:
> f(t) = f(0) + t - [mm]t^{2}[/mm] + [mm]\bruch{5}{6} t^{3}[/mm] + [mm]o(t^{3})[/mm]
Ich habe mal die Ableitungen überprüft, die sind in sich richtig.
>
> Ich hab aber noch ein kleines Problem:
> Ich weiß nicht, was f(0) ist. Jetzt müsste ich schon die
> Umkehrfunktion von f bestimmen, aber wie?
>
> Kannst du mir bitte sagen, ob ich bis hierhin richtig
> gerechnet habe, und wie ich auf f(0) komme?
[mm] $g(t)=t\cdot e^t \gdw [/mm] g(0)=0$ Das heißt doch, dass $f(0)=0$ sein müsste, oder?
Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mo 11.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Max!
Danke für die Antwort.
Aber ich hab da einiges immer noch nicht verstanden.
stimmt meine Taylorentwicklung jetzt oder nicht?
wenn ich y=g(t) setze, dann heißt es doch immer f(y), f'(y), ...
Muss es jetzt f(y) lauten oder anders?
dann lautet doch meine neue Entwicklung:
f(y) = 0 + y - [mm] y^{2} [/mm] + [mm] \bruch{5}{6} y^{3} [/mm] + [mm] o(y^{3})
[/mm]
f(y) = 0 + g(t) - [mm] g^{2} [/mm] (t) + [mm] \bruch{5}{6} g^{3} [/mm] (t) + [mm] o(g^{3} [/mm] (t))
f(y) = 0 + t [mm] e^{t} [/mm] - [mm] t^{2} e^{2t} +\bruch{5}{6} t^{3} e^{3t} [/mm] + o( [mm] t^{3} e^{3t})
[/mm]
Würde das stimmen so? Aber das kann doch nicht stimmen, oder? weil das restglied doch nicht mehr [mm] o(t^{3}) [/mm] lautet.
oder wie meinst du das, ich müsste irgendwie das t ersetzen um y=g(t) einzusetzen?
Danke für deine hilfe!
VHN
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Max |
Also, es ist ja nirgendwo gesagt, wie Variable heißt, die $f$ beschreibt, da kann man ja alles nehmen. Ich bin mir nur nicht so sicher mit der Ableitung der Umkehrfunktion, denn zB beim [mm] $f(x)=\log(x)$ [/mm] gilt:
[mm] $f^{-1}(y)=e^y$.
[/mm]
[mm] $f'(x)=\frac{1}{\left(f^{-1}\right)'(y)}=\frac{1}{e^x}=\frac{1}{x}$
[/mm]
D.h. am Ende hat man schon wieder eine Funktion die von $x$ abhängt, dein $f(g(t))=f(y)$ hängt aber von $t$ ab.
Daher bin ich mir so unsicher.
Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Di 12.04.2005 | | Autor: | VHN |
hallo, an alle hier!
ich habe meine lösung hier reingestellt, und zwar unter "ansatz richtig?".
Kann mir bitte jemand sagen, ob meine Lösung auch richtig ist?
ob die notation und der rest stimmt.
Vielen, vielen dank!
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich denke die Ableitungen sind nicht ganz richtig.
Es gilt nämlich:
[mm]f\left( {g\left( t \right)} \right)\; = \;t[/mm]
Hieraus folgt mit Hilfe der Kettenregel die 1. Ableitung nach t:
[mm]f'\left( g \right)\;g'(t)\; = \;1[/mm]
Und mit Hilfe der Kettenregel und der Produktregel die 2. bzw. 3. Ableitung nach t:
[mm]
\begin{gathered}
f''(g)\;(g'(t))^2 \; + \;f'(g)\;g''(t)\; = \;0 \hfill \\
f'''(g)\;(g'(t))^3 \; + \;3\;f''(g)\;g'(t)\;g''(t)\; + \;f'(g)\;g'''(t)\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Vom Wert her an der Stelle t = 0 stimmen die ersten beiden Ableitungen überein.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 So 17.04.2005 | | Autor: | emil108 |
Hallo VHN,
meiner Meinung nach kann f(0) recht einfach bestimmt werden: Da f injektiv ist (Vorr. für Bildung Unkehrfunktion) ist die Umkehrfkt. einfach eine Spieglung an h(x)=x. Also aus g(0) = 0 folgt f(0)= 0. Ob deine Ableitungen richtig sind kannst du dir z.B im Internet unter www.calc101.com ausrechnen lassen.
(Ich bin auch zu faul das nachzurechen)
Vielen Dank für deinen Thread, grüße an Prof Merkl:)
emil
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 So 17.04.2005 | | Autor: | VHN |
hallo!
danke für deine antwort!
Wie kommst du drauf, dann ich beim Prof Merkl bin???
|
|
|
|
