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Hallo,
Aufgabe: Berechnen Sie das Taylorpolynom [mm] T_{3,0}f [/mm] dritten Graded mit Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 0 für die Funktion f(x) = tan x, |x| < [mm] \frac{\pi}{2}. [/mm] Zeigen Sie, dass
|tan x - [mm] T_{3,0}f(x)| \le 10^{-5} [/mm] für |x| [mm] \le \frac{1}{10}
[/mm]
Okay. Das Taylorpolynom zu berechnen war kein Problem:
[mm] T_{3,0}f(x) [/mm] = x + [mm] \frac{x^3}{3}
[/mm]
Nun muss ich allerdings noch |tan x - [mm] T_{3,0}f(x)| [/mm] nach oben abschätzen. Ich kann ja nicht einfach für x zb. [mm] \frac{1}{10} [/mm] einsetzen, da ich ja alle Werte [mm] \le \frac{1}{10} [/mm] abdecken muss. Es muss wohl der tan x für |x| [mm] \le \frac{1}{10} [/mm] möglichst gut abgeschätzt werden... oder?
Dazu habe ich mir zwei Dinge überlegt. tan x ist für |x| [mm] \le \frac{1}{10} [/mm] sicher kleiner als 1, da der sin x < cos x für |x| [mm] \le \frac{1}{10}. [/mm] Aber die Schätzung ist wohl zu grob.
Zweite Schätzung, bei der ich mir aber nicht sicher bin:
tan x [mm] \le [/mm] 0.100335 für |x| [mm] \le \frac{1}{10}, [/mm] weil [mm] tan(\frac{1}{10}) [/mm] = 0.100335 und da tan x zwischen 0 und [mm] \frac{1}{10} [/mm] monoton steigt ist sein Wert für jedes x [mm] \le \frac{1}{10} [/mm] eben kleiner als sein Wert bei [mm] \frac{1}{10}.
[/mm]
Darf man sowas tun und ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Di 05.02.2008 | | Autor: | abakus |
Ich denke mal, es geht nicht um das Taylorpolynom selbst, sondern um eine Abschätzung des Restglieds!
(Konkreter kann ich leider nicht werden, das ist 20 Jahre her.)
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Hallo,
danke. Ich habe nun das Restglied mittels der Darstellungsformel von Lagrange gebildet:
[mm] R_n(x) [/mm] = [mm] \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} [/mm] mit [mm] \xi [/mm] zwischen [mm] x_0 [/mm] und x.
in meinem Falle also:
= [mm] \frac{f^{3+1}(\xi)}{(3+1)!}(x-0)^{3+1}
[/mm]
Ich benötige also die vierte Ableitung:
[mm] f^{(4)}(x) [/mm] = [mm] \frac{8 sin(x) (sin^2(x) + 2)}{cos^5(x)} [/mm]
In die Restglieddarstellung eingesetzt:
= [mm] \frac{\frac{8 sin(\xi) (sin^2(\xi) + 2)}{cos^5(\xi)}}{4!}(x-0)^4
[/mm]
Das muss ich ja nun irgendwie nach [mm] 10^{-5} [/mm] abschätzen aber ich weiß nicht wie.
Ich könnte ja mal den sinus durch den cosinus ersetzen...
= [mm] \frac{\frac{8 cos(\frac{\pi}{2}-\xi) (cos^2(\frac{\pi}{2}-\xi) + 2)}{cos^5(\xi)}}{4!}(x-0)^4
[/mm]
Nun kann ich die ganzen Kosinüsse nach oben durch 1 und nach unten durch 0 abschätzen. Aber das scheint zu grob zu sein...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 08.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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