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Hi Leute,
Hab da mal ne blöde Frage ;)
Kann mir vielleicht mal jemand auf DEUTSCh erklären, was die Taylor Reihen nun sind, und was sie machen?
Das wäre bestimmt sehr hilfreich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Fr 20.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo wolverine,
ich will mal versuchen grob zu erklären, um was es bei so einer Taylor-Entwicklung geht (bzw. gehen kann).
Betrachten wir mal als Beispiel die Funktion f(x) = sin(x). Für die sind die Funktionswerte (und auch die Ableitungen) an der Stelle x = 0 ja gut bekannt. Was aber, wenn ich einen Funktionswert in der Nähe von 0 wissen will? Angenommen, der sinus wurde nicht über die Reihendarstellung definiert (sonst wird das ganze witzlos), dann können wir versuchen, uns dem Wert an Stellen "in der Nähe von 0" allmählich anzunähern. Dazu basteln wir eine Näherungsfunktion g(x)
Erste grobe Abschätzung wäre: in der Nähe von 0 haben alle Punkte den gleichen Funktionswert wie f an der Stelle 0, also g(x) = f(0) (0. Näherung).
Diese Näherung ist aber schon bei kleinen Abständen von 0 ziemlich unbrauchbar, deshalb versuchen wir es mit der Annäherung durch eine Gerade. Die beste Näherung in der Nähe von 0 erhalten wir, wenn wir die Tangente im Punkt 0 verwenden, also g(x) = f(0) + x f'(0) (1. Näherung).
Das klappt schon besser, noch besser wäre es allerdings, wenn wir auch die Krümmung von f mit berücksichtigen. Dazu können wir noch einen [mm] x^2-Term [/mm] in g ergänzen: g(x) = f(0) + x f'(0) + 0,5 [mm] x^2 [/mm] f''(0) (2. Näherung). Dass die Koeffizienten so aussehen musst Du jetzt halt mal so hinnehmen, es ist eben so, dass es mit diesen Koeffizienten am besten klappt (wenn Du näheres wissen willst musst Du Dir den Beweis der Taylor-Formel anschauen).
Durch Hinzunahme von noch höheren x-Potenzen wird die Annäherung immer genauer, da der Fehler bei der n-ten Näherung immer von der Größenordnung [mm] x^{n+1} [/mm] ist, und für kleine x (also nahe am Entwicklungspunkt) wird das ja mit wachsendem n immer kleiner.
Je nach gewünschter Genauigkeit kann man jetzt also sin(x) in der Nähe von 0 Näherungsweise als Polynom n-ten Grades (Taylorpolynom) schreiben und den Wert dann wenn nötig auch mit Bleistift und Papier ausrechnen (wobei der Taschenrechner intern eigentlich auch nichts anderes macht wenn man auf die sin-Taste drückt).
Setzt man dieses Verfahren weiter fort, so kommt man im Grenzfall n [mm] \to \infty [/mm] genau auf die Taylorreihe des sin mit Entwicklungspunkt 0.
Ist das ganze jetz etwas klarer?
Gruß
piet
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