Taylor und Restglied < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Do 08.12.2011 | | Autor: | krueemel |
| Aufgabe | | Taylorpolynom 4. Grades bestimmen von f(x) = ln x mir dem Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] = 1 und schätzen Sie f(2) nach oben und unten ab. |
Das Taylorpolynom 4. Grades lautet natürlich:
f(x) = (x-1) - [mm] \bruch{1}{2}(x-1)^{2}+\bruch{1}{3}(x-1)^{3}-\bruch{1}{4}(x-1)^{4}
[/mm]
Aber wie schätze ich f(2) ab, und dann auch noch nach oben und unten?
Hiermit lässt sich ja das Restglied berechnen (hier n =4):
Rn(x) = [mm] \bruch{f^{5}(xsi)}{5!}(x-1)^{5}
[/mm]
mit xsi = ?, ist xsi irgendein Wert zwischen 1 und 2?
|
|
| |
|
Hossa :)
Du bist ein Opfer schlampiger Notation geworden. Die Taylor-Entwicklung gilt in einem Abstand Δx von einem Entwicklungspunkt x0Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:
$f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)}\cdot\Delta x+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2}\cdot\left(\Delta x\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot\left(\Delta x\right)^n+R_n(x_0)$
Für das Restglied Rn(x0) gilt nach Lagrange:
[mm] $R_n(x_0)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\Theta\cdot\Delta x)}{(n+1)!}\cdot\left(\Delta x\right)^{n+1}\quad;\quad0<\Theta<1$
[/mm]
Innerhalb der möglichen Werte für Θ musst du das Restglied nun abschätzen.
Viele Grüße
Hasenfuß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:31 Fr 09.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hossa :)
>
> Du bist ein Opfer schlampiger Notation geworden.
Du aber auch !
> Die
> Taylor-Entwicklung gilt in einem Abstand Δx von einem
> Entwicklungspunkt x0:
>
> [mm]f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)}\cdot\Delta x+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2}\cdot\left(\Delta x\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot\left(\Delta x\right)^n+R_n(x_0)[/mm]
Nein. Richtig: ..... [mm] +R_n(x)
[/mm]
>
> Für das Restglied Rn(x0) gilt nach
> Lagrange:
>
> [mm]R_n(x_0)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\Theta\cdot\Delta x)}{(n+1)!}\cdot\left(\Delta x\right)^{n+1}\quad;\quad0<\Theta<1[/mm]
Nein: Richtig: [mm] R_n(x)= [/mm] ......
FRED
>
> Innerhalb der möglichen Werte für Θ musst du das
> Restglied nun abschätzen.
>
> Viele Grüße
>
> Hasenfuß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Hasenfuss |
Hossa FRED :)
Ooops, du hast Recht... Vielleicht sollte ich um 2:00 Uhr nachts nicht mehr im Forum schreiben, irgendwann wird man doch unkonzentriert...
Viele Grüße
Hasenfuß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 11.12.2011 | | Autor: | krueemel |
so ganz habe ich das noch nicht verstanden, was genau setze ich dann ein?
n = 4
[mm] f^{(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{24}{x^{5}}
[/mm]
[mm] x_{0} [/mm] = 1
aber was ist mein [mm] \Delta [/mm] x, wenn in der Aufgabe steht:
Schätzen Sie f(2) nach oben und unten ab.
|
|
|
| |
|
Hallo krueemel,
> so ganz habe ich das noch nicht verstanden, was genau setze
> ich dann ein?
>
> n = 4
> [mm]f^{(n+1)}[/mm] = [mm]\bruch{24}{x^{5}}[/mm]
> [mm]x_{0}[/mm] = 1
>
> aber was ist mein [mm]\Delta[/mm] x, wenn in der Aufgabe steht:
> Schätzen Sie f(2) nach oben und unten ab.
Dann ist [mm]\Delta x=2-1=1[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 05.01.2012 | | Autor: | krueemel |
mit der Formel:
[mm] R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\Theta\cdot\Delta x)}{(n+1)!}\cdot\left(\Delta x\right)^{n+1}\quad;\quad0<\Theta<1
[/mm]
ist dann die Abschätzung für f(2) von f(x)=ln(x) (mit [mm] x_0 [/mm] = 1 und n=4)
[mm] [\bruch{3}{120}; \bruch{24}{120}]
[/mm]
Ist das richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo krueemel,
> mit der Formel:
> [mm]R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\Theta\cdot\Delta x)}{(n+1)!}\cdot\left(\Delta x\right)^{n+1}\quad;\quad0<\Theta<1[/mm]
>
> ist dann die Abschätzung für f(2) von f(x)=ln(x) (mit [mm]x_0[/mm]
> = 1 und n=4)
>
> [mm][\bruch{3}{120}; \bruch{24}{120}][/mm]
>
Das ist doch erst die Restgliedabschätzung.
> Ist das richtig?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 05.01.2012 | | Autor: | krueemel |
In der Aufgaben stand: Schätze f(2) nach oben und unten ab.
Ist das nicht gleich dem Restglied?
|
|
|
| |
|
Hallo krueemel,
> In der Aufgaben stand: Schätze f(2) nach oben und unten
> ab.
> Ist das nicht gleich dem Restglied?
Nein.
Werte das Taylorpolynom an der Stelle x=2 aus.
Bestimme dann den maximalen Fehler des Restgliedes.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 05.01.2012 | | Autor: | krueemel |
Der Wert des Taylorpolynoms an der Stelle x=2 ist nach meiner Berechnung f(2) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2*4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3*8} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4*16} [/mm] = [mm] \bruch{77}{192}
[/mm]
Und was ist der maximale Fehler des Restgliedes?
Die vom Betrag größte Zahl, die ich errechnet hatte zuvor? Also wäre das dann [mm] \bruch{24}{120}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo krueemel,
> Der Wert des Taylorpolynoms an der Stelle x=2 ist nach
> meiner Berechnung f(2) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2*4}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{3*8}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4*16}[/mm] = [mm]\bruch{77}{192}[/mm]
>
Das stimmt nicht.
> Und was ist der maximale Fehler des Restgliedes?
> Die vom Betrag größte Zahl, die ich errechnet hatte
> zuvor? Also wäre das dann [mm]\bruch{24}{120}[/mm]
>
Genau.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Do 05.01.2012 | | Autor: | krueemel |
ups, so müsste es sein:
f(2) = 1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = 7/12
und hänge ich dann das Restglied dran? Also:
f(2) = [mm] \bruch{7}{12} [/mm] + [mm] \bruch{24}{120} [/mm] = [mm] \bruch{47}{60}
[/mm]
Und die Ablenkung nach unten wäre dann, indem man den kleinsten Wert vom Restglied addiert?
|
|
|
| |
|
Hallo krueemel,
> ups, so müsste es sein:
> f(2) = 1 - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] =
> 7/12
>
> und hänge ich dann das Restglied dran? Also:
>
> f(2) = [mm]\bruch{7}{12}[/mm] + [mm]\bruch{24}{120}[/mm] = [mm]\bruch{47}{60}[/mm]
>
> Und die Ablenkung nach unten wäre dann, indem man den
> kleinsten Wert vom Restglied addiert?
Die untere Wert ergibt sich zu: [mm]\bruch{7}{12}-\bruch{24}{120}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Am einfachsten bestimmst du das Taylorpolynom 5. Grades. Beim letzten Glied setzt du in [mm] f^5 [/mm] aber nicht 1, sondern [mm] \xi [/mm] ein :
f(x) = [mm] (x-1) -\bruch{1}{2}(x-1)^{2}+\bruch{1}{3}(x-1)^{3}-\bruch{1}{4}(x-1)^{4}+\bruch{1}{5 *\xi^5}(x-1)^{5}[/mm]
Das entspricht genau f(x) für ein passendes, uns unbekanntes [mm] \xi, [/mm] das zwischen 1 und x liegt. Damit erhältst du für f(2) den Wert
f(x) =[mm] 1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5 *\xi^5}[/mm].
Wenn du nun nach [mm] \bruch{1}{4} [/mm] abbrichtst, beträgt dein Fehler [mm] \bruch{1}{5 *\xi^5}. [/mm] Das ist ein Wert zwischen
[mm] \bruch{1}{5 *1^5}=\bruch{1}{5} [/mm] und [mm] \bruch{1}{5 *2^5}=\bruch{1}{160}. [/mm] Damit liegt ln 2 zwischen [mm] \bruch{7}{12}+\bruch{1}{160}=\bruch{283}{480}\approx [/mm] 0,59 und [mm] \bruch{7}{12}+\bruch{1}{5}=\bruch{47}{60}\approx [/mm] 0,783
Tatsächlich ca. 0,693
|
|
|
|
