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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | a)Geben sie die taylorentwicklung der Funktion [mm] f:]0,\infty[ [/mm] -> [mm] \IR: f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] im Punkt 1 an und bestimmen sie ihren Konvergenzradius.
Hinweis sie dürfen verwenden, dass [mm] f_{n}(x)=\bruch{n!(-1)^n}{x^{n+1}} [/mm] für x>0 und n [mm] \in \IN
[/mm]
b)Wir betrachten die Funktion [mm] f_n: \IR->\IR: f_n(x)=\bruch{sin(nx)}{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (f_n)n\in \IN [/mm] gleichmäßig gegen 0 konvergiert aber die FOlge der Ableitungen nicht einmal punktweise gegen 0 konvergiert
b) |
Hallo,
ich habe mit der a) angefangen würde mich über eine Korrektur sehr freuen.
Als erstes schauen wir uns einpaar Ableitungen an
[mm] f(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
f(1)=1
[mm] f'(x)=\bruch{-1}{x^2}
[/mm]
f'(1)=-1
[mm] f''(x)=\bruch{2}{x^3}
[/mm]
f''(1)=2
[mm] f^{3}(x)=\bruch{-6}{x^4}
[/mm]
f^(3)(1)=-6
[mm] f^{4}(x)=\bruch{24}{x^5}
[/mm]
f^(4)(1)=24
Dies setzen wir in die Formel der Taylorreihe ein:
[mm] f(x)=1-1x+\bruch{2}{2!}x^2-\bruch{6}{3!}x^3+\bruch{24}{4!}x^4+...+\bruch{f^{(n)}(n)}{n!}x^n
[/mm]
Jetzt können wir erkennnen, dass die n-te Ableitung gegeben ist durch
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{n!}{n!}x^n
[/mm]
das muss ich noch mit Induktion beweisen oder?
Ist ansonsten alles richtig? Könnte ich das zum Beispiel in der Klausur genau so hinschreiben (natürlich mit dem Beweis durch Induktion)?
Vielen dank im Voraus
Lg
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Hallo Laura87,
> a)Geben sie die taylorentwicklung der Funktion [mm]f:]0,\infty[[/mm]
> -> [mm]\IR: f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] im Punkt 1 an und bestimmen sie
> ihren Konvergenzradius.
>
> Hinweis sie dürfen verwenden, dass
> [mm]f_{n}(x)=\bruch{n!(-1)^n}{x^{n+1}}[/mm] für x>0 und n [mm]\in \IN[/mm]
>
> b)Wir betrachten die Funktion [mm]f_n: \IR->\IR: f_n(x)=\bruch{sin(nx)}{n}[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN.[/mm] Zeigen Sie, dass die Folge [mm](f_n)n\in \IN[/mm]
> gleichmäßig gegen 0 konvergiert aber die FOlge der
> Ableitungen nicht einmal punktweise gegen 0 konvergiert
> b)
> Hallo,
>
> ich habe mit der a) angefangen würde mich über eine
> Korrektur sehr freuen.
>
> Als erstes schauen wir uns einpaar Ableitungen an
Wozu? Ist ja im Übungssinne nicht verkehrt, aber wozu die Mühe?
Im Hinweis steht doch dick und fett, dass du verwenden kannst, dass die n-te Ableitung von der Form [mm]f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n\cdot{}n!}{x^{n+1}}[/mm] ist ...
Das musst du nur noch an der Stelle [mm]x_0=1[/mm] auswerten, was ja nicht schwer ist ...
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
>
> f(1)=1
>
> [mm]f'(x)=\bruch{-1}{x^2}[/mm]
> f'(1)=-1
>
> [mm]f''(x)=\bruch{2}{x^3}[/mm]
> f''(1)=2
>
> [mm]f^{3}(x)=\bruch{-6}{x^4}[/mm]
> f^(3)(1)=-6
>
> [mm]f^{4}(x)=\bruch{24}{x^5}[/mm]
> f^(4)(1)=24
>
> Dies setzen wir in die Formel der Taylorreihe ein:
>
> [mm]f(x)=1-1x+\bruch{2}{2!}x^2-\bruch{6}{3!}x^3+\bruch{24}{4!}x^4+...+\bruch{f^{(n)}(n)}{n!}x^n[/mm]
>
> Jetzt können wir erkennnen, dass die n-te Ableitung
> gegeben ist durch
>
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{n!}{n!}x^n[/mm]
Nein, das ist nicht die n-te Ableitung, die steht oben!
>
> das muss ich noch mit Induktion beweisen oder?
>
> Ist ansonsten alles richtig? Könnte ich das zum Beispiel
> in der Klausur genau so hinschreiben (natürlich mit dem
> Beweis durch Induktion)?
Nein, das ist Quark! Zum einen steht die n-te Ableitung oben im Hinweis, zum anderen sollst du die Funktion um [mm]x_0=1[/mm] entwickeln.
Die Taylorreihe lautet: [mm]\sum\limits_{n\ge 0}\frac{f^{(n)}(1)}{n!}\cdot{}(x-1)^n[/mm] [mm](\star)[/mm]
[mm]f^{(n)}(x)[/mm] hast du gegeben, daraus berechne allg. [mm]f^{(n)}(1)[/mm] und setze in die Formel [mm](\star)[/mm] ein.
>
> Vielen dank im Voraus
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Sa 16.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Alternativ:
[mm] \bruch{1}{x}=\bruch{1}{1-(1-x)}.
[/mm]
Jetzt geometrische Reihe.
FRED
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