Taylorentwicklung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f : [mm] (0,+\infty) \times (0,+\infty) \to \IR, [/mm] mit f(x,y) = [mm] x^{4}ln(xy) [/mm] .
a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung [mm] T_{2}(x,y) [/mm] um den Entwicklungspunkt (1,1)
b) Schätzen Sie den Fehler von [mm] T_{2}(x,y) [/mm] an der Stelle (1,0.8) nach oben ab. |
Hallo liebe Mathe- Community,
ich würde gerne wissen, wie ich im Aufgabenteil b) das Restglied nach Lagrange genau aufstelle. In der Musterlösung steht folgender Aufbau:
[mm] R_{3}(1,0.8) [/mm] = 1/3! [mm] (-0.2)^{3} f_{yyy}(1,\lambda), \lambda \in [/mm] (0.8,1)
1.) Wieso wird für die Aufstellung des Restglieds die partielle Ableitung 3. Ordnung nach y genommen? Wieso verwendet man für die Fehlerabschätzung nicht beispielsweise [mm] f_{xxx} [/mm] oder [mm] f_{xxy}, [/mm] etc.?
2.) Wieso ist das offene Intervall von [mm] \lambda [/mm] genau umgekehrt verglichen mit dem Intervall des Restgliedes?
Über hilfreiche Antworten von den Mathe- Profis würde ich mich sehr freuen.  Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Gegeben sei die Funktion f : [mm](0,+\infty) \times (0,+\infty) \to \IR,[/mm]
> mit f(x,y) = [mm]x^{4}ln(xy)[/mm] .
>
> a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung [mm]T_{2}(x,y)[/mm] um
> den Entwicklungspunkt (1,1)
>
> b) Schätzen Sie den Fehler von [mm]T_{2}(x,y)[/mm] an der Stelle
> (1,0.8) nach oben ab.
> Hallo liebe Mathe- Community,
>
> ich würde gerne wissen, wie ich im Aufgabenteil b) das
> Restglied nach Lagrange genau aufstelle. In der
> Musterlösung steht folgender Aufbau:
>
> [mm]R_{3}(1,0.8)[/mm] = 1/3! [mm](-0.2)^{3} f_{yyy}(1,\lambda), \lambda \in[/mm]
> (0.8,1)
>
> 1.) Wieso wird für die Aufstellung des Restglieds die
> partielle Ableitung 3. Ordnung nach y genommen? Wieso
> verwendet man für die Fehlerabschätzung nicht
> beispielsweise [mm]f_{xxx}[/mm] oder [mm]f_{xxy},[/mm] etc.?
Find ich auch komisch. Meiner Meinung nach müsste man alle möglichen Kombinationen mit einbeziehen, also [mm] f_{xxx}, f_{xxy}, f_{xyy} [/mm] und [mm] f_{yyy}.
[/mm]
>
> 2.) Wieso ist das offene Intervall von [mm]\lambda[/mm] genau
> umgekehrt verglichen mit dem Intervall des Restgliedes?
>
Diese "freie Variable" beim Restglied befindet sich irgendwo auf der Verbindungsstrecke zwischen dem Entwicklungspunkt und dem Punkt, wo ich den Fehler abschätzen will.
Also in deinem Fall ist [mm]\lambda \in \{t(1,0.8) + (1-t)(1,1):t\in [0,1] \} = \{(1,\xi):\xi\in [0.8,1]\}[/mm].
> Über hilfreiche Antworten von den Mathe- Profis würde ich
> mich sehr freuen. Gruß,
>
>
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Okay, vielen Dank soweit. Gruß,
Marcel
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