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| Aufgabe | Berechnen Sie mit der Mutliindexnotation die Taylorentwicklung erster Ordnung im Punkt (1,1) für
f(x,y) = [mm] \bruch{x-y}{x+y}. [/mm] |
Hallo!
Eigentlich ist das ein Beispiel aus unserem Anaylis II - Skript.
Ich verstehe auch die Formel [mm] P_{k} [/mm] (x) = [mm] \summe_{|\alpha| \le k} \bruch{D^{\alpha} f(x_{0})}{\alpha!} (x-x_{0})^{\alpha} [/mm] theoretisch.
Nur bei der Umsetzung im [mm] \R^{2} [/mm] haperts gerade etwas:
wie berechne ich beispielsweise [mm] ((x,y)-(1,1))^{(1,0)} [/mm] ?
Es kommt wohl (x-1) raus... aber wie kommt man da hin?
(x,y)-(1,1) = (x-1,y-1)
[mm] (x-1,y-1)^{(1,0)} [/mm] --> ist dann so was wie eine Multiplikation von dem Vektor mit (1,0)?
also [mm] (1,0)*\vektor{x-1 \\ y-1} [/mm] denn dann würde ja (x-1) rauskommen...?
Kann mir hier jemand helfen?
Grüßle, Lily
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Hallo Mathe-Lily,
> Berechnen Sie mit der Mutliindexnotation die
> Taylorentwicklung erster Ordnung im Punkt (1,1) für
> f(x,y) = [mm]\bruch{x-y}{x+y}.[/mm]
> Hallo!
> Eigentlich ist das ein Beispiel aus unserem Anaylis II -
> Skript.
> Ich verstehe auch die Formel [mm]P_{k}[/mm] (x) = [mm]\summe_{|\alpha| \le k} \bruch{D^{\alpha} f(x_{0})}{\alpha!} (x-x_{0})^{\alpha}[/mm]
> theoretisch.
> Nur bei der Umsetzung im [mm]\R^{2}[/mm] haperts gerade etwas:
> wie berechne ich beispielsweise [mm]((x,y)-(1,1))^{(1,0)}[/mm] ?
> Es kommt wohl (x-1) raus... aber wie kommt man da hin?
Es ist [mm]((x,y)-(1,1))^{(1,0)}=(x-1,y-1)^{(1,0)}[/mm] normale Vektoraddition
[mm]=(x-1)^1\cdot{}(y-1)^0[/mm]
allg. [mm]x^k=(x_1,...,x_n)^{(k_1,...,k_n)}=x_1^{k_1}\cdot{}x_2^{k_2}\cdot{}\ldots\cdot{} x_n^{k_n}[/mm]
Also etwa als Bsp. [mm]((x,y)-(a,b))^{(4,2)}=(x-a,y-b)^{(4,2)}=(x-a)^4\cdot{}(y-b)^2[/mm]
> (x,y)-(1,1) = (x-1,y-1)
> [mm](x-1,y-1)^{(1,0)}[/mm] --> ist dann so was wie eine
> Multiplikation von dem Vektor mit (1,0)?
> also [mm](1,0)*\vektor{x-1 \\
y-1}[/mm] denn dann würde ja (x-1)
> rauskommen...?
> Kann mir hier jemand helfen?
> Grüßle, Lily
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Di 22.05.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke!
hatte mir das gerade bei einer anderen aufgabe hergeleitet... eigentlich logisch ^^
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ich habe noch eine Frage dazu:
Und zwar wird im Laufe des Beispiels auch das Restglied mit Lagrange im Zwischenpunkt (a,b) berechnet :
[mm] R_{1} [/mm] (x,y) = [mm] \bruch{D^{(2,0)} f(a,b)}{2!0!} ((x,y)-(1,1))^{(2,0)} +\bruch{D^{(1,1)} f(a,b)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} [/mm] + [mm] \bruch{D^{(0,2)} f(a,b)}{0!2!} ((x,y)-(1,1))^{(0,2)}
[/mm]
Ich kenne bei der partiellen Ableitung eigentlich die Schreibweise [mm] D_{2}D_{1} [/mm] bzw [mm] D_{1}D_{2} [/mm] statt [mm] D^{(1,1)}, [/mm] was jedoch auch eindeutiger ist, da es anzeigt, nach welcher Variablen jeweils zuerst abgeleitet wurde. Dies ist in dieser Aufgabe ja egal, da [mm] D_{2}D_{1} =D_{1}D_{2}, [/mm] doch das ist es nicht immer. Was mache ich, wenn das der Fall ist? Muss dann das Restglied aus 4 Summanden bestehen? Und müsste das nicht eigentlich auch der Fall sein, wenn [mm] D_{2}D_{1} =D_{1}D_{2}?
[/mm]
also:
[mm] R_{1} [/mm] (x,y) = [mm] \bruch{D^{(2,0)} f(a,b)}{2!0!} ((x,y)-(1,1))^{(2,0)} +\bruch{D^{(1,1)} f(a,b)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} +\bruch{D^{(1,1)} f(a,b)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} [/mm] + [mm] \bruch{D^{(0,2)}f(a,b)}{0!2!} ((x,y)-(1,1))^{(0,2)}
[/mm]
bzw
[mm] R_{1} [/mm] (x,y) = [mm] \bruch{D^{(2,0)} f(a,b)}{2!0!} ((x,y)-(1,1))^{(2,0)} +\bruch{D_{2}D_{1} f(a,b)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} +\bruch{D_{1}D_{2} f(a,b)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} [/mm] + [mm] \bruch{D^{(0,2)}f(a,b)}{0!2!} ((x,y)-(1,1))^{(0,2)}
[/mm]
Wäre toll, wenn mir jemand hier helfen würde! 
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
hey! hab immernoch keine lösung dazu... könnte mir jemand helfen?? Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Di 29.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lily!
> ich habe noch eine Frage dazu:
> Und zwar wird im Laufe des Beispiels auch das Restglied
> mit Lagrange im Zwischenpunkt (a,b) berechnet :
> [mm]R_{1}[/mm] (x,y) = [mm]\bruch{D^{(2,0)} f(a,b)}{2!0!} ((x,y)-(1,1))^{(2,0)} +\bruch{D^{(1,1)} f(a,b)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)}[/mm]
> + [mm]\bruch{D^{(0,2)} f(a,b)}{0!2!} ((x,y)-(1,1))^{(0,2)}[/mm]
>
> Ich kenne bei der partiellen Ableitung eigentlich die
> Schreibweise [mm]D_{2}D_{1}[/mm] bzw [mm]D_{1}D_{2}[/mm] statt [mm]D^{(1,1)},[/mm] was
> jedoch auch eindeutiger ist, da es anzeigt, nach welcher
> Variablen jeweils zuerst abgeleitet wurde. Dies ist in
> dieser Aufgabe ja egal, da [mm]D_{2}D_{1} =D_{1}D_{2},[/mm] doch das
> ist es nicht immer.
Damit die Taylorformel gilt, müssen alle diese partiellen Ableitungen stetig sein, und damit ist die Reihenfolge egal (Satz von Schwarz).
Viele Grüße
Rainer
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Ah, ok, Danke!
Aber wie ist das dann bei der Restgliedabschätzung: müsste [mm] D^{(1,1)} [/mm] nicht 2mal auftauchen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mi 30.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber wie ist das dann bei der Restgliedabschätzung:
> müsste [mm]D^{(1,1)}[/mm] nicht 2mal auftauchen?
Ich bin mir nicht sicher, was du meinst.
Aber vor den anderen beiden Termen steht der Faktor 1/2, bei [mm]D^{(1,1)}[/mm] nicht.
Viele Grüße
Rainer
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hä? wo ist da ein 1/2?
also bei mir gehts darum:
wir haben ein Beispiel im Skript für die Restgliedabschätzung für ein Taylorpolynom 1. Ordnung, dh. das Restglied ist 2. Ordnung: (im Zwischenpunkt [mm] (\alpha,\beta) [/mm] )
[mm] R_{1}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{D^{(2,0)} f(\alpha,\beta)}{2!0!} ((x,y)-(1,1))^{(2,0)} [/mm] + [mm] \bruch{D^{(1,1)} f(\alpha,\beta)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} [/mm] + [mm] \bruch{D^{(0,2)} f(\alpha,\beta)}{0!2!} ((x,y)-(1,1))^{(0,2)}
[/mm]
Und meine Frage ist nun, ob nicht das [mm] \bruch{D^{(1,1)} f(\alpha,\beta)}{1!1!} ((x,y)-(1,1))^{(1,1)} [/mm] 2 mal auftauchen müsste, weil man ja theoretisch 4 mal ableiten muss beim 2. mal partiell differenzieren: xx,yy,xy,yx. wegen dem satz von schwarz sind die ableitungen xy und yx gleich (wie du mir ja gesagt hast), aber warum taucht das dann nicht 2mal auf?
Wäre toll, wenn du mir nochmal helfen könntest... oder jemand anderes
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Do 31.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
alle Ableitungen 2 ter Ordnung treten mit 2! im nenner auf, bei dir [mm] D^{11} [/mm] mit 1! also doppelt so gross, wenn du deine Formel im 1. Post ansiehst hast du doch [mm] D^{\alpha}/\alpha!
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Do 31.05.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
aaah! ok, jetzt raff ichs!! Danke
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