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Hallo,
ich stehe gerade auf dem Schlauch :(
Gegeben ist eine Funktion
[mm] f(x_1 [/mm] + [mm] \varepsilon_1, x_2 [/mm] + [mm] \varepsilon_2)
[/mm]
Wie kommt man auf diesen Schritt?
[mm] f(x_1 [/mm] + [mm] \varepsilon_1, x_2 [/mm] + [mm] \varepsilon_2) [/mm] = [mm] f(x_1,x_2) [/mm] + [mm] \varepsilon_1 f_{x_1}(x_1,x_2) [/mm] + [mm] \varepsilon_2 f_{x_2}(x_1,x_2) [/mm] + ...
Danke!
Anna
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Hallo Anna-Lyse,
> Hallo,
>
> ich stehe gerade auf dem Schlauch :(
> Gegeben ist eine Funktion
> [mm]f(x_1[/mm] + [mm]\varepsilon_1, x_2[/mm] + [mm]\varepsilon_2)[/mm]
>
> Wie kommt man auf diesen Schritt?
> [mm]f(x_1[/mm] + [mm]\varepsilon_1, x_2[/mm] + [mm]\varepsilon_2)[/mm] = [mm]f(x_1,x_2)[/mm] +
> [mm]\varepsilon_1 f_{x_1}(x_1,x_2)[/mm] + [mm]\varepsilon_2 f_{x_2}(x_1,x_2)[/mm]
> + ...
>
Bilde die Tangentialebene im Punkt [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ f\left(x_{1},x_{2}\right)}[/mm]
Setze dann den Punkt [mm]\pmat{x_{1} +\varepsilon_{1}\\ x_{2}+\varepsilon_{2} \\ f\left(x_{1}+\varepsilon_{1},x_{2}+\varepsilon_{2}\right)}[/mm] ein.
Dafür ist die ermittelte Tangentialebene eine Näherung.
> Danke!
> Anna
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mi 16.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich stehe gerade auf dem Schlauch :(
> Gegeben ist eine Funktion
> [mm]f(x_1[/mm] + [mm]\varepsilon_1, x_2[/mm] + [mm]\varepsilon_2)[/mm]
>
> Wie kommt man auf diesen Schritt?
> [mm]f(x_1[/mm] + [mm]\varepsilon_1, x_2[/mm] + [mm]\varepsilon_2)[/mm] = [mm]f(x_1,x_2)[/mm] +
> [mm]\varepsilon_1 f_{x_1}(x_1,x_2)[/mm] + [mm]\varepsilon_2 f_{x_2}(x_1,x_2)[/mm]
> + ...
das sieht mir stark nach einer Taylorentwicklung aus.
>
> Danke!
> Anna
Gruß,
notinX
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Hallo MathePower und notinX,
vielen Dank für Eure Antworten. Ja, Taylorentwicklung war mir klar. Aber irgendwie habe ich gerade meine Probleme mit Taylor.
Also
[mm]f(x_1[/mm] + [mm]\varepsilon_1, x_2[/mm] + [mm]\varepsilon_2)[/mm] = [mm]f(x_1,x_2)[/mm] + [mm]\varepsilon_1 f_{x_1}(x_1,x_2)[/mm] + [mm]\varepsilon_2 f_{x_2}(x_1,x_2)[/mm] + ...
ist so, weil hiermit die Taylorentwicklung bis zur ersten Ordnung aufgeschrieben ist. Die Punkte am Ende des letzten Additionszeichen würden dann die 2. Ordnung folgen lassen, richtig?
D.h. konkret würde doch gelten aufgrund der Taylorformel:
[mm]f(x_1[/mm] + [mm]\varepsilon_1, x_2[/mm] + [mm]\varepsilon_2)[/mm] = [mm]f(x_1,x_2)[/mm] *1 * 1 + [mm]1 * \varepsilon_1 f_{x_1}(x_1,x_2)[/mm] + [mm]1 * \varepsilon_2 f_{x_2}(x_1,x_2)[/mm] + ...
oder (was ja genau dem o.g. entspricht)?
Wenn ich die "..." mal fortsetze, würde dann
+ [mm] \bruch{1}{2}* \varepsilon_1^2 f_{x_1 x_1}(x_1,x_2)[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} * \varepsilon_2^2 f_{x_2 x_2}(x_1,x_2)[/mm] + [mm] 2\varepsilon_1 \varepsilon_2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} f_{x_1 x_2} [/mm] + ...
folgen, richtig?
Danke,
Anna
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Hallo Anna-Lyse,
> Hallo MathePower und notinX,
>
> vielen Dank für Eure Antworten. Ja, Taylorentwicklung war
> mir klar. Aber irgendwie habe ich gerade meine Probleme mit
> Taylor.
> Also
> [mm]f(x_1[/mm] + [mm]\varepsilon_1, x_2[/mm] + [mm]\varepsilon_2)[/mm] = [mm]f(x_1,x_2)[/mm] +
> [mm]\varepsilon_1 f_{x_1}(x_1,x_2)[/mm] + [mm]\varepsilon_2 f_{x_2}(x_1,x_2)[/mm]
> + ...
> ist so, weil hiermit die Taylorentwicklung bis zur ersten
> Ordnung aufgeschrieben ist. Die Punkte am Ende des letzten
> Additionszeichen würden dann die 2. Ordnung folgen lassen,
> richtig?
>
> D.h. konkret würde doch gelten aufgrund der Taylorformel:
> [mm]f(x_1[/mm] + [mm]\varepsilon_1, x_2[/mm] + [mm]\varepsilon_2)[/mm] = [mm]f(x_1,x_2)[/mm]
> *1 * 1 + [mm]1 * \varepsilon_1 f_{x_1}(x_1,x_2)[/mm] + [mm]1 * \varepsilon_2 f_{x_2}(x_1,x_2)[/mm]
> + ...
>
> oder (was ja genau dem o.g. entspricht)?
> Wenn ich die "..." mal fortsetze, würde dann
>
> + [mm]\bruch{1}{2}* \varepsilon_1^2 f_{x_1 x_1}(x_1,x_2)[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2} * \varepsilon_2^2 f_{x_2 x_2}(x_1,x_2)[/mm] +
> [mm]2\varepsilon_1 \varepsilon_2[/mm] * [mm]\bruch{1}{2} f_{x_1 x_2}[/mm] +
> ...
>
> folgen, richtig?
>
Ja.
> Danke,
> Anna
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo MathePower,
vielen Dank.
Gruß
Anna
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