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Hallo ich habe nochmal eine Frage bezüglich eines älteren Post, bei dem es ganz schön drunter und drüber ging und sich ganz schön viele Fehler eingeschlichen haben (meinerseits).
Es geht um die Aufgabe zum Taylorpolynom:
Es sein [mm] f:]1,\infty[ \to \IR, [/mm] f(x)= [mm] \bruch{x}{1-x}. [/mm] Ich sollte hier das Taylorpolynom 2. grades mit Entwicklungspunkt [mm] x_0=4 [/mm] berechnen und anschließend das Restglied auf dem Intervall [3,5] abschätzen
1 Schritt: Ich bestimme die ersten 3 Ableitungen, wobei die 3. nachher für das Restglied gebraucht wird.
[mm] f(x)=\bruch{x}{1-x}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{(1-x)^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2}{(1-x)^3}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{6}{(1-x)^4}
[/mm]
Nun brauch ich nur noch [mm] x_0=4 [/mm] einsetzem
[mm] f(4)=-\bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] f'(4)=\bruch{1}{9}
[/mm]
[mm] f''(x)=-\bruch{2}{27}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{6}{81}
[/mm]
2 Schritt: Nun schreibe ich das Taylorpolynom [mm] T_2(x) [/mm] formal auf:
[mm] T_2(x)=\summe_{k=0}^{2}\bruch{f^k(4)}{k!}(x-4)^k
[/mm]
3 Schritt: hier setze ich ein
[mm] \bruch{-\bruch{4}{3}}{0!}(x-4)^0+\bruch{\bruch{1}{9}}{1!}(x-4)^1-\bruch{-\bruch{2}{27}}{2!}(x-4)^2 [/mm] = [mm] -\bruch{4}{3}+\bruch{1}{9}(x-4)-\bruch{2}{54}(x-4)^2
[/mm]
Das Restglied schreibe ich jetzt folgendermaßen auf:
[mm] R_n(x)=\bruch{f^{n+1(\varepsilon)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
[/mm]
Das heißt für meine Aufgabe: [mm] R_n(x)=\bruch{f^3(\varepsilon)}{3!}(x-x_0)^3 \gdw \bruch{\bruch{6}{(1-\varepsilon)^4}}{6}(x-4)^3
[/mm]
Leider weiß ich hier immer nicht weiter, wie ich was wählen soll und wie das dann mit den Betrgägen weiter geht. Ich hoffe mir kann jmd. bei den letzten und alles entscheidenden Schritten helfen.
MFG domenigge135
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> Das Restglied schreibe ich jetzt folgendermaßen auf:
>
> [mm]R_n(x)=\bruch{f^{n+1(\varepsilon)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}[/mm]
>
> Das heißt für meine Aufgabe:
> [mm]R_n(x)=\bruch{f^3(\varepsilon)}{3!}(x-x_0)^3 \gdw \bruch{\bruch{6}{(1-\varepsilon)^4}}{6}(x-4)^3[/mm]
>
> Leider weiß ich hier immer nicht weiter, wie ich was wählen
> soll und wie das dann mit den Betrgägen weiter geht. Ich
> hoffe mir kann jmd. bei den letzten und alles
> entscheidenden Schritten helfen.
Hallo,
Du interessierst Dich für den Betrag des Restgliedes, und zwar lt. Aufgabenstellung für [mm] x\in [/mm] [3,5].
Also mußt Du [mm] |R_n(x)|=|\bruch{\bruch{6}{(1-\varepsilon)^4}}{6}(x-4)^3| [/mm] nach oben abschätzen.
Wissen mußt Du, daß das [mm] \varepsilon [/mm] irgendeine Stelle zwischen x und dem Entwicklungspunkt 4 ist.
Ich denke mal, daß Du schnell herausfindest, wie groß |x-4| höchstens sein kann.
Anschließend ist dann über |1-varepsilon| bzw. seinen Kehrwert fällig.
Das [mm] \varepsilon [/mm] liegt ja zwischen 3 und 4 oder zwischen 4 und 5.
Gruß v. Angela
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Okay dann probier ich mal weiter:
Wir haben ja wie schon gesagt [mm] R_n(x)=\bruch{f^3(\varepsilon)}{3!}(x-x_0)^3 [/mm] mit [mm] \varepsilon [/mm] zwischen x und [mm] x_0 [/mm] also [mm] \bruch{\bruch{6}{(1-\varepsilon)^4}}{6}(x-4)^3 [/mm] , wobei [mm] 3\le\varepsilon\le4 [/mm] bzw. [mm] 4\le\varepsilon\le5
[/mm]
Also gut das mit dem abschätzen habe ich immernoch nicht ganz verstanden. Wenn ich mir jetzt etwas zum abschätzen raussuche, dann setze ich das, wenn ich das richtig verstanden habe in Beträge. Du sagst ich soll |x-4|. Was setze ich jetzt für mein x ein??? Meine Intervallgrenzen [3,5]??? Denn dann würde ich sagen |x-4| kann höchstens 1 sein.
Wäre das bis hierhin richtig???
MFG domenigge135
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> Okay dann probier ich mal weiter:
>
> Wir haben ja wie schon gesagt
> [mm]R_n(x)=\bruch{f^3(\varepsilon)}{3!}(x-x_0)^3[/mm] mit
> [mm]\varepsilon[/mm] zwischen x und [mm]x_0[/mm] also
> [mm]\bruch{\bruch{6}{(1-\varepsilon)^4}}{6}(x-4)^3[/mm] , wobei
> [mm]3\le\varepsilon\le4[/mm] bzw. [mm]4\le\varepsilon\le5[/mm]
>
> Also gut das mit dem abschätzen habe ich immernoch nicht
> ganz verstanden. Wenn ich mir jetzt etwas zum abschätzen
> raussuche, dann setze ich das, wenn ich das richtig
> verstanden habe in Beträge. Du sagst ich soll |x-4|. Was
> setze ich jetzt für mein x ein???
Hallo,
Du überlegt Dir unter Berücksichtigung des intervalls, aus welchem x kommen kann, wie groß |x-4| schlimmstenfalls wird. Wegen [mm] 3\le x\le [/mm] 5 ist [mm] -1\le [/mm] x-4 [mm] \le [/mm] 1, also [mm] |x-4|\le [/mm] 1.
Gruß v. Angela
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> [mm]\bruch{-\bruch{4}{3}}{0!}(x-4)^0+\bruch{\bruch{1}{9}}{1!}(x-4)^1-\bruch{-\bruch{2}{27}}{2!}(x-4)^2[/mm]
> = [mm]-\bruch{4}{3}+\bruch{1}{9}(x-4)-\bruch{2}{54}(x-4)^2[/mm]
>
> Das Restglied schreibe ich jetzt folgendermaßen auf:
>
> [mm]R_n(x)=\bruch{f^{n+1(\varepsilon)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}[/mm]
>
> Das heißt für meine Aufgabe:
> [mm]R_n(x)=\bruch{f^3(\varepsilon)}{3!}(x-x_0)^3 \gdw \bruch{\bruch{6}{(1-\varepsilon)^4}}{6}(x-4)^3[/mm]
>
> Leider weiß ich hier immer nicht weiter, wie ich was wählen
> soll und wie das dann mit den Betrgägen weiter geht. Ich
> hoffe mir kann jmd. bei den letzten und alles
> entscheidenden Schritten helfen.
>
> MFG domenigge135
>
Hi domenigge,
zunächst mal ein kleiner Tipp:
da wo man kürzen kann, soll man es auch tun
z.B.: [mm] \bruch{2}{54} [/mm] = ?? [mm] \bruch{\bruch{6}{(1-\varepsilon)^4}}{6}(x-4)^3 [/mm] = ??
wie Angela schon bemerkt hat, ist jetzt in diesem
Zusammenhang x eine beliebige Zahl im Intervall [3;5]
und [mm] \varepsilon [/mm] (***) eine Zahl zwischen x und 4.
Nun suchst du quasi den grössten Wert, welchen der
Betrag des Restgliedes im schlimmsten Fall annehmen
könnte, aber die Information ist nicht ganz vollständig,
weil [mm] \varepsilon [/mm] eben einfach "irgendwo" zwischen
4 und x liegen könnte.
Jetzt geht man einfach von einem "pessimistischen"
Standpunkt aus und sucht daraus das bestmögliche
zu machen...
Jetzt schaust du dir die beiden Faktoren des Restglieds R=A*B
am besten separat an: den Ausdruck A = [mm] \bruch{1}{(1-\varepsilon)^4}
[/mm]
und den Ausdruck B = [mm] (x-4)^3
[/mm]
Da es nur um den maximalen Betrag des Restglieds R
geht, kannst du verwenden, dass
|R|=|A*B|=|A|*|B|
und max(|R|) [mm] \le [/mm] max(|A|) max(|B|)
LG
(***) normalerweise nimmt man dafür in diesem Zusammenhang
den noch ein bisschen exotischeren Buchstaben zeta: [mm] \zeta [/mm] , den
ich im Studium schon gehasst habe, weil die Professoren dabei
immer ein fürchterliches Gekrakel veranstalteten, jeder auf
seine eigene Weise... 
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(***) Eigentlich nehme ich auch immer zeta. Konnte das zeichen blos nicht so richtig wieder erkennen. Zeichne das immer anders 
..n Nun aber wieder zurück zur Aufgabe. Dannn lag ich ja eigentlich richtig, dass x [mm] \in [/mm] [3,5] und das [mm] |(x-4)^3|\le1. [/mm] Und wenn du sagst, wir sollen vom ,,worst case'' ausgehen, dann wähle ich antürlich 1. ALso schreibe ich nun:
[mm] |R_n(x)|=|\bruch{1}{(1-\varepsilon)^4}|\*1
[/mm]
Jetzt weiß ich nur nicht so richtig, wie ich [mm] \varepsilon [/mm] abschätzen soll. Du sagst es liegt zwischen x und [mm] x_0 [/mm] bzw. x und 4. bzw. [mm] x\le\varepsilon\le4. [/mm] Doch wie muss ich die rechnung hier jetzt fortsetzen???
MFG domenigge135
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> Nun aber wieder zurück zur Aufgabe. Dannn lag ich ja
> eigentlich richtig, dass x [mm]\in[/mm] [3,5] und das [mm]|(x-4)^3|\le1.[/mm]
> Und wenn du sagst, wir sollen vom ,,worst case'' ausgehen,
> dann wähle ich natürlich 1. Also schreibe ich nun:
>
> [mm]|R_n(x)|=|\bruch{1}{(1-\varepsilon)^4}|\*1[/mm]
eigentlich jetzt als Ungleichung:
[mm]|R_n(x)|\ \le|\ \bruch{1}{(1-\varepsilon)^4}|\*1[/mm]
> Jetzt weiß ich nur nicht so richtig, wie ich [mm]\varepsilon[/mm]
> abschätzen soll. Du sagst es liegt zwischen x und [mm]x_0[/mm] bzw.
> x und 4. bzw. [mm]x\le\varepsilon\le4.[/mm]
Insgesamt liegen alle in Frage kommenden [mm] \varepsilon [/mm] im Intervall [3;5].
> Doch wie muss ich die
> rechnung hier jetzt fortsetzen???
dann überlegst du dir, in welchem Intervall alle Werte von
[mm] (1-\varepsilon)
[/mm]
[mm] |(1-\varepsilon)|
[/mm]
[mm] (1-\varepsilon)^4
[/mm]
[mm]\left|\bruch{1}{(1-\varepsilon)^4}\right|[/mm]
jeweils liegen können.
Dann kommst du leicht zu der gewünschten Abschätzung...
LG
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Okay. ALso ich erhalte jetzt das Intervall [mm] [\bruch{1}{256},\bruch{1}{16}]
[/mm]
Und was sagt dann das Intervall über mein [mm] R_2(x) [/mm] aus??? Also [mm] \le [/mm] welchem Wert ist nun mein [mm] R_2(x)???
[/mm]
MFG domenigge135
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> Okay. ALso ich erhalte jetzt das Intervall
> [mm][\bruch{1}{256},\bruch{1}{16}][/mm]
>
> Und was sagt dann das Intervall über mein [mm]R_2(x)[/mm] aus???
> Also [mm]\le[/mm] welchem Wert ist nun mein [mm]R_2(x)???[/mm]
>
> MFG domenigge135
also, wir hatten mal:
[mm]max(|R_2(x)|)\le\ max(|A|)*max(|B|)[/mm]
und [mm]\ max(|B|)=1[/mm]
jetzt kommt noch dazu: [mm]max(|A|)\ =\ max(\bruch{1}{256},\bruch{1}{16})[/mm]
Also [mm]max(|R_2(x)|)\le[/mm] ..... ?
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okay hast recht also müsste [mm] maxR_2(x)\le\bruch{1}{16}\*1 [/mm] wenn man vom max. ausgeht. Also [mm] maxR_2(x)\le0,0625
[/mm]
Okay und jetzt noch eine alles entscheidende Frage. Hat auch nichts mit Mathe zu tun ...
Wann sage ich, dass es sich um einen schlechten Wert handelt und wann sage ich, dass es sich um einen guten Wert handelt. Ich würde jetzt sagen, 0,0625 ist ein guter Wert. Aber das ist ja eher relativ oder??? Kommt doch eher drauf an, wie groß mein Wert max. sein darf oder??? Also alles was drunter ist, ist gut.
MFG domenigge135
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> okay hast recht also müsste [mm]maxR_2(x)\le\bruch{1}{16}\*1[/mm]
> wenn man vom max. ausgeht. Also [mm]maxR_2(x)\le0,0625[/mm]
>
> Okay und jetzt noch eine alles entscheidende Frage. Hat
> auch nichts mit Mathe zu tun ...
möglicherweise doch ... ?
>
> Wann sage ich, dass es sich um einen schlechten Wert
> handelt und wann sage ich, dass es sich um einen guten Wert
> handelt. Ich würde jetzt sagen, 0,0625 ist ein guter Wert.
> Aber das ist ja eher relativ oder??? Kommt doch eher drauf
> an, wie groß mein Wert max. sein darf oder??? Also alles
> was drunter ist, ist gut.
>
> MFG domenigge135
ich verstehe nicht genau, was du hier mit "gut" bzw. "schlecht" meinst
man könnte aber das Taylorpolynom [mm] T_2(x) [/mm] in dem Bereich [3;5]
mit der zu approximierenden Funktion f(x) vergleichen
die grösste Abweichung [mm] max|f(x)-T_2(x)| [/mm] ergibt sich an
der Stelle x=3, nämlich:
[mm]\ |f(3)-T_2(3)| = 0.0185...[/mm]
Der Wert 0.0625 aus der Taylorabschätzung ist gut drei
Mal so gross.
Ob das jetzt "gut" sein soll oder nicht, kann ich nicht beurteilen.
Da solltest du dort nachfragen, wo du den Ausdruck her hast.
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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